Volumen de una región

[cogujada]

Hola buenas. Se me plantea el siguiente problema:
Calcule el volumen de la región limitada por la superficie 9x² + 4y² + 36z = 36 y el plano z=0

Este es un problema típico, de los que siempre entran en los exámenes, y el problema es que no sé cómo empezar.
Parto de aquí:
$\iiint 1 \mathrm{d}V$
Hasta ahí todo bien, pero claro, el embrollo llega a la hora de elegir los límites de integración, y es ahí donde me pierdo. Hay casos en los que dibujando la superficie, proyectándola en dos dimensiones y eso se consigue de manera relativamente sencilla. Otras veces podemos usar coordenadas esféricas o cilíndricas, pero es que aquí estoy totalmente perdido. No sé empezar. ¿Vosotros cómo empezaríais?
Gracias

[Al2000]

Yo empezaría observando que la ecuación que pones se puede escribir $9 x^2 + 4 y^2 = 36 (1-z)$. Como el lado izquierdo no puede ser negativo, eso te limita $z$ a un valor máximo de $z=1$. Para un valor de $z$ constante ($0 \leqslant z \leqslant 1$) las curvas son elipses. Entonces yo integraría ese "domo" tomando "rebanadas" perpendiculares al eje Z y de espesor $dz$. La integral para hallar el área de cada corte es relativamente simple.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Abdulai]

$9x^2+4y^2+36z=36 \quad,\, z\ge 0$ pide a gritos el reemplazo: $x=2r\cos\theta\quad y=3r\sin\theta\quad z=z$

Resultando: $r^2+z=1 \quad z\ge 0$ y el jacobiano: $J=6r$

$\therefore\quad V= 6\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \text{d}\theta\displaystyle\int_{0}^{1}\text{d}z\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\sqrt{1-z}}r\text{d}r$

[Al2000]

Supongo que mucho dependerá del grado de formalismo que desees emplear. Yo siempre he pensado que es perfectamente legítimo apoyarse en los conocimientos aprendidos con anterioridad y por lo tanto partiría de que conozco el área de la elipse obtenida al cortar la superficie con un plano a $z$ constante:

$$9 x^2 + 4 y^2 + 36 z = 36 \quad \Rightarrow \quad 9 x^2 + 4 y^2 = 36 (1-z) \quad \Rightarrow \quad \frac {x^2}{4 (1-z)} + \frac {y^2}{9 (1-z)} = 1$$

El área encerrada por esta elipse es

$$A_{(z)} = \pi (2 \sqrt {1-z})(3 \sqrt {1-z}) = 6 \pi (1-z)$$

y el volumen pedido será entonces

$$V = \int_0^1\!\! A_{(z)}\, dz = 6 \pi \int_0^1\!\! (1-z)\, dz = 3 \pi$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[cogujada]

Sinceramente, me parece menos difícil (que no más fácil) la forma de Abdulai. De todas maneras, dudo que ninguna de los dos mecanismos se me ocurriesen en el examen. Por suerte lo tengo en semana y media así que seguiré trabajando y haciendo ejercicios.
Lo tuyo Al, yo creo que no se me habría ocurrido ni en mil años (dice mucho de mi pobre nivel en matemáticas...)
Mil gracias a ambos

[Abdulai]

... De todas maneras, dudo que ninguna de los dos mecanismos se me ocurriesen en el examen. ...

Pero algún mecanismo alternativo (esos u otros) se te va a tener que ocurrir, porque de lo contrario no te va a alcanzar el tiempo o cometas un error al complicarse el procedimiento.

Los límites directos de la integral son: $\displaystyle\int_{0}^{1}\text{d}z \displaystyle\int_{-3\displaystyle\sqrt{1-z}}^{3\displaystyle\sqrt{1-z}}\text{d}y \displaystyle\int_{-\frac{1}{3} \displaystyle\sqrt{36(1-z)-4y^2}} ^ {\frac{1}{3}\displaystyle\sqrt{36(1-z)-4y^2}}\text{d}x$

Nada del otro mundo, pero con riesgo de comerte algo durante el cálculo.

Saludos.

[cogujada]

Pero algún mecanismo alternativo (esos u otros) se te va a tener que ocurrir

Ese es el problema, que no encuentro ningún mecanismo. O sea, integrar todo el mundo sabe. El problema es que no sé cómo hallar los límites de integración. Ese es el verdadero problema.

[Weip]

Ese es el problema, que no encuentro ningún mecanismo. O sea, integrar todo el mundo sabe. El problema es que no sé cómo hallar los límites de integración. Ese es el verdadero problema.

Hola cogujada. Entiendo un poco el sentimiento. Aún cuando todas las respuestas que te han dado son correctas, mi recomendación es que intentes darle sentido a la solución que ha proporcionado Abdulai, la del cambio de variable. Como él dice, la región "lo pide a gritos". Ahora, para oír esos gritos tienes que no sólo entender su respuesta, sino hacer un montón de ejercicios sobre el tema. El tiempo juega un poco en tu contra pero intenta analizar bien el ejercicio e intenta aplicarlo a otras integrales. Es muy habitual encontrarte con términos estilo $x^2$, $y^2$, etc. Si ves términos de éste estilo, plantéate un cambio de variable que involucre senos y cosenos como ha hecho Abdulai.

Siento ser tan poco específico pero esto concretamente es un caso de lo que suelen decir los profesores: "no se enseña, se aprende". Intenta entender el ejercicio, aún cuando pienses que a ti no se te ocurriría, y si haces eso con muchos ejercicios llegará un punto en que tú también podrás hacerlo.

[cogujada]

Bueno, he de decir que los volúmenes que nos suelen pedir son bastante más sencillos. Intentaré hacer más de este estilo. Gracias

[cogujada]

Una cosita Abdulai.

$9x^2+4y^2+36z=36 \quad,\, z\ge 0$ pide a gritos el reemplazo: $x=2r\cos\theta\quad y=3r\sin\theta\quad z=z$

[/TEX]

Esto lo haces haciendo una especie de cambio a coordenadas polares (parametrizando una elipse). Donde en vez de poner r·sen .... pones a y b no?

O sea, eso lo entiendo más o menos (más menos que más), pero lo que si que no pillo es por qué z se queda como está

[Abdulai]

Hago un cambio de variable, si bien es lo mismo que un cambio de coordenadas, al término "cambio de coordendas" se lo asocia con parámetros que tengan un claro sentido físico como pasa con las coordenadas polares o cilíndricas. Pero esto no tiene por qué ser así, la transformación es completamente arbitraria, lo único que necesitamos es que nos simplifique la frontera.

Siendo que para $z=\text{constante}$ se trata de elipses $a^2x^2+b^2y^2=k$ lo inmediato es sustituir $x=a\cos\theta$ e $y=a\sin\theta$ sin modificar $z$

Nota: El determinante jacobiano de esta sustitución es $J=abr$ (en coordenadas cilíndricas hubiera sido $r$)

Saludos.