Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

$$\nabla^2=(\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}e_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}e_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}e_3)\cdot(\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}e_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}e_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}e_3)=$$

$$=\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}(\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1})+\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}(\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2})+\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}(\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3})$$

Así sería el laplaciano por ejemplo¿?

Saca factor común $\dst\frac{1}{h_1h_2h_3}$ y ya lo tienes. Recuerda que los factores de escala son constantes.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

$$\nabla^2=(\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}e_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}e_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}e_3)\cdot(\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}e_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}e_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}e_3)=$$

$$=\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}(\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1})+\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}(\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2})+\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}(\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3})$$

Así sería el laplaciano por ejemplo¿?

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Si pero con un pero.. ahora lo escribo matemáticamente, pero no se puede hacer la regla de la cadena así. Has escrito el mismo subíndice en r y q, es decir en i=1, has escrito $\partial_{q_1} x$ que no es igual que: $\partial_{q_1} \vec r$

Es verdad, les he puesto el mismo subíndice... gracias por avisar. Ahora lo corrijo.

En donde tengo más dudas es en los otros operadores, yo creía que por ejemplo el laplaciano era aplicar la nabla dos veces.

$$\nabla^2=\nabla \cdot \nabla=(\partial_x \vec \imath + \partial_y \vec \jmath + \partial_z \vec k) \cdot (\partial_x \vec \imath + \partial_y \vec \jmath + \partial_z F \vec k)=\partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2$$

Pero viendo la expresión en wikipedia para otras coordenadas ortogonoles, (incluyendo los factores a escala), esto no se cumple..

Sí, se hace así. Lo que pasa es que es muy largo. Demasiado como para describirte todo el proceso aquí. Tu ves multiplicando con calma y sale solo. Es que no sé qué indicación darte porque es mera álgebra, solo desearte que no te equivoques en ninguna parte. Otra opción sería que cogieses la expresión general de wikipedia y así vas más rápido. El problema es que te tendría que demostrar demasiadas cosas.

Edito. Ya he corregido lo de antes aunque lo he hecho a vista, pero bueno creo que nos entendemos jajaja. Para lo del laplaciano una indicación sí puedo darte: haz la regla de la cadena en el interior del producto escalar y para el gradiente usa la fórmula con los factores de escala. Multiplica, ves manipulando y llegarás a la expresión que sale en la wikipedia.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Si pero con un pero.. ahora lo escribo matemáticamente, pero no se puede hacer la regla de la cadena así. Has escrito el mismo subíndice en r y q, es decir en i=1, has escrito $\partial_{q_1} x$ que no es igual que: $\partial_{q_1} \vec r$
En donde tengo más dudas es en los otros operadores, yo creía que por ejemplo el laplaciano era aplicar la nabla dos veces.

$$\nabla^2=\nabla \cdot \nabla=(\partial_x \vec \imath + \partial_y \vec \jmath + \partial_z \vec k) \cdot (\partial_x \vec \imath + \partial_y \vec \jmath + \partial_z F \vec k)=\partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2$$

Pero viendo la expresión en wikipedia para otras coordenadas ortogonoles, (incluyendo los factores a escala), esto no se cumple..

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Me lo he estado pensando y sí se hacía como decías sí. No debería entrar al foro por la noche... en todo caso, empecemos. Sea $f$ un campo escalar real. Podemos escribir su gradiente como:

$\nabla f=\dst\frac{\partial f}{\partial x}e_1+\dst\frac{\partial f}{\partial y}e_2+\dst\frac{\partial f}{\partial z}e_3=\dst\frac{\partial f}{\partial r_1}e_1+\dst\frac{\partial f}{\partial r_2}e_2+\dst\frac{\partial f}{\partial r_3}e_3=$

$=\dst\sum_{i = 0}^3 \dst\frac{\partial q_i}{\partial r_1}\dst\frac{\partial f}{\partial q_i}e_1+\dst\sum_{i = 0}^3 \dst\frac{\partial q_i}{\partial r_2}\dst\frac{\partial f}{\partial q_i}e_2+\dst\sum_{i = 0}^3 \dst\frac{\partial q_i}{\partial r_3}\dst\frac{\partial f}{\partial q_i}e_3$

Ahora definimos:

$h_i(q_1, q_2, q_3)=\dst\left\vert{} \left\vert{} \dst\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_i} \right\vert{} \right\vert{}<br />$

Que son los denominados factores de escala, $||\cdot||$ denota la norma euclídea y $i=1,2,3$. Sustituyendo en el gradiente queda:

$\nabla f=\dst\sum_{i = 1}^3 \dst\frac{1}{h_i}\dst\frac{\partial f}{\partial q_i}e_i$

¿Y esto como se aplica a los cambios de coordenadas? Pues bajo esta forma es muy fácil calcular los $h_i$. Por ejemplo, haciendo el cambio a cilíndricas obtenemos:

$h_1=\dst\left\vert{} \left\vert{} \dst\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \right\vert{} \right\vert{}=\left\vert{} \left\vert{} (\cos\theta, \sin\theta, 0) \right\vert{} \right\vert{}=1$

$h_2=\dst\left\vert{} \left\vert{} \dst\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \right\vert{} \right\vert{}=\left\vert{} \left\vert{} (-r\sin \theta, r\cos\theta, 0) \right\vert{} \right\vert{}=r$

$h_3=\dst\left\vert{} \left\vert{} \dst\frac{\partial \vec{r}}{\partial z} \right\vert{} \right\vert{}=\left\vert{} \left\vert{} (0, 0, 1) \right\vert{} \right\vert{}=1$

Sustituyes y ya te queda.

No sé si habrá algún fallo, seguramente sí porque es un poco largo. Ya más tarde u otro día te hablo de otras coordenadas y otros operadores diferenciales.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Sigo sin entender lo que quieres decir. Mis dificultades no son en usar la fórmula, si no por qué de esas formulas, e igual así poder memorizarlas.. Yo necesito demostración, se que se puede hacer por ese modo que dije, pero calcular cada derivada parcial para sacar el operador nabla, realizar un rotacional o un laplaciano, multiplicar términos, agrupar, etc. es un poco largo y líoso, no sé a que modo te refieres Weip. Siento liarte para que me expliques, pero no lo encuentro por ningún lado, muchas gracias y cuando puedas.

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Ahí trato de sacarlo.. Entonces se calcula por el lento modo de decir:

$$\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial q_1}{\partial x}\frac{\partial }{\partial q_1}+\frac{\partial q_2}{\partial x}\frac{\partial }{\partial q_2}$$

$$\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial q_1}{\partial y}\frac{\partial }{\partial q_1}+\frac{\partial q_2}{\partial y}\frac{\partial }{\partial q_2}$$

Sacarlo así y luego sustituir en las fórmulas¿? Y lo mismo para cualquier operación divergecia, rotacional, laplaciano, etc. ¿?

No te has de complicar tanto, solo usa las definiciones. Por ejemplo, si cambias a coordenadas cilíndricas tienes que:

$(x,y,z)\to(r\cos\theta, r\sin\theta, z)$

Sustituye y ves haciendo. Durante esta semana cuando tenga más tiempo lo hago paso por paso y así podemos ver mejor las dificultades que se presentan.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Calculando a saco con las definiciones. Lo sé, da mandra.


Mmm... Ahí no sé qué estás intentando. Tu sustituye las cosas y tarde o temprano llegarás a esas expresiones.

Ahí trato de sacarlo.. Entonces se calcula por el lento modo de decir:

$$\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial q_1}{\partial x}\frac{\partial }{\partial q_1}+\frac{\partial q_2}{\partial x}\frac{\partial }{\partial q_2}$$

$$\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial q_1}{\partial y}\frac{\partial }{\partial q_1}+\frac{\partial q_2}{\partial y}\frac{\partial }{\partial q_2}$$

Sacarlo así y luego sustituir en las fórmulas¿? Y lo mismo para cualquier operación divergecia, rotacional, laplaciano, etc. ¿?

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Pero como se llega a esa expresión¿? y cómo a partir de nabla dejándolo en función de sus factores a escala se sacan los operadores, divergencia, rotacional y laplaciano (y gradiente, aunque este simplemente es aplicar nabla a una función escalar).

Calculando a saco con las definiciones. Lo sé, da mandra.

PD: lo voy a intentar lo primero, aunque sólo con la idea, the chain rule, aunque muy incorrecto!!

$$\frac{\partial }{\partial \vec r}=\frac{\partial }{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial \vec r}+\frac{\partial }{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial \vec r}+\frac{\partial }{\partial z'}\frac{\partial z'}{\partial \vec r}=\frac{\partial }{\partial x'}\frac{1}{h_{x'}}\hat x'+\frac{\partial }{\partial y'}\frac{1}{h_{y'}}\hat y'+\frac{\partial }{\partial z'}\frac{1}{h_{z'}}\hat z'$$

Mmm... Ahí no sé qué estás intentando. Tu sustituye las cosas y tarde o temprano llegarás a esas expresiones.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

A ver, si que me encallo xD. Creo que lo entiendo más o menos. Pero como se llega a esa expresión¿? y cómo a partir de nabla dejándolo en función de sus factores a escala se sacan los operadores, divergencia, rotacional y laplaciano (y gradiente, aunque este simplemente es aplicar nabla a una función escalar).

PD: lo voy a intentar lo primero, aunque sólo con la idea, the chain rule, aunque muy incorrecto!!

$$\frac{\partial }{\partial \vec r}=\frac{\partial }{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial \vec r}+\frac{\partial }{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial \vec r}+\frac{\partial }{\partial z'}\frac{\partial z'}{\partial \vec r}=\frac{\partial }{\partial x'}\frac{1}{h_{x'}}\hat x'+\frac{\partial }{\partial y'}\frac{1}{h_{y'}}\hat y'+\frac{\partial }{\partial z'}\frac{1}{h_{z'}}\hat z'$$

Está mal pero va así la idea.
Sé que también se puede ir calculando cada derivada parcial de una coordenada nueva respecto a una antigua y así ir sacando los operadores, pero hay que hacer un montón de cuentas.

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Gracias. Por cierto, me ha surgido una duda un tanto ridícula, por qué hemos puesto unos límites entre 0 y pi, he comprobado que no valen -pi/2 o pi/2...

Porque en este caso, $\varphi$ va de a $\pi$. No tiene más. Yo de ti me haría un dibujo porque no parece que estés visualizando la situación, cosa fundamental para resolver este tipo de problemas.

Lo del vector normal, depende a que superficie sea no¿?

Sí, por eso has de dar una superficie concreta (dándola explícitamente con funciones/rectas/intersecciones de figuras geométricas de todo tipo). Cualquiera no vale para calcular el flujo.

Lo del ángulo sólido no lo entendí muy bien, aunque bueno, según leo no tiene mucha aplicación en integrales excepto para casos generales.

Realmente sé lo que es pero nunca lo he usado. Siempre puedes usar caminos alternativos para llegar a lo mismo. Ignoro si en contenidos más avanzados toma más protagonismo, pero lo dudo.

Sobre el nabla, tenía dudas sobre como se sacan la expresión de nabla y de sus operaciones en cualquier tipo de coordenadas.

Wikipedia nos guía en estos casos jajaja. Supongo que con coordenadas te refieres a esféricas y demás. No tiene mucho misterio pero si te encallas en algún cálculo dilo.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Gracias. Por cierto, me ha surgido una duda un tanto ridícula, por qué hemos puesto unos límites entre 0 y pi, he comprobado que no valen -pi/2 o pi/2...
A vale, creo que no lo entendí, y ahora ya entiendo.. me puse a calcular el flujo sin entenderlo, lo que quiere decir superficie cerrada es cualquier superficie que sea cerrada, es decir, que los límites para los ángulos roten un vector que imaginario sobre todo el espacio, las condiciones que puse, más la de que el radio sea una función arbitraria tal que la superficie sea cerrada, es decir la supuesta función en polares sea periódica. Lo del vector normal, depende a que superficie sea no¿?, yo lo he expresado el diferencial de superficie como una suma de tres vectores, suponiendo que nada es constante, (ya que no sabía muy bien lo que estaba haciendo, PD: veo que no puse algunos vectores..).
Lo de extensión a hipervolúmenes e hipersuperficies, debo leer algo antes, y ya si eso lo pregunto más detenidamente en otro hilo. Es que lo leí en un libro, cuando hablaba del tensor energía-esfuerzo.. (claro que solo me quedé con las ideas jeje).
Lo del ángulo sólido no lo entendí muy bien, aunque bueno, según leo no tiene mucha aplicación en integrales excepto para casos generales.

Sobre el nabla, tenía dudas sobre como se sacan la expresión de nabla y de sus operaciones en cualquier tipo de coordenadas.

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

A qué te refieres con poner "la parrafada del vector normal y demás", los pasos intermedios que no escribí porque se sobreentendían de multiplicación escalar en la integral de flujo¿?

Dirección y sentido del vector normal, de qué superficie se trata, como hayas los límites de integración... el contexto. Hacer la integral así como así formalmente está mal. Aquí en el foro da igual mientras nos entendamos pero a la hora de la verdad que no se te olvide.

Y cómo se generaliza esto para superficies 4D o nD ¿? Porque ya no se puede definir un producto vectorial, (a no ser que sea 7D como ya me comentaste).

Pues no lo sé. Dentro de un año igual podré responderte, pero actualmente este es mi nivel de cálculo integral.

Y he oído hablar del ángulo sólido, pero nunca lo he visto matemáticamente, cómo se define y que utilidad tendría en integrales¿?. Por ejemplo en wikipedia he visto que para calcular lo anterior:

$$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \sin \theta d \theta d \varphi$$

Se podría haber escrito:

$$\int^{4\pi}_0 d \Omega=4 \pi$$

La wikipedia española y la inglesa siempre tienen las respuestas. Podría explicártelo yo pero para decir lo mismo que dice la wikipedia pues...

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Depende de si estás integrando un campo escalar o un campo vectorial. En el primer caso pues has de poner el modulo del producto vectorial y en el segundo no.

Lo demás está perfecto. Solo decir que cuando lo hagas formalmente acuérdate de poner la parrafada del vector normal y demás.

Si, eso mismo entendí. Por cierto, el enlace que me pasaste explica el cambio de variable igual, más o menos, que lo que escribí. A qué te refieres con poner "la parrafada del vector normal y demás", los pasos intermedios que no escribí porque se sobreentendían de multiplicación escalar en la integral de flujo¿?
Y cómo se generaliza esto para superficies 4D o nD ¿? Porque ya no se puede definir un producto vectorial, (a no ser que sea 7D como ya me comentaste).
Y he oído hablar del ángulo sólido, pero nunca lo he visto matemáticamente, cómo se define y que utilidad tendría en integrales¿?. Por ejemplo en wikipedia he visto que para calcular lo anterior:

$$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \sin \theta d \theta d \varphi$$

Se podría haber escrito:

$$\int^{4\pi}_0 d \Omega=4 \pi$$

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

He estado mirándome lo de wikipedia y encuentro que la fórmula:

$$dS=\vert \frac{\partial \vec r}{\partial q_1} \times \frac{\partial \vec r}{\partial q_2}\vert dq_1 dq_2$$

Asociando q_1 y q_2 en cada vector, me quedan los vectores que designé P_1P_2 y P_1P_4, el jacobiano se relaciona entonces de esa manera con ese módulo del producto vectorial. Para una integral de flujo, se coge el vector resultante y no su módulo no¿?

Depende de si estás integrando un campo escalar o un campo vectorial. En el primer caso pues has de poner el modulo del producto vectorial y en el segundo no.

Lo demás está perfecto. Solo decir que cuando lo hagas formalmente acuérdate de poner la parrafada del vector normal y demás.