Problema sobre área de un círculo grande eclipsada por otro más pequeño.

[inakigarber]

Hace unos días se me planteo el siguiente problema en este enlace, el enlace esta escrito en Euskera, por lo que la mayoría no lo entendereis, no obstante dejo el enlace por si le interesara a alguien. El problema es el siguiente. Un circulo grande de rádio $=\sqrt 2$ se encuentra eclipsado por otro circulo menor de rádio=1, de forma tal que el perímetro de este último pasa por el centro del primero. Calcular el área en naranja.

La solución que da es $\pi +1$

A mi no me coincide, por lo que debo haberme equivocado, pero no se en que;
1) Área del circulo grande. $A_g=\pi R^2=\pi (\sqrt 2)^2=2\pi$
2) Área del semicírculo pequeño; $a_s=\dfrac{\pi 1^2}{2}=\dfrac{\pi}{2}$
Bien, en el dibujo no se ve, pero el circulo grande y el diámetro del circulo pequeño forman una figura en forma de lentilla. Ahora trato de calcular el área de dicha lentilla. Imaginemos un eje que uniera los centros de ambas circunferencias que utilizaremos como eje de referencia. Resulta que los vertices superior e inferior donde coinciden los perímetros de ambas circunferencias, se encontrarán en los ángulos $+\pi/4$ y $-\pi/4$ respectivamente. Como no me acordaba miré en internet como deducir el área de esta lentilla. Encontré la siguiente expresión.
$a_l=2R^2\left[\dfrac{sen(2\alpha)}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right]^{\pi/4}_{0}$, poniendo valores;
$a_l=2R^2\left[\dfrac{sen(2\pi/4)}{4}+\dfrac{\pi/2}{2}\right]-2R^2\left[\dfrac{sen(0)}{4}+\dfrac{0}{2}\right]$. El segundo término es nulo, por lo que nos queda;
$a_l=2R^2\left[\dfrac{sen(2\pi/4)}{4}+\dfrac{\pi/2}{2}\right]$
¿Es correcto el resultado al que llego para calcular el área de la lentilla?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

tienes medio circulo a la izquierd que tiene superficie $\pi =\pi r^2=\frac12 \pi (\sqrt2)^2$

la parte derecha es el área entre dos funciones

una es $x^2+y^2=2$y la inferior $(x-1)^2+y^2=1$

despejando y

$y_{sup}=\pm\sqrt{2-x^2}$

$y_{inf}=\pm\sqrt{1-(x-1)^2}$

las curvas se corta cuando las y son iguales para el mismo x despejando veo que es para x=1



por simetría en el eje x se puede resolver la integral superior y duplicar el valor para hallar la otra parte

esta área queda

$2\dst\int_0^1\int_{\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{2-x^2}} dy dx=2\int_0^1 \sqrt{2-x^2}-\sqrt{1-(x-1)^2} dx$

resuelve numéricamente aver si da 1

ojo que no es la mitad del circulo derecho el area que tienes solo tomas hasta $x=1$ pero no llegas a $\sqrt 2$

[teclado]

Hola,

No estoy seguro de seguir tu razonamiento, pero planteando integrales me da exactamente $\pi+1$.

Si colocas la figura en vertical, puedes dividir la superficie naranja en dos. La parte inferior (el semicírculo de radio $\sqrt{2}$) tiene un área $\pi$), y la parte superior se divide en dos partes iguales, cada una de área, digamos $A$.

Se puede obtener A como el área entre el eje X y una función definida a trozos:

$<br /> y = \left \{<br /> \begin{array}{ll}<br /> \sqrt{2-x^2}, &\text{ si } -\sqrt{2} < x < -1 \\<br /> 1-\sqrt{1-x^2}, &\text{ si } -1 < x < 0<br /> \end{array}<br /> \right .<br />$

La primera parte representa la parte superior de la circunferencia mayor, y la segunda la inferior de la menor. Al final tienes

$\dst A = \int_{-\sqrt{2}}^{-1}\sqrt{2-x^2}dx+\int_{-1}^0 \left (1-\sqrt{1-x^2} \right )dx$

Que recordando:

$\dst \int\sqrt{a^2-x^2}dx = -\frac{a^2}{2}\arccos \left (\frac{x}{a} \right ) + \frac{a^2}{4}\sin \left (2\arccos\left (\frac{x}{a} \right ) \right) + C$

Queda $A=\frac{1}{2}$, por lo que el área total:

$A_T = \pi + 2A = \pi + 1$.

Saludos.

Edito: Por hacerlo rápido no he simplificado la integral indefinida que pongo (y la dejo por ser la que he usado al sustituir números), pero realmente se puede simplificar bastante y queda algo como

$\dst \int\sqrt{a^2-x^2}dx = \frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2} -\frac{a^2}{2}\arccos \left (\frac{x}{a} \right ) + C$

[JCB]

Hola a tod@s.

Esta sería la forma de hacerlo, sin recurrir a integrales.

El área del sector circular delimitado por los dos puntos de intersección de los círculos y el centro del círculo mayor es

$S_1=\dfrac{\pi R^2}{2\pi}\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}$.

El área del triángulo delimitado por los puntos de intersección de los círculos y el centro del círculo mayor es

$S_2=\dfrac{bh}{2}=\dfrac{2\cdot 1}{2}=1$.

El área del segmento circular delimitado por los dos puntos de intersección de los círculos y el círculo mayor es

$S_1-S_2=\dfrac{\pi}{2}-1$.

La mitad del área del círculo menor es

$S_3=\dfrac{\pi r^2}{2}=\dfrac{\pi}{2}$.

El área del círculo mayor es

$S_4=\pi R^2=2\pi$.

Luego, el área de color naranja es

$S=S_4-(S_1-S_2)-S_3=2\pi-\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)-\dfrac{\pi}{2}=\pi +1$.

Saludos cordiales,
JCB.

[inakigarber]

Gracias por vuestras respuestas.

Cuando envié mi post me di cuenta de mi error. Al aplicar $a_l=2R^2\left[\dfrac{sen(2\pi/4)}{4}+\dfrac{\pi/2}{2}\right]$, el radio a considerar es el del circulo grande $\sqrt 2$ y yo aplicaba el del pequeño (1), así tambien sale $\pi + 1$. Ese fue mi error.