Rodeando la tierra

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Bien puestos en el caso de que el explorador (obviamente) no percibe la redondez de la Tierra, se puede considerar, tal y como dices tú, dices que se mueve sobre un plano tangente a la superficie de la Tierra y alinea sus tres puntos sobre ese plano tangente. En este plano tangente "la alineación" no cabe duda que es la del plano euclídeo: el punto C está alineado con los puntos A y B si C pertenece a la recta determinada por los puntos A y B. Mas esto por si solo no define la alineación sobre la superficie terrestre. Estos tres puntos (alineados sobre el plano tangente) habrá que "proyectarlos" sobre la superficie esférica, ¿no es así?. Y puede ser proyectados de muchas maneras. Si se proyectan verticalmente nos definirán el círculo máximo...

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Esa es la idea, sí, pero hay un problema y es que la alineación de las estacas define unívocamente la trayectoria del explorador y por lo tanto de todas esas proyecciones hay que elegir una. La cuestión estriba en saber cual. Yo opino que es el círculo máximo, pero hasta el momento no veo la forma de demostrarlo.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Esa es la idea, sí, pero hay un problema y es que la alineación de las estacas define unívocamente la trayectoria del explorador y por lo tanto de todas esas proyecciones hay que elegir una. La cuestión estriba en saber cual. Yo opino que es el círculo máximo, pero hasta el momento no veo la forma de demostrarlo.

Salu2

Define univocamente la trayectoria sobre el plano tangente pero no sobre la esfera...porque de alguna manera habrá que proyectar esa trayectoria sobre la esfera y esta proyección no es única: puede hacerse siguiendo la dirección perpendicular al plano tangente (dirección vertical de la esfera) y nos dará, efectivamente, un circulo máximo sobre la esfera; pero puede hacerse en cualquier otra dirección y ya no tendremos un círculo máximo...

[Johny_tolengo]

Re: Rodeando la tierra

Tres puntos ubicados sobre un círculo máximo estarán contenidos en un plano que pasa por el centro de la esfera y, por lo tanto, dicho plano contendrá también al punto central de aquella.
Creo que la solución se podría encontrar intentando demostrar que tres puntos cualesquiera sobre la superficie de una esfera pueden estar ubicados sobre un plano que no contiene al punto del centro de la misma.

[pod]

Re: Rodeando la tierra

Básicamente la respuesta de este hilo se reduce a comprobar que un circulo máximo es la solución a la ecuación de las geodésicas (cómo el hilo está marcado como avanzado, se supone que deberíamos poder hacerlo sin mucha dificultad).

Alternativamente, dando por sentado que las geodésicas son cuervas de mínima distancia, uno puede utilizar la demostración que el circulo máximo es la distancia más corta entre dos puntos de la esfera. Es una demostración relativamente simple, la podéis ver en la wiki.

Por ejemplo, si me muevo continuamente hacia el oeste y no parto de un punto del ecuador, habré descrito un paralelo.

En realidad para caminar hacia el oeste uno tiene que ir girando continuamente: hacia la derecha si estamos en el hemisferio norte, a la izquierda en el hemisferio sur. Uno lo ve claro si intenta caminar por un paralelo muy próximo al polo. Por ejemplo, imagínate un paralelo de un metro de radio. Obviamente recorrer un círculo de un metro de radio no es lo mismo que "caminar siempre en la misma dirección". El único caso en que uno puede ir siempre al oeste sin cambiar de dirección contínuamente (y recorrer un circulo máximo) es en el ecuador.

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Muy bueno pod.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Pero amigo pod el problema no está planteado así.
No se trata de saber cual es la distancia más corta entre dos puntos de la superficie esférica, que, por supuesto, es la geodésica (o linea recta de la superficie esférica).

El problema empieza así..

Necesitaría demostrar que si nos movemos sobre la superficie terrestre siempre manteniendo la misma dirección al final llegaríamos a describir un círculo máximo de la tierra.

Por ejemplo un explorador que avanza en la dirección de tres puntos alineados sobre el suelo. Cuando alcanza el tercero sitúa un nuevo punto alineado con los tres anteriores, y continua su avance, etc. Se trata de demostrar que acabaría llegando al punto de partida después de haber descrito un círculo máximo.

Salu2

Y lógicamente el problema continúa por aclarar que entender por puntos "alineados" sobre una superficie esférica.

Y la definición utilizada.... que el "explorador los vea alineados" ...

La solución que tú planteas parte ya de aceptar que tres puntos están alineados si están sobre un círculo máximo, es decir sobre la misma recta de una superficie esférica. Con lo cual, en todo caso, solo habría que justificar (como bien dices tú) la definición de recta utilizada demostrando que la distancia más corta entre dos puntos de una superficie esférica es la geodésica.

Pero ¿ES CAPAZ ESE EXPLORADOR QUE NOS PROPONE JABATO DE TRAZAR UN CÍRCULO MÁXIMO CON SOLO VER A SUS TRES PUNTOS "ALINEADOS"?
Y aquí, si me permites, quiero recordar una frase de nuestro profesor de termodinámica cuando nos explicaba las propiedades del vector fuerza termodinámica a partir de la homogeneidad de la Energía interna o los potenciales termodinámicos utilizando las transformadas de Legendre: "no se olviden: las Matemáticas no son Física. La Física es observación en lenguaje matemático".

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Creo que sigues sin entenderlo oscarmuinhos. Para mi pod ha dado en el clavo.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Si que lo entiendo...
Lo que no entiendo es como tu explorador situado en un punto de la esfera terrestre (suponiéndola una esfera), VIENDO esos tres puntos ALINEADOS SOBRE LA SUPERFICIE DE LA ESFERA TERRESTRE DE LA FORMA QUE DICES va a ser capaz (sin añadir otras suposiciones) DE ACERTAR CON LA TRAYECTORIA DE UN CÍRCULO MÁXIMO... Ni aún atribuyéndole, creo yo, todos los conocimientos de mecánica que quieras...¿Acaso si los tres puntos están sobre un paralelo no los ve igual de "alineados" que si están sobre un círculo máximo?. Quien sea capaz de distinguirlos que nos diga como! De momento creo, a pesar de pod, que a ese explorador habría que suponerle una capacidad similar a la del diablillo de Maxwell.

Para que ese explorador pueda saber si esos puntos están alineados de la forma que dice pod, es decir sobre geodésica o "recta" de la superficie esférica (definida la recta como la distancia más corta entre dos puntos), necesitará saber que esos tres puntos pertenecen a un plano ecuatorial de la esfera y ¿como lo sabe? Pues necesitará conocer la dirección del centro de esa esfera. No basta con ver esos tres puntos "alineados", ni tampoco ver que sus tres estacas (rectas) se solapan perfectamente.

Si a esa esfera se le supone un campo gravitatorio esa dirección será la de la vertical definida por una plomada o un peso que cae (después de hacer las correcciones debidas a la rotación y a otros movimientos e influencias que pueda tener). Si no hubiese ese campo gravitatorio tendría que utilizar razonamientos puramente geométricos...

Pero lo dicho.., si alguien sabe de algún explorador que, cuando ve tres puntos o tres estacas alineadas, sepa distinguir si se mueve en un paralelo o en un círculo máximo que le pregunte cómo y que nos lo diga

Saludos

[pod]

Re: Rodeando la tierra

¿Acaso si los tres puntos están sobre un paralelo no los ve igual de "alineados" que si están sobre un círculo máximo?.

Pues no. Repito el ejemplo de antes: elije un paralelo muy próximo al polo, a un metro de él. Ese paralelo tiene una longitud de unos seis metros y pico. Si pones los tres puntos separados dos metros (medidos a lo largo del paralelo), no parecerán alineados ni mucho menos (formarán prácticamente un triángulo casi equiátero).

En un paralelo mucho más largo, obviamente el efecto es menos obvio, pero hablando estrictamente siguen sin estar alineados.

En un espacio curva, como una esfera, la definición de línea recta (y por lo tanto de puntos alineados) se substituye por el concepto de transporte paralelo y geodésica. Ergo, cualquier curva que no sea una geodésica no está formada por puntos aparentemente alineados.

[Arahuan]

Re: Rodeando la tierra

Puedes suponer un punto de partida O en alguna parte de la superficie (no necesariamente esférica), a partir de esta realizas un incremento pequeño S (de magnitud S) y te posicionas en un punto A después de un instante t, la dirección estará dada por ese cambio de posición de O a A, es decir el vector v[FONT=system]OA[/FONT].

Dado que te mueves sobre la superficie, y considerándote de una magnitud insignificante contra esta, tu recorrido esta dada por puntos tangentes a la superficie, de igual modo, el cambio de posición respecto del tiempo es siempre tangente a la trayectoria.

La dirección del vector v[FONT=system]OA[/FONT], podríamos esperar que fuera la misma que si nos dirigiéramos de A a B es decir, v[FONT=system]OA[/FONT] = v[FONT=system]AB[/FONT], en general esto solo sería valido si te movieras en un plano.

El motivo es sencillo tu percepción de dirección solo puede estar referido sobre la superficie en que te mueves (eso es lo humanamente posible) y no notarías si en algún instante la superficie se empieza a hacer curvo...

Tu superficie si cumple con las leyes físicas se curvara debido a la fuerza de atracción gravitacional, si suponemos que no hay otras fuerzas que alteren tu recorrido, como la fricción del viento y la del terreno, entonces tu tenderas a avanzar en la misma dirección, (lo cual sería cierto si no hubiera una fuerza gravitacional que altera tu movimiento, según la 1° ley de Newton)

Como tu no tienes intención de cambiar de dirección, lo único que te obligara a hacerlo es la fuerza dirigida hacia el centro de la superficie, y tu recorrido tendería a describir una trayectoria circular...

Finalmente concluyo casi igual que como te dijeron al principio, tu trayectoria no es plana sino curva por tanto tres puntos sobre esta, al no ser colineales definen un plano, al estar limitado a moverte sobre la superficie del cuerpo tu recorrido sera la intersección de la superficie con este plano...

Bajo este razonamiento si estas es un trópico y te mueves de este a oeste, deberías describir la circunferencia del trópico (por ser la intersección de tu trayectoria con la superficie), sin embargo la fuerza es mayor del lado del ecuador que la del polo más cercano a ti, y por esto tu trayectoria tendera a desviarse hasta que la fuerza entre los ambos fragmentos de la superficie equilibren sus fuerzas (en el ecuador)...

- - - Actualizado - - -

Puedes suponer un punto de partida O en alguna parte de la superficie (no necesariamente esférica), a partir de esta realizas un incremento pequeño S (de magnitud S) y te posicionas en un punto A después de un instante t, la dirección estará dada por ese cambio de posición de O a A, es decir el vector v[FONT=system]OA[/FONT].

Dado que te mueves sobre la superficie, y considerándote de una magnitud insignificante contra esta, tu recorrido esta dada por puntos tangentes a la superficie, de igual modo, el cambio de posición respecto del tiempo es siempre tangente a la trayectoria.

La dirección del vector v[FONT=system]OA[/FONT], podríamos esperar que fuera la misma que si nos dirigiéramos de A a B es decir, v[FONT=system]OA[/FONT] = v[FONT=system]AB[/FONT], en general esto solo sería valido si te movieras en un plano.

El motivo es sencillo tu percepción de dirección solo puede estar referido sobre la superficie en que te mueves (eso es lo humanamente posible) y no notarías si en algún instante la superficie se empieza a hacer curvo...

Tu superficie si cumple con las leyes físicas se curvara debido a la fuerza de atracción gravitacional, si suponemos que no hay otras fuerzas que alteren tu recorrido, como la fricción del viento y la del terreno, entonces tu tenderas a avanzar en la misma dirección, (lo cual sería cierto si no hubiera una fuerza gravitacional que altera tu movimiento, según la 1° ley de Newton)

Como tu no tienes intención de cambiar de dirección, lo único que te obligara a hacerlo es la fuerza dirigida hacia el centro de la superficie, y tu recorrido tendería a describir una trayectoria circular...

Finalmente concluyo casi igual que como te dijeron al principio, tu trayectoria no es plana sino curva por tanto tres puntos sobre esta, al no ser colineales definen un plano, al estar limitado a moverte sobre la superficie del cuerpo tu recorrido sera la intersección de la superficie con este plano...

Bajo este razonamiento si estas es un trópico y te mueves de este a oeste, deberías describir la circunferencia del trópico (por ser la intersección de tu trayectoria con la superficie), sin embargo la fuerza es mayor del lado del ecuador que la del polo más cercano a ti, y por esto tu trayectoria tendera a desviarse hasta que la fuerza entre los ambos fragmentos de la superficie equilibren sus fuerzas (en el ecuador)...

Corrijo, si te encuentras en un trópico y lanzas un satélite para que entre en orbita dirigido hacia el oeste, desde el primer instante el vector v[FONT=system]OA[/FONT] tendrá una componente que estará dirigida hacía el centro de la superficie, al estar en la superficie (y si no cuentas con un gravímetro), no detectaras este componente que esta alterando lo que tu percibes como dirección...

Entonces el vector resultante se desviara de su aparente camino (a lo largo del trópico) y circundará tu superficie, cuya trayectoria sera la intersección del plano que determinan cuales quiera 3 puntos en el recorrido del satélite y la superficie (nota que la trayectoria no sera la del ecuador sino sera una trayectoria tal que tenga equilibrada las fuerzas a la izquierda y la derecha del recorrido y que regresara al mismo punto de inicio ya que estamos despreciando efectos de otros cuerpos)...

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Tu superficie si cumple con las leyes físicas se curvara debido a la fuerza de atracción gravitacional, si suponemos que no hay otras fuerzas que alteren tu recorrido, como la fricción del viento y la del terreno, entonces tu tenderas a avanzar en la misma dirección, (lo cual sería cierto si no hubiera una fuerza gravitacional que altera tu movimiento, según la 1° ley de Newton)
Como tu no tienes intención de cambiar de dirección, lo único que te obligara a hacerlo es la fuerza dirigida hacia el centro de la superficie, y tu recorrido tendería a describir una trayectoria circular...

Hola Arahuan
En lo que entiendo, tú nos traes aquí un problema distinto.
Se trataría de hallar la trayectoria de un cuerpo que puede moverse sobre la superficie de una esfera gravitatoria equipotencial sin rozamientos ni otras fuerzas externas.
Efectivamente, si ese cuerpo recibe un impulso que le comunique una velocidad inicial, su trayectoria será una geodésica...

Pero el problema aquí es otro: es el de saber cual es la trayectoria que seguirá un explorador que decide ponerse a caminar siguiendo la trayectoria que el mismo va marcando con unas estacas que coloca una después de otra de forma que la tercera la ve alineada con las dos primeras, la cuarta con las tres primeras, la quinta con las cuatro primeras y así sucesivamente....Se trata de saber si esta trayectoria tiene que ser una geodésica o puede ser un paralelo....
Hola pod:

Pues no. Repito el ejemplo de antes: elije un paralelo muy próximo al polo, a un metro de él. Ese paralelo tiene una longitud de unos seis metros y pico. Si pones los tres puntos separados dos metros (medidos a lo largo del paralelo), no parecerán alineados ni mucho menos (formarán prácticamente un triángulo casi equiátero).
En un paralelo mucho más largo, obviamente el efecto es menos obvio, pero hablando estrictamente siguen sin estar alineados.
En un espacio curva, como una esfera, la definición de línea recta (y por lo tanto de puntos alineados) se substituye por el concepto de transporte paralelo y geodésica. Ergo, cualquier curva que no sea una geodésica no está formada por puntos aparentemente alineados.

Esto que explicas tú, amigo pod, es "ver" esos puntos proyectados hacia el centro de la esfera. Para el explorador poder ver ese efecto no necesita situarse en un paralelo de radio pequeño. Puede verlo en un paralelo de cualquier radio, solo tiene que decidir colocar las estacas que decía Jabato dirigidas hacia el centro de la esfera (la dirección vertical del campo gravitatorio). Si, colocando todas la estacas en dirección vertical, no está siguiendo un círculo máximo sino un paralelo, pronto se dará cuenta que no puede "solapar" o esconder todas sus estacas detrás de su primera estaca (la última añadida). PERO, coincidirás amigo pod, EN QUE HA TENIDO QUE ECHAR MANO DE CONOCER EL CENTRO DE LA ESFERA Y ELEGIR ESA DIRECCIÓN HACIA EL CENTRO DE LA ESFERA PARA LA PRIMERA ESTACA. Si, desconociendo la dirección vertical o por decisión propia, esa primera estaca no está dirigida hacia el centro de esa esfera, el explorador seguirá pudiendo esconder sus estacas detrás de la última que va añadiendo pero no seguirá un circulo máximo sino un paralelo.

Y lo que hace este explorador eligiendo la dirección vertical para las estacas es lo mismo que haces, pod, al mirar esos puntos sobre un paralelo de radio pequeño. Porque... haz pasar por cada uno de esos puntos una estaca contenida en el plano del paralelo. Mira ahora esas estacas desde el propio plano del paralelo, (tenga 1 m o tenga 10.000 m de radio), ¿las ves o no las ves alineadas?.

Y era de esto de lo que hablaba yo en el anterior mensaje:

Para ese explorador poder saber si sus puntos están alineados de la forma que dice pod, es decir sobre geodésica o "recta" de la superficie esférica (definida la recta como la distancia más corta entre dos puntos), necesitará saber que esos tres puntos pertenecen a un plano ecuatorial de la esfera y ¿como lo sabe? Pues necesitará conocer la dirección del centro de esa esfera. No basta con ver esos tres puntos "alineados", ni tampoco ver que sus tres estacas (rectas) se solapan perfectamente.

Y esto es lo que he tratado de explicar en otro mensaje anterior diciendo que previamente a decidir si tres puntos están o no alineados habrá que explicar como saber si esos tres puntos están o no alineados.
Y vuelvo a recordar aquí lo que decía nuestro profesor de Termodinámica (que los que estudiaron el Facultad de Químicas de Santiago de Compostela en los años 70-80 también han conocido): "las matemáticas no son física". Siguiendo su razonamiento, en Física no nos vale decir "se dice que tres puntos están alineados si pertenecen a la misma recta" Y como se sabe si pertenecen a la misma recta: "tres puntos pertenecen a una misma recta si las coordenadas del tercer punto cumple con la ecuación de la recta que pasa por los dos primeros". Esto sería matemáticas, no física. En Física, habría que añadir de que forma comprobar que esos tres puntos pertenecen a la misma recta o definir la recta de forma no matemática sino operacional (recta es la linea imaginaria que coincide con la trayectoria de un rayo de luz ¿como comprobamos si tres puntos están alineados? Comprobando que un rayo de luz que pasa por los dos primeros pasa también pasa por el tercero).

Un saludo

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Creo que te equivocas oscar, la trayectoria del explorador es independiente de la verticalidad de las estacas, las estacas solo hacen que marcar puntos en el suelo y son esos puntos los que deben alinearse. Imagino que el explorador sí podrá marcar tres puntos alineados en el suelo ¿o no?. Si lo prefieres en lugar de colocar estacas el explorador solo lleva algo de tiza y se limita a pintar una línea recta en el suelo. El explorador marca una línea recta en el suelo, en la forma que más te guste (normalmente usando visuales), y solo se limita a prolongarla cada vez y a seguir su traza. Ya te dije en un mensaje anterior que el explorador no dispone de equipo alguno que le permita medir verticales ni horizontes, ni plomadas ni otras herramientas. Se limita a trazar una recta en el suelo, prolongarla y seguir a continuación su traza repitiendo la operación tantas veces como sea necesario. Es sencillo ¿no?

Para hacer eso tan sencillo no necesita conocer ni la vertical, ni donde está el centro de la tierra, ni la horizontal, ni ver el sol, la luna o las estrellas, ni nada parecido. Solo tiene que marcar tres puntos alineados en el suelo usando una visual. Más sencillo imposible. Te permito hasta elegir la distancia a que se ubican los puntos y ni tan siquiera te exijo que sea siempre la misma, puede medirse la distancia entre los puntos a pasos, de forma aproximada. El truco está en seguir siempre una misma alineación y si lo hace su trayectoria coincidirá con un circulo máximo de la tierra.

Salu2

[Arahuan]

Re: Rodeando la tierra

Si consideramos una tierra esférica

Entre los trópicos y el ecuador esta lo que conocemos como paralelas, que no son tan paralelas basta darse cuente que entre el límite de las paralelas que vendría a ser un polo y cualquiera de estas digamos el ecuador cada punto del ecuador equidista al punto localizado en el polo lo cual por definición es una circunferencia

Por tanto ni en el ecuador esto sería una linea recta, ahora bien tu pides que se mantenga una dirección sobre la superficie, la cual bien debería poder ser representada por coordenadas polares, entre el un punto O y un punto A, se genera una recta OA, la cual sirve de eje polar a partir de este punto A se avanza a B, el segmento AB con respecto a nuestro eje polar tiene un ángulo ß, para ser una recta ß=0, pero esto significaría que no hay curvatura en nuestra superficie y si suponemos que nuestra superficie se curva entones ß es distinta de 0, por tanto no es una recta.

Si hacemos que no vimos nada, entonces la superficie debe ser suficientemente grande (para que ß→0) o nuestra visión suficientemente pobre...

Supongamos la primera...

El ángulo ß (que tiende a 0), pasa desapercibido por lo que AB se convierte en nuestro nuevo eje polar, a partir de este avanzamos a un punto C, cuyo ángulo ABC→0, y continuamos con nuestra operación hasta un punto W, donde el ángulo UVW→0

No hace falta avanzar más para concluir que nos estamos moviendo sobre el circulo máximo, el razonamiento es simple...

El ángulo ß entre OAW, ya es distinto de 0, vasta preguntarse si los punto O, A y W que definen un plano, cortan a la esfera por la mitad...

Sabemos que nuestra esfera es perfectamente simétrica, así que podemos rotar la esfera sin perdida de generalidad hasta llevar el punto O y el punto A al plano Z=0, bien lo siguiente es preguntarnos si W también pertenece al plano Z=0

Como en todo instante intentamos trazar una linea recta, el ángulo ß, no debió adoptar una posición en Z>0 o Z<0, por que de haberlo hecho lo hubiéramos detectado y el error humano no cabe en nuestro ejemplo, por tanto ß siempre modifica la posición de nuestra «pseudorecta», haciendola tender hacía una curva que se encuentra contenida en el plano Z=0 y que corresponde a un circulo máximo... no hace falta decir que al avanzar por el circulo máximo (que es la intersección del plano Z=0 y la esfera) llegaremos eventualmente al mismo punto...

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Creo que te equivocas oscar, la trayectoria del explorador es independiente de la verticalidad de las estacas, las estacas solo hacen que marcar puntos en el suelo y son esos puntos los que deben alinearse. Imagino que el explorador sí podrá marcar tres puntos alineados en el suelo ¿o no?. Si lo prefieres en lugar de colocar estacas el explorador solo lleva algo de tiza y se limita a pintar una línea recta en el suelo. El explorador marca una línea recta en el suelo, en la forma que más te guste (normalmente usando visuales), y solo se limita a prolongarla cada vez y a seguir su traza. Ya te dije en un mensaje anterior que el explorador no dispone de equipo alguno que le permita medir verticales ni horizontes, ni plomadas ni otras herramientas. Se limita a trazar una recta en el suelo, prolongarla y seguir a continuación su traza repitiendo la operación tantas veces como sea necesario. Es sencillo ¿no?

Para hacer eso tan sencillo no necesita conocer ni la vertical, ni donde está el centro de la tierra, ni la horizontal, ni ver el sol, la luna o las estrellas, ni nada parecido. Solo tiene que marcar tres puntos alineados en el suelo usando una visual. Más sencillo imposible. Te permito hasta elegir la distancia a que se ubican los puntos y ni tan siquiera te exijo que sea siempre la misma, puede medirse la distancia entre los puntos a pasos, de forma aproximada. El truco está en seguir siempre una misma alineación y si lo hace su trayectoria coincidirá con un circulo máximo de la tierra.

Salu2

Bien, Volvemos a los puntos.
Empezaremos suponiendo que tú al igual que yo consideras al punto como un ente independiente independiente de la recta o de la linea, del plano o de cualquier superficie, sea cual sea su forma. ¿Si?
Coge un superficie esférica. Pon a tu explorador sobre un paralelo o sea sobre la circunferencia resultado de la intersección de la esfera con un plano que no contenga a un círculo máximo. Dile a tu explorador que marque con su tiza tres puntos sobre ese paralelo.
Como el punto es independiente de la superficie sobre la que está (así lo hemos convenido al principio!), quita ahora la superficie esférica. Te quedan solo los tres puntos. ¿De acuerdo?
¿Por que sabe ahora tú explorador si esos puntos pertenecen a un paralelo o a un meridiano? Es decir, ¿como puede saber ahora tu explorador si esos tres puntos están o no alineados de acuerdo?.Bueno para tu explorador no hay duda alguna...él los ha elegido y sabe muy bien que no están alineados. Pero llamemos a otro explorador y presentémosle los tres puntos: ¿como puede este segundo explorador si ese conjunto de 3 puntos pertenecieron a un paralelo o a un meridiano? ¿Como podrá saber si esos tres puntos están o no alineados? La respuesta: necesitará de una referencia ajena a esos tres puntos.

Un saludo