Otras carreras ¿Hay alguna justificación matemática para pasar del caso discreto al continuo?

[alexpglez]

En física muchas veces hay que pasar del caso discreto al continuo, por ejemplo para calcular el campo gravitatorio creada por una distribución continua de masas, se toma el caso discreto:

$$g(x)=K\sum_{i=1}^n\frac{m_i}{\vert \vert x-x_i\vert \vert^3} (x-x_i)$$

Y se dice que en el límite continuo, (posiblemente argumentando en términos de diferenciales que $dm=pdV$) esto tiende a:

$$g(x)=K\int_V \frac{p(x')}{\vert \vert x-x'\vert \vert^3} (x-x') dV'$$

Más concretamente, si la distribución tuviese una contribución continua además de una distribución discreta (de n partículas por ejemplo).

$$g(x)=K\int_V \frac{p(x')}{\vert \vert x-x'\vert \vert^3} (x-x') dV'+K\sum_{i=1}^n\frac{m_i}{\vert \vert x-x_i\vert \vert^3} (x-x_i)$$

Mi pregunta es: ¿habría alguna fórmula en términos de la teoría de la medida y del concepto moderno de integral, que simplificase y además tendiese a (1), (2) y (3) cuando la distribución es discreta, continua (integrable según Riemman), o una suma de ambas?

Además de en integrales, el mismo concepto se lleva a ecuaciones diferenciales ordinarias que tienden a ecuaciones en derivadas parciales. Un hecho que tomaba por hecho, era el principio de acción extremal (la equivalencia entre los enfoques de partículas y campos), el cuál dice entre otras cosas que definiendo (para distribuciones discretas de partículas $y_i(t)$):

$$S[y_i(t)]=\int_{t_0}^{t_1} L(y_i(t),y_i'(t),t) dt$$

$$\delta S=0 \;\; \leftrightarrow \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial y_i'(t)} - \frac{\partial L}{\partial y_i(t)}=0$$

En el caso de campos (distribuciones continuas $y(x,t)$) es parecido, definiendo:

$$S[y(x,t)]=\int_{t_0}^{t_1}\int_{x_0}^{x_1} L(y(x,t),y'_x (x,t), y'_t (x,t),x,t) dxdt$$

$$\delta S=0 \;\; \leftrightarrow \frac{\partial }{\partial t} \frac{\partial L}{\partial y'_t(x,t)} +\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial y'_x (x,t)}- \frac{\partial L}{\partial y(x,t)}=0$$

Sin embargo, ¿se podría demostrar que si una distribución discreta (partículas), tiende a un campo en el límite (y podemos encontrar la L del segundo caso a partir del primero), entonces el principio de acción extremal para partículas implica el principio de acción extremal para el campo?. Quiero decir, lo que me gustaría saber es si hay una equivalencia entre ambos enfoques y por tanto todo lo que hacen los físicos en este sentido tenga una justificación formal.

Gracias, saludos

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Mi pregunta es: ¿habría alguna fórmula en términos de la teoría de la medida y del concepto moderno de integral, que simplificase y además tendiese a (1), (2) y (3) cuando la distribución es discreta, continua (integrable según Riemman), o una suma de ambas?

Además de dar la fórmula (4), si existe. Me gustaría saber si los enfoques (1) y (4) son equivalentes. Por lo poco que he leído, supongo que tal fórmula (4) estaría relacionado con los conceptos de medida discreta y medida continua, y el (1) con la medida discreta. Supongo que se podrá "integrar" una función por medida discreta tomando el límite y dando la fórmula (4) (o incluso la (2) o la (3) en ciertos casos particulares que la distribución sea integrable de Riemman).

[Weip]

Re: ¿Hay alguna justificación matemática para pasar del caso discreto al continuo?

Hola. No estoy seguro de si lo que voy a decir responde a tu pregunta, pero creo que es interesante decirlo. Veo que tu intención es en cierta forma unificar los enfoques de las distribuciones discretas y contínuas de masa (y quien dice masa dice carga, lo que voy a decir es muy parecido en ambos casos) así que lo que voy a explicar igual te sirve. Para considerar los dos enfoques bajo el mismo marco uno recurre a la delta de Dirac para poder definir una densidad para distribuciones discretas de masa. La idea es que puedes describir un conjunto de $n$ masas $m_i$ contenidas en una región $U$ mediante una densidad dada por $\rho(r)=\sum_{i=1}^n m_i \delta(r-r_i)$. Con la densidad definida de esta forma puedes escribir:

$\dst\int_U \rho(r)f(r)dr=\dst\int_U \dst\sum_{i=1}^n m_i \delta(r-r_i) f(r)dr=\dst\sum_{i=1}^n m_i \dst\int_U \delta(r-r_i)f(r)dr=\dst\sum_{i=1}^n m_if(r_i)$

Y así unificar ambos enfoques. He simplificado un poco poniendo $f(r)$ en vez de toda la división (también porque este tipo de argumentos uno se lo puede encontrar con otras funciones que hacen de $f$). Como dices estar interesado en los conceptos de medidas e integrales que hay involucrados, déjame que me entretenga en el cálculo que he hecho. Como sabes la delta de Dirac no es una función y no tiene sentido ponerla en las integrales como se suele hacer. Para manejar la situación una forma de dar sentido a las expresiones que he escrito es definiendo la delta de Dirac como una medida dada por $\delta_x(A)=1$ si $x\in A$ y $\delta_x(A)=0$ si $x \notin A$. Esto lo puedes interpretar como que $\delta(A)$ te da la masa contenida en $A$. Lo cierto es que cuando se escriben integrales como $\int \delta(x)dx$ que seguro que has visto en muchos contextos uno puede interpretar esas integrales como integrales de Lebesgue respecto a la medida $\delta$, que es una integral distinta a la integral de Riemann que ya conoces. Este tipo de integrales se contruyen en base a una noción de longitud/área/volumen dada por una medida y dan lugar a la teoría moderna sobre la integración. Para poder hacer el calculo de arriba se necesitan algunas condiciones sobre las funciones a integrar y la región que contiene las masas pero son más técnicas y no creo que mis explicaciones sirvan de mucho. Finalmente decir que esta no es la única manera de verlo pero ya que has preguntado por la teoría de la medida pues te explico esta forma.

Espero haberte ayudado.

Edito: Sobre la delta de Dirac igual te son útiles este hilo y este otro.

[alexpglez]

Re: ¿Hay alguna justificación matemática para pasar del caso discreto al continuo?

Siento responder un poco tarde. Entiendo quizá mejor que lo que representa la masa y la densidad en relación con la integral. La fórmula general lo que hace es integrar respecto a la medida de la masa, que se puede descomponer en una sumatoria finita en el caso de partículas puntuales, o en casos de distribuciones continuas de masas cambiamos de variable y hablamos de densidad, la derivada respecto a ambas medidas y integramos respecto a la medida de volumen.
Si bien me va a tomar tiempo mirar teoría de la medida, creo que entiendo los conceptos.

Respecto a la delta de Dirac, entiendo que es un caso particular de medida discreta (la más simple posible).

Sobre lo segundo que preguntaba, entiendo que es una aplicación de lo primero.

Gracias

[Weip]

Re: ¿Hay alguna justificación matemática para pasar del caso discreto al continuo?

Es que del tema de los campos no lo sé. No veo que se pueda hacer un razonamiento como el que te he explicado de las distribuciones discretas y continuas de masa.

[pod]

Re: ¿Hay alguna justificación matemática para pasar del caso discreto al continuo?

Entiendo que la pregunta originaria era de índole más bien genérica; el ejemplo de una distribución de masas es eso, un ejemplo y no el fondo del hilo.

La definición matemática de la integral de Riemman es precisamente el límite de un sumatorio. Probablemente los físicos lo hacemos de forma muy informal, y estaré encantado de escuchar como lo argumenta un matemático; pero en esencia partir de un sumatorio y acabar con una integral no es nada más y nada menos que la definición de integral.

[alexpglez]

Re: ¿Hay alguna justificación matemática para pasar del caso discreto al continuo?

Es que, creo que la justificación de lo que pregunto es un problema de teoría de la medida.
Sin meterme en tecnicismos.
Sean los puntos $C=\{x_i\}_{i<n}\subset R$, y unos ciertos coeficientes $\{m_i\}_{i<n} \in R^+$. Definimos una medida (sin meterme en detalles técnicos que no entiendo muy bien) a partir de la medida de Dirac:

$$\mu=\sum_{i=0}^n m_i \delta_{x_i}$$

Lo que intento es que dados un conjunto de masas $m_i$ situadas en la recta real, esta medida represente la masa en un subconjunto de la recta real. Es decir, que $\mu(A)=\sum_{i=0}^n m_i \delta_{x_i}(A)$, es la masa total en la región A.

La integral de Lebesgue se define por medio de funciones simples de la siguiente manera. Sea $s: R \longrightarrow R$ una función simple, es decir que toma un número finito de valores en subconjuntos disjuntos $A_i =s^{-1}[\{\alpha_i\}]$. Es decir que:

$$s=\sum_i \alpha_i I_{A_i}$$

Donde $I_{A_i}(x)=1$ si x está en el subconjunto y 0 en caso contrario.
Y la integral de Lebesgue de tal función simple es:

$$\int s d\mu=\sum_i \alpha_i \mu(A_i)$$

La integral de una función se define como el supremo de todas las integrales simples menores que la función. Así pues, creo que la integral de una función con respecto a la medida anterior es, mediante la función simple:

$$s=\sum_{i=0}^n f(x_i) I_{\{x_i\}}$$

$$\int f(x) d\mu(x)=\sum_{i=0}^n f(x_i) \mu(\{x_i\})=\sum_{i=0}^n f(x_i) m_i$$

Que es lo que queríamos en el caso discreto.

Estoy leyendo que hay un teorema que dice que si $p$ es una función Riemman-integrable y:

$$\mu([a,b])=\int_{a}^b p(x) dx$$

Entonces:

$$\int f(x) d\mu(x)=\int f(x) p(x) dx$$

Lo que queríamos en el caso contínuo.

Y en el caso general supongo que la medida de masa, será la suma de una medida discreta y una medida contínua, como las indicadas anteriormente.
Esto que estoy escribiendo, faltaría formalizarlo, pero creo que es "correcto".

Aunque, como dice Pod no está resuelta mi otra duda, de pasar de un caso discreto a uno contínuo para cualquier distribución discreta. Creo que pensándolo detenidamente es imposible, porque mientras una distribución discreta está compuesto por un cardinal finito de "puntos", el cardinal de lo segundo es infinito... a no ser que modifiquemos nuestra definición de discreto (en un sentido físico y no matemático), como una distribución de masas "media" y suponiendo que la función masa es derivable podemos hacer el razonamiento:

$$\int f d\mu=\sum_{i=0}^n f(x^*_i) (\mu(I_{x_{i+1},x_i}))=\sum_{i=0}^n f(x^*_i) m'(x^{**}_i)(x_{i+1}-x_i) \longrightarrow \int f(x) m'(x) dx$$

Pero esta definición de discreto no sería realmente discreta en un sentido matemático. No sé si se entiende lo que quiero decir.

Edito:
Veo que hay un teorema dado por Lebesgue, Radon-Nikodym, que dice que dado una medida positiva $\mu$, y una medida signada $\lambda$. Existen dos medidas signadas únicas $\lambda=\lambda_a+\lambda_s$ y una función única $h \in L^1[\mu]$, tal que

$$\lambda_a(E)=\int_E h d\mu$$

, y $\lambda_s \bot \mu$, (es decir, mientras la medida $\lambda_s(E)=\lambda_s(E\cup A)$ está concentrada en A para algún A, A es disjunto al subconjunto sobre el que está concentrado $\mu$).

Por ejemplo, si hablamos de $\mu$ la medida de Lebesgue, estaríamos diciendo que existen dos medidas, tales que una viene de integrar una función, y la otra es "discreta". Por lo que puedo comprender.

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Me sale que ocurre $\lambda_s \bot \mu$, si y sólo si existe A, $\lambda_s$ está concentrada en A y $\mu(A)=0$
Para el caso de la medida de Lebesgue en $R^n$, esto serían puntos, rectas o variedades de dimensión n-1. Sin embargo hay conjuntos interesantes, como el conjunto de Cantor, que también se considerarían "discretos" según este resultado, a pesar de no ser numerables.