Divulgación Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

[alexpglez]

Buenas, querría saber cómo se hacen los cambios de variable en una integral múltiple y en el operador nabla. Había leído ya acerca de la matriz jacobiana aunque no lo entendí demasiado bien y he oído hablar de los factores a escala pero no he encontrado nada bien documentado acerca de estos y su utilización.
Para el cálculo de integrales de línea he probado a simplemente diferenciar la expresión, es decir:

$$\vec r=r\hat r$$

$$\vec v=\dot r \hat r + r \dot \theta \hat \theta + r \sin \theta \dot \varphi \hat \varphi$$

$$d \vec r=d r \hat r + r d \theta \hat \theta + r \sin \theta d \varphi \hat \varphi$$

Por lo que he visto escrito en wikipedia, así sería.
He probado a hacer algo parecido para un diferencial de área pero no es correcto.

$$x=r\cos \theta$$

$$dx=dr\cos \theta-r d\theta \sin \theta$$

$$y=r\sin \theta$$

$$dy=dr\sin \theta+r d\theta \cos \theta$$

$$dA=dxdy=(dr\cos \theta-r d\theta \sin \theta)(dr\sin \theta+r d\theta \cos \theta)$$

Pero no es:

$$dA=rdrd\theta$$

Alguien me podría indicar cómo se hacen los cambios de variable¿?

Gracias

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Si lo del Jacobiano no lo entendiste bien yo no me metería por estos lares. Si quieres puedo enseñarte algo más calculistico pero ciertamente es difícil que lo entiendas. Lo haré con integrales dobles para no complicar la cosa. Básicamente el cambio de variables lo haces mediante la siguiente fórmula (omito las hipótesis porque si no nos vamos a dar contra una pared):

$\dst \int \int_{\phi(U)} f(x,y) dx dy=\dst\int \int_{U} f(\phi(u,v))|det J_{\phi(u,v)}| dudv$

Y esta fórmula la aplicas literalmente. Ejemplos hay los que quieras, yo te recomiendo los de este enlace porque van paso por paso y con integrales sencillas. Además será más clarificador que cualquier ejemplo que yo pueda darte. Luego si coges práctica ya peléate con las integrales que aparecen en física.

Edito:

Ya que tengo tiempo te hago un ejemplo. Imagínate que tengo la función $f(x, y)=(x+y)(x-y)$ y quiero calcular en cierta región $A$:

$\dst\int \int_A f(x,y)dxdy$

Hago el cambio de variables $u=x+y$ y $v=x-y$. Así pues $u+v=2x$ y $u-v=2y$. De aquí despejamos y sale $x=(u+v)/2$ y $y=(u-v)/2$. Tenemos el Jacobiano:

$\dst \left( \begin{matrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{matrix} \dst \right)$

Y su determinante en valor absoluto es $1/2$. Ya solo queda sustituir usando la fórmula que te he puesto arriba. No sé si me he explicado bien pero esto vendrían a ser los cambios de variable.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

No me refería cómo se utiliza, si no por qué es así.. Me lo iré mirando más tranquilamente. Sabes de alguna página donde lo expliquen bien¿?, en el piskunov donde lo he ido leyendo a veces no lo logra explicarlo tan claramente y otras veces se queda algo corto. En wikipedia he ido leyendo pero tampoco lo explica muy bien, y no he encontrado ningún sitio donde lo explique claramente

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

No me refería cómo se utiliza, si no por qué es así.. Me lo iré mirando más tranquilamente. Sabes de alguna página donde lo expliquen bien¿?, en el piskunov donde lo he ido leyendo a veces no lo logra explicarlo tan claramente y otras veces se queda algo corto. En wikipedia he ido leyendo pero tampoco lo explica muy bien, y no he encontrado ningún sitio donde lo explique claramente

En tu mensaje pone el cómo pero bueno xD. ¿A qué te refieres con el porqué? ¿A la demostración del teorema de cambio de variable?

$$x=r\cos \theta$$

$$dx=dr\cos \theta-r d\theta \sin \theta$$

$$y=r\sin \theta$$

$$dy=dr\sin \theta+r d\theta \cos \theta$$

¿Cómo has calculado $dx$ y $dy$? ¿Respecto a qué has derivado? Además si te ciñes a lo que dice el teorema no hace falta calcular los diferenciales. Luego $dxdy$ no es un producto. Una integral doble no es más que integrar primero respecto una variable y luego integrar respecto la otra. Lo mismo para las de más variables. En estos temas hay que tener cuidado porque es habitual mezclar la notación con las operaciones para que los cálculos sean más cómodos.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

En tu mensaje pone el cómo pero bueno xD. ¿A qué te refieres con el porqué? ¿A la demostración del teorema de cambio de variable?


¿Cómo has calculado $dx$ y $dy$? ¿Respecto a qué has derivado? Además si te ciñes a lo que dice el teorema no hace falta calcular los diferenciales. Luego $dxdy$ no es un producto. Una integral doble no es más que integrar primero respecto una variable y luego integrar respecto la otra. Lo mismo para las de más variables. En estos temas hay que tener cuidado porque es habitual mezclar la notación con las operaciones para que los cálculos sean más cómodos.

Lo siento, mi forma de hablar, voy mezclando cómos y porqués. He calculado el diferencial total de cada uno, derivando con respecto a un parámetro y eliminando el parámetro o tambien por:

$$dx=\frac{\partial x}{\partial r}dr+\frac{\partial x}{\partial \theta}d\theta$$

Me ha faltado igual decir que lo estaba pasando a polares, r y \theta..

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Sí, me he dado cuenta más tarde, de hecho ahora iba a editarlo jajaja. Pues eso, que no te da porque $dxdy$ no es una multiplicación.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Sí, me he dado cuenta más tarde, de hecho ahora iba a editarlo jajaja. Pues eso, que no te da porque $dxdy$ no es una multiplicación.

Vale, jaj creo que ya empiezo a entenderlo. El área, "alto por ancho" es sólo una simplificación matemática verbal, dxdy no es ninguna multiplicación como has dicho.
He visto la demostración que viene en el piskunov, y llega a la fórmula por una intuición bastante geométrica.
Dividamos el dominio de integración en paralelogramos pequeños. Cojamos un paralelogramo designando a sus vértices:

$$P_1(x_1,y_1)$$

$$P_2(x_2,y_2)$$

$$P_3(x_3,y_3)$$

$$P_4(x_4,y_4)$$

$x$ e $y$ están en función de dos variables de otro espacio, designemos $u$ y $v$, de tal forma que $P_1(x(u,v),y(u,v))$ y en los otros puntos se produce un incremento de las variables u y v.

$$P_1(x(u,v),y(u,v))$$

$$P_2(x(u+\Delta u,v),y(u+\Delta u,v))$$

$$P_3(x(u+\Delta u,v+\Delta v),y(u+\Delta u,v+\Delta v))$$

$$P_4(x(u,v+\Delta v),y(u,v+\Delta v))$$

Reescribiendolos:

$$P_1(x,y)$$

$$P_2(x+\frac{\partial x}{\partial u}\Delta u,y+\frac{\partial y}{\partial u}\Delta u)$$

$$P_3(x+\frac{\partial x}{\partial u}\Delta u+\frac{\partial x}{\partial v}\Delta v,y+\frac{\partial y}{\partial u}\Delta u+\frac{\partial y}{\partial v}\Delta v)$$

$$P_4(x+\frac{\partial x}{\partial v}\Delta v,y+\frac{\partial y}{\partial v}\Delta v)$$

Entonces el incremento de área, se hará calculando el área del paralelogramo, para ello sacamos dos vectores cualesquiera (que sirvan para calcular el área claro) (aquí no hay problema en entenderlo, pero después para integrales de flujo no sé que vectores habría que coger ya que pueden cambiar algunos signos):

$$\vec {P_1P_2}(\frac{\partial x}{\partial u}\Delta u,\frac{\partial y}{\partial u}\Delta u)$$

$$\vec {P_1P_4}(\frac{\partial x}{\partial v}\Delta v,\frac{\partial y}{\partial v}\Delta v)$$

Y ahora calculo.

$$\Delta A=\vert \vec {P_1P_2} \times \vec {P_1P_4} \vert=\vert \frac{\partial x}{\partial u}\Delta u \frac{\partial y}{\partial v}\Delta v - \frac{\partial x}{\partial v}\Delta v \frac{\partial y}{\partial u}\Delta u \vert = \vert \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}- \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u} \vert \Delta u \Delta u$$

$$d A= \vert \vert J \vert \vert du dv$$

$$\vert \vert J \vert \vert =\vert \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}- \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u} \vert =<br /> \vert<br /> \begin{vmatrix}<br /> \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\<br /> \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}<br /> \end{vmatrix}<br /> \vert<br />$$

Mejor escrito, más entendible (o al menos para mí), donde x es cada coordenada y x' cada nueva variable:

$$J_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial x'_j}$$

Y para 3 dimensiones no lo demostraba, simplemente extendía el jacobiano habiendo una coordenada nueva x_3=z y x'_3, y supongo que también para integrales de más dimensiones se generaliza así.
Está bien¿?
Hay alguna demostración no tan geométrica para sacar el diferencial de superficie¿?
Y para la integral de flujo, o sea de superficie de un campo vectorial, como se haría, se que,

$$\int \vec F \cdot \vec S= \int \vec F \cdot \vec n d \sigma$$

, que geométricamente se ve que: $\int F_x n_x d \sigma=\int F_x dydz$ igualmente con los otros dos, dejando la integral a:

$$\int \vec F \cdot \vec S= \int \vec F \cdot \vec n d \sigma=\int F_x dydz+F_y dzdx + F_z dx dy$$

Pero también he leído que en estos casos:

$$\int F_x dydz=-\int F_x dzdy$$

Por lo tanto cómo se realizan las integrales de flujo, se cambia de variables, etc. ¿?

Un saludo gracias

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

El área, "alto por ancho" es sólo una simplificación matemática verbal, dxdy no es ninguna multiplicación como has dicho.

Exacto. De hecho es la gracia de las integrales de Lebesgue, que gracias al concepto de medida generaliza esta idea intuitiva de área (de hecho fíjate que la integral de Riemann vendría a usar la medida usual $\Delta x$).

Hay alguna demostración no tan geométrica para sacar el diferencial de superficie¿?

Sí, pero son más complicadas y engorrosas. Te dejo esta. Sigue siendo geométrica pero el esquema de la demostración es simple y hará más bien. Si después de leer esa aún quieres otra menos geométrica pues te pongo una pero no creo que lo entiendas mejor.

Y para la integral de flujo, o sea de superficie de un campo vectorial, como se haría, se que,

$$\int \vec F \cdot \vec S= \int \vec F \cdot \vec n d \sigma$$

, que geométricamente se ve que: $\int F_x n_x d \sigma=\int F_x dydz$ igualmente con los otros dos, dejando la integral a:

$$\int \vec F \cdot \vec S= \int \vec F \cdot \vec n d \sigma=\int F_x dydz+F_y dzdx + F_z dx dy$$

Pero también he leído que en estos casos:

$$\int F_x dydz=-\int F_x dzdy$$

Por lo tanto cómo se realizan las integrales de flujo, se cambia de variables, etc. ¿?

Aquí hay cosas que estás omitiendo, como por ejemplo la dirección y el sentido del vector normal. En principio puedes integrar en el orden que quieras sin cambiar signos ni nada. Si me explicas mejor el contexto y donde vistes eso te podré ayudar mejor.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Aquí hay cosas que estás omitiendo, como por ejemplo la dirección y el sentido del vector normal. En principio puedes integrar en el orden que quieras sin cambiar signos ni nada. Si me explicas mejor el contexto y donde vistes eso te podré ayudar mejor.

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie
En el de wikipedia en español me venía eso.
Y también le he hechado un vistazo a la wikipedia en inglés:
http://en.wikipedia.org/wiki/Surface_integral
Soy muy pardillo en mirar casi todo de wikipedia, pero no se encontrar muy bien estas cosas por internet .
Me miraré lo que me has pasado, yo creo que lo entenderé pero así a primeras no estoy acostumbrado a tanto simbolismo..
En el piskunov, no me venía gran cosa. Definía n como el vector unitario perpendicular a la superficie, de ahí sacaba esa intuición de la fórmula general, hablaba de que para calcularlo había que tener cuidado con los signos, porque depende del signo del coseno, y después calculó el ejemplo más simple que hay jej, el flujo eléctrico total que crea una partícula puntual, no dando lo que son los estereorradianes ni nada, simplemente por definición intuitivamente, mejor lo escribo:

$$\iint_{\sigma} \vec E \cdot \hat n d\sigma$$

$$\vec E=k\frac{q}{r^2}\hat r$$

Radio no depende de la superficie, vector unitario r coincidente con n $\hat r \cdot \hat n=1$, por tanto la integral es igual al término constante * área de $\sigma$:

$$\iint_{\sigma} k\frac{q}{r^2}\hat r \cdot \hat n d\sigma=k\frac{q}{r^2} \iint_{\sigma} \hat r \cdot \hat n d\sigma=k\frac{q}{r^2} \lim_{\Delta \sigma_k \to 0}\sum_{\sigma} \hat r_k \cdot \hat n_k \Delta \sigma_k=$$

$$k\frac{q}{r^2} \lim_{\Delta \sigma_k \to 0}\sum_{\sigma} \Delta \sigma_k=k\frac{q}{r^2}\sigma=k\frac{q}{r^2}4\pi r^2=4\pi k q$$

Está totalmente correcto, pero me refiero que es un tanto intuitivo, no es por criticar a piskunov, ¡¡¡los mejores libros que me he leído en mi vida!!!, si no para que veas que entiendo la integral de flujo desde un punto de vista semi_divulgativo tipo 2º de bachillerato.
Por lo que quería preguntar, sobre cómo se hacen los cambios de variable y cómo se expresa formalmente una integral de flujo, según indican los enlaces de wikipedia no parece complicado.
Bueno, más bien, que es un área expresado matemáticamente.

Un saludo

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_superficie
En el de wikipedia en español me venía eso.

Entonces sí. Leyendo mejor ya me he dado cuenta del contexto así que tienes toda la razón.

si no para que veas que entiendo la integral de flujo desde un punto de vista semi_divulgativo tipo 2º de bachillerato.

No es semi-divulgativo. He visto apuntes del grado de física y se enseña igual que en segundo de bachillerato. Digamos que es una visión más intuitiva y menos formal matemáticamente hablando.

Por lo que quería preguntar, sobre cómo se hacen los cambios de variable y cómo se expresa formalmente una integral de flujo, según indican los enlaces de wikipedia no parece complicado.
Bueno, más bien, que es un área expresado matemáticamente.

Al final se hace como las normales.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

He estado mirándome lo de wikipedia y encuentro que la fórmula:

$$dS=\vert \frac{\partial \vec r}{\partial q_1} \times \frac{\partial \vec r}{\partial q_2}\vert dq_1 dq_2$$

Asociando q_1 y q_2 en cada vector, me quedan los vectores que designé P_1P_2 y P_1P_4, el jacobiano se relaciona entonces de esa manera con ese módulo del producto vectorial. Para una integral de flujo, se coge el vector resultante y no su módulo no¿?

$$d\vec S=(\frac{\partial \vec r}{\partial q_1} \times \frac{\partial \vec r}{\partial q_2}) dq_1 dq_2$$

Ahora jugando un poco con las expresiones, como:

$$d\vec S= \hat n dS$$

Sacamos que el normal se define por:

$$\hat n=\frac{d \vec S}{dS}=\frac{(\frac{\partial \vec r}{\partial q_1} \times \frac{\partial \vec r}{\partial q_2}) dq_1 dq_2}{\vert \frac{\partial \vec r}{\partial q_1} \times \frac{\partial \vec r}{\partial q_2}\vert dq_1 dq_2}= \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial q_1} \times \frac{\partial \vec r}{\partial q_2}}{\vert \frac{\partial \vec r}{\partial q_1} \times \frac{\partial \vec r}{\partial q_2}\vert}$$

Voy a probar a ver sí me sale un cambio en esféricas:

$$\vec r=r\hat r$$

$$\partial_r \vec r= \hat r$$

$$\partial_{\theta} \vec r=r\hat \theta$$

$$\partial_{\varphi} \vec r=r\sin \theta \hat \varphi$$

Realizando los productos y sustituyendo en la fórmula me queda:

$$d\vec S= r^2 \sin \theta d \theta d \varphi \hat r + r\sin \theta d \varphi d r \hat \theta + r dr d\theta \hat \varphi$$

Entonces la integral de flujo del campo de una carga puntual, no escribo todo, dado que sólo tiene componente radial:

$$\oint \vec E \cdot d\vec S= \oint k\frac{q}{r^2}r^2 \sin \theta d \theta d \varphi=kq\oint \sin \theta d \theta d \varphi=kq\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \sin \theta d \theta d \varphi=$$

$$kq\int_0^{2\pi} -\cos \theta \vert_0^{\pi} d \varphi=kq\int_0^{2\pi} 2 d \varphi=4\pi k q$$

Si no me he equivocado en nada debería estar bien, bueno, lo de cambiar de notación para mostrar de los límites de integración no sé si está bien escrito, ya me dirás Weip.

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

He estado mirándome lo de wikipedia y encuentro que la fórmula:

$$dS=\vert \frac{\partial \vec r}{\partial q_1} \times \frac{\partial \vec r}{\partial q_2}\vert dq_1 dq_2$$

Asociando q_1 y q_2 en cada vector, me quedan los vectores que designé P_1P_2 y P_1P_4, el jacobiano se relaciona entonces de esa manera con ese módulo del producto vectorial. Para una integral de flujo, se coge el vector resultante y no su módulo no¿?

Depende de si estás integrando un campo escalar o un campo vectorial. En el primer caso pues has de poner el modulo del producto vectorial y en el segundo no.

Lo demás está perfecto. Solo decir que cuando lo hagas formalmente acuérdate de poner la parrafada del vector normal y demás.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Depende de si estás integrando un campo escalar o un campo vectorial. En el primer caso pues has de poner el modulo del producto vectorial y en el segundo no.

Lo demás está perfecto. Solo decir que cuando lo hagas formalmente acuérdate de poner la parrafada del vector normal y demás.

Si, eso mismo entendí. Por cierto, el enlace que me pasaste explica el cambio de variable igual, más o menos, que lo que escribí. A qué te refieres con poner "la parrafada del vector normal y demás", los pasos intermedios que no escribí porque se sobreentendían de multiplicación escalar en la integral de flujo¿?
Y cómo se generaliza esto para superficies 4D o nD ¿? Porque ya no se puede definir un producto vectorial, (a no ser que sea 7D como ya me comentaste).
Y he oído hablar del ángulo sólido, pero nunca lo he visto matemáticamente, cómo se define y que utilidad tendría en integrales¿?. Por ejemplo en wikipedia he visto que para calcular lo anterior:

$$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \sin \theta d \theta d \varphi$$

Se podría haber escrito:

$$\int^{4\pi}_0 d \Omega=4 \pi$$

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

A qué te refieres con poner "la parrafada del vector normal y demás", los pasos intermedios que no escribí porque se sobreentendían de multiplicación escalar en la integral de flujo¿?

Dirección y sentido del vector normal, de qué superficie se trata, como hayas los límites de integración... el contexto. Hacer la integral así como así formalmente está mal. Aquí en el foro da igual mientras nos entendamos pero a la hora de la verdad que no se te olvide.

Y cómo se generaliza esto para superficies 4D o nD ¿? Porque ya no se puede definir un producto vectorial, (a no ser que sea 7D como ya me comentaste).

Pues no lo sé. Dentro de un año igual podré responderte, pero actualmente este es mi nivel de cálculo integral.

Y he oído hablar del ángulo sólido, pero nunca lo he visto matemáticamente, cómo se define y que utilidad tendría en integrales¿?. Por ejemplo en wikipedia he visto que para calcular lo anterior:

$$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \sin \theta d \theta d \varphi$$

Se podría haber escrito:

$$\int^{4\pi}_0 d \Omega=4 \pi$$

La wikipedia española y la inglesa siempre tienen las respuestas. Podría explicártelo yo pero para decir lo mismo que dice la wikipedia pues...

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Gracias. Por cierto, me ha surgido una duda un tanto ridícula, por qué hemos puesto unos límites entre 0 y pi, he comprobado que no valen -pi/2 o pi/2...
A vale, creo que no lo entendí, y ahora ya entiendo.. me puse a calcular el flujo sin entenderlo, lo que quiere decir superficie cerrada es cualquier superficie que sea cerrada, es decir, que los límites para los ángulos roten un vector que imaginario sobre todo el espacio, las condiciones que puse, más la de que el radio sea una función arbitraria tal que la superficie sea cerrada, es decir la supuesta función en polares sea periódica. Lo del vector normal, depende a que superficie sea no¿?, yo lo he expresado el diferencial de superficie como una suma de tres vectores, suponiendo que nada es constante, (ya que no sabía muy bien lo que estaba haciendo, PD: veo que no puse algunos vectores..).
Lo de extensión a hipervolúmenes e hipersuperficies, debo leer algo antes, y ya si eso lo pregunto más detenidamente en otro hilo. Es que lo leí en un libro, cuando hablaba del tensor energía-esfuerzo.. (claro que solo me quedé con las ideas jeje).
Lo del ángulo sólido no lo entendí muy bien, aunque bueno, según leo no tiene mucha aplicación en integrales excepto para casos generales.

Sobre el nabla, tenía dudas sobre como se sacan la expresión de nabla y de sus operaciones en cualquier tipo de coordenadas.