Secundaria Derivada y primitiva

[The Higgs Particle]

Hola, tengo una duda:

¿Cómo se hace esto? ¿Es una derivada parcial? $\frac{d({y}^{2 }x)}{dx }$

Me ha surgido esta duda porque estoy intentando calcular es la primitiva de $\frac{1}{{{r}_{0}}^{2}}$ y $\frac{1}{{{r}_{f}}^{2}}$, con lo que también tengo problemas por tener 2 variables bajo el signo de la integral:

${\int }^{b}_{a} (\frac{1}{{{r}_{0}}^{2}} - \frac{1}{{{r}_{f}}^{2}}) \cdot dt$

Gracias!

[juan lopez]

Re: Derivada y primitiva

Hola
r son vectores de posiciópon la en función del tiempo? Si

[The Higgs Particle]

Re: Derivada y primitiva

$r$ representa el radio y $t$ el tiempo

[angel relativamente]

Re: Derivada y primitiva

Respecto a la primera pregunta, sí, es una derivada parcial. Se suele representar con el símbolo $\partial$ en lugar de la d. Es complejo explicar formalmente la derivada parcial porque utiliza conceptos de cálculo multivariable que se alejan del temario del bachillerato, pero la idea intuitiva es que si haces la parcial con respecto a x te estás moviendo en esa dirección por lo que el resto de variables no cambian y puedes considerarlas constantes.

La segunda pregunta no la entiendo, si esos radios son constantes, tienes la integral de una constante que es trivial. Si esos radios dependen del tiempo, pues necesitas conocer la dependencia y te quedará una integral más o menos complicada pero en una única variable t.
Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Derivada y primitiva

Estoy intentando calcular la aceleración y el espacio recorrido de un cuerpo que cae desde una altura considerable (por lo que el valor de $g$ varía). Sé que se puede hacer de una forma mucho más simple con la energía, pero me da la curiosidad calcularla por métodos dinámicos.

Sé que la aceleración $\vec{a} = \vec{g} = - \frac{GM}{{r}^{2} } \cdot \vec{{u}_{r }} \to g = \frac{GM}{{r}^{2}}$. La aceleración en un punto debería ser $a = {g}_{2} - {g}_{0} = -GM \cdot (\frac{1}{{{r}_{2}}^{2 } } - \frac{1}{{{r}_{0 }}^{2}})$

Y como $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \to v = {\int }^{b}_{a} (a \cdot dt) = {\int }^{b}_{a} (-GM \cdot (\frac{1}{{{r}_{2 }}^{2 } } - \frac{1}{{{r}_{0 }}^{2}} \cdot dt)) = -GM \cdot {\int }^{b}_{a} (\frac{1}{{{r}_{2 }}^{2 } } - \frac{1}{{{r}_{0 }}^{2}}) \cdot dt$.

Pero me quedo atascada en la parte matemática

[Breogan]

Re: Derivada y primitiva

Hola:

¿Cómo se hace esto? ¿Es una derivada parcial? $\frac{d({y}^{2 }x)}{dx }$

Con el riesgo de contradecir a angel, y por lo tanto decir una tontería; voy a aportar lo siguiente:

Si y es una función exclusivamente de x, es decir $\dst y = y(x)$, resulta que esta se trata de una derivada común:

$\dst \frac{\mathrm{d (y^2 x)} }{\mathrm{d} x} = 2 \ y \ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x } \ x + y^2 \ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x} = 2 \ y \ y' \ x + y^2$

si en cambio x e y son variables independientes entre si, resulta que esta es una derivada parcial y se escribe:

$\dst \frac{\partial (y^2 x)}{\partial x} = y^2 \ \frac{\partial x}{\partial x} = y^2$

Sé que la aceleración $\vec{a} = \vec{g} = \frac{GM}{{r}^{2} } \cdot \vec{{u}_{r }} \to g = -\frac{GM}{{r}^{2}}$. La aceleración en un punto debería ser $a = {g}_{2} - {g}_{0} = -GM \cdot (\frac{1}{{{r}_{2}}^{2 } } - \frac{1}{{{r}_{0 }}^{2}})$

La aceleración de la gravedad en cualquier punto exterior a la tierra esta dada por la ecuación que escribiste:

$$\dst g = - G \ \frac {M}{r^2}$$

a la otra ecuacion, $a = {g}_{2} - {g}_{0} = -GM \cdot (\frac{1}{{{r}_{2}}^{2 } } - \frac{1}{{{r}_{0 }}^{2}})$, yo no le encuentro sentido.

Escribiendo (1) de otra forma:

$\dst \frac{\mathrm{d^2} r}{\mathrm{d} t^2 }= r'' = - G \ \frac {M}{r^2}$

llegamos a:

$\dst r'' \ r^2 + G \ M = 0$

y para encontrar la solución al problema hay que resolver esta ecuación diferencial, cosa que no me acuerdo.

s.e.u.o.

Suerte

[Weip]

Re: Derivada y primitiva

Estoy intentando calcular la aceleración y el espacio recorrido de un cuerpo que cae desde una altura considerable (por lo que el valor de $g$ varía). Sé que se puede hacer de una forma mucho más simple con la energía, pero me da la curiosidad calcularla por métodos dinámicos.

Sé que la aceleración $\vec{a} = \vec{g} = \frac{GM}{{r}^{2} } \cdot \vec{{u}_{r }} \to g = -\frac{GM}{{r}^{2}}$. La aceleración en un punto debería ser $a = {g}_{2} - {g}_{0} = -GM \cdot (\frac{1}{{{r}_{2}}^{2 } } - \frac{1}{{{r}_{0 }}^{2}})$

Y como $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \to v = {\int }^{b}_{a} (a \cdot dt) = {\int }^{b}_{a} (-GM \cdot (\frac{1}{{{r}_{2 }}^{2 } } - \frac{1}{{{r}_{0 }}^{2}} \cdot dt)) = -GM \cdot {\int }^{b}_{a} (\frac{1}{{{r}_{2 }}^{2 } } - \frac{1}{{{r}_{0 }}^{2}}) \cdot dt$.

Pero me quedo atascada en la parte matemática

A ver, lo de $a=g_2-g_0$ no es cierto. Lo que tienes es:

$\vec{a}=\vec{g}$

Además:

$\vec{g}=-G\dst\frac{M}{r^2}\vec{u}$

El signo menos no lo has puesto.

Además, cuando haces el módulo del campo, el símbolo negativo desaparece (por cierto Breogan se ha equivocado en (1)). Ese signo solo está en la forma vectorial. Hay varias expresiones que lo has puesto mal.

Lo que quieres hacer es muy complicado. El camino que has seguido tampoco es el correcto. Básicamente es la misma ecuación que la trayectoria de un planeta, es decir, un sistema sometido solamente a la fuerza de la gravedad. Como digo, si estás empezando las integrales, resolver esa ecuación diferencial va a ser toda una aventura. Pero si aún sabiendo esto quieres saber como se hace, te la resuelvo.

Así es el mundo de las ecuaciones diferenciales. Plantearlas es fácil. Resolverlas, no tanto.

PD: Me recuerdas a mí mismo hace unos años, preguntaba siempre lo mismo que tú por el foro.

[Hansen]

Re: Derivada y primitiva

Hola, en estos dos hilos han calculado el tiempo en función de la posición, tal vez te interese.

http://forum.lawebdefisica.com/threads/19352

http://forum.lawebdefisica.com/threads/23142

[Breogan]

Re: Derivada y primitiva

Hola:

Además, cuando haces el módulo del campo, el símbolo negativo desaparece (por cierto Breogan se ha equivocado en (1)). Ese signo solo está en la forma vectorial. Hay varias expresiones que lo has puesto mal.

Tenes razón el modulo de un vector es siempre positivo, pero resulta que en (1) g no es el modulo del vector $\dst \vec g$ sino que es el valor de la componente radial de la aceleración de la gravedad, es decir que si definimos:

$\dst \vec g = g \ \hat u_r \quad y \quad \vec g = - G \ \frac M {r^2} \ \hat u_r \quad \Rightarrow \quad g= - G \ \frac M {r^2} \quad y \quad |\vec g| = |g| = G \ \frac M {r^2}$

Acordate que en un tiro vertical, cuando tomas el eje vertical con su sentido positivo hacia arriba, la aceleración es negativa (g=- 9,8 m/s²), aca es lo mismo pero respecto del vector radial.

Suerte

[Weip]

Re: Derivada y primitiva

Tenes razón el modulo de un vector es siempre positivo, pero resulta que en (1) g no es el modulo del vector $\dst \vec g$ sino que es el valor de la componente radial de la aceleración de la gravedad, es decir que si definimos:

Ah vale vale, es que como lo has puesto así sin más me he pensado que sería el módulo.



Pongo un enlace de la resolución de la ecuación (apartado "ecuación de la trayectoria"). Esta situación se trata como un cuerpo en órbita con otro, es una caída libre, aunque una normal y corriente se produciría cuando una de las masas es extremadamente pequeña, pero se puede usar la misma ecuación para describir su movimiento.

Si lo prefieres también puedo poner una versión simplificada de una caída libre recta. Es lo que ha puesto Hansen pero partiendo de la segunda ley de Newton y no de la conservación de la energía. Es más sencilla, pero he puesto ese enlace por si prefieres ver el caso general.

[The Higgs Particle]

Re: Derivada y primitiva

Sí, es verdad, se me han colado los signos. Lo de $\vec{a} = \vec{{g}_{2}} - \vec{{g}_{0}}$ yo tampoco lo pillo, pero cuando pregunté a mi profesor me dijo que la gravedad en un instante determinado sería así. Me extrañó, pero al decírmelo él la verdad es que apenas lo puse en duda.

En cualquier caso, a este problema le pongo un asterisco. Ahora es meterme en un berenjenal con todas las matemáticas necesarias, pero volveré a ello cuando tenga la preparación suficiente .

PD: Me recuerdas a mí mismo hace unos años, preguntaba siempre lo mismo que tú por el foro.

Si he empezado como empezaste tú entonces voy por buen camino