Rodeando la tierra

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Vamos a ver si soy capaz de explicarlo. Tres puntos en el espacio (no alineados en el sentido euclideo) determinan un plano, de eso no hay duda, y dentro de ese plano determinan una circunferencia, correcto también. Si por el centro de esa circunferencia trazamos la perpendicular al plano cada punto de dicha perpendicular sería el centro de una esfera que contiene a los tres puntos y por lo tanto a la circunferencia. Hasta ahí creo que no hay duda. Ahora bien esos tres puntos solo estarán alineados en una de esas esferas, la que tiene su centro en el plano que forman los tres puntos. Nada que objetar al razonamiento. El concepto de puntos alineados es relativo a la esfera que los contiene. No hay que olvidar que el explorador se desplaza precisamente por la esfera.

La cuestión estriba en demostrar que una geodésica trazada por el explorador en un plano se convierte a su vez en una geodésica trazada en la esfera. No es fácil entenderlo pero para mí el fenómeno ocurre, es decir si el explorador es capaz realizar su trabajo entonces la trayectoria descrita es un círculo máximo, lo que todavía no tengo claro es porqué ocurre, pero desde luego que ocurre, de eso no tengo dudas.

Ahora bien no hay que perder de vista que el explorador no traza una única linea sino que en cada fase del proceso va trazando los lados de una poligonal que resulta estar inscrita en un círculo máximo de la esfera y eso ocurre precisamente porque anda en linea recta por la esfera (su percepción es la de una linea recta aunque todos sabemos que realmente no lo es). Si estuviera andando por otra esfera distinta de entre las descritas más arriba entonces aunque él realizara exactamente el mismo trabajo, su trayectoria sería distinta porque la esfera sería distinta. Realmente curioso. El explorador no percibe la diferencia de lo que hace en cada caso, el actúa siempre de la misma forma, pero el resultado es bien distinto, aunque siempre acabará volviendo al punto del que partió después de rodear completamente la esfera trazando precisamente un círculo máximo.

Salu2

[abuelillo]

Re: Rodeando la tierra

Jabato lo que explicas creo que ha quedado bastente claro, yo entiendo que en este hilo se estan tratando y mezclado dos temas diferentes.
Por un lado la cuestion que has explicado y por otro lado una cuestion que habla de estacas, alineamientos y muy importante: que supone que el explorador no sabe andar en linea recta (por eso necesita las estacas), porque si ya sabe andar en linea recta no tiene sentido ir con estacas por ahi comprando alineamientos.
Lo que he dicho que no entiendo de la respuesta de pod se refiera a una pregunta muy especifica de oscar sobre 3 puntos y que no tiene que ver con que el explorador ande en linea recta o no. Así que repito lo que preguntó oscar de una forma mucho mas especifica, los 3 siguientes puntos:
$P=(-1,0,0)$
$Q=(1,0,0)$
$R=(0,\sqrt{3},0)$
Que están situados en la superficie de una esfera desconocida, ¿ estan alineados o no ?

[pod]

Re: Rodeando la tierra

Este hilo empieza a padecer del típico caso de sobre análisis, llevando a una respuesta mucho más compleja de lo necesario

Esto no lo entiendo, 3 puntos en el espacio de la superficie de una esfera no definen de forma univoca una unica esfera, pueden corresponder a distintas esferas de distintos radios y centros. Si sustituyo los 3 puntos que tengo en la ecuacion de una esfera, me salen un sistema no lineal de 3 ecuaciones y 4 incognitas (no se el radio, ni el centro).
Luego si solo a partir de los 3 puntos (y sin ninguna otra información como por ejemplo la curvatura o la direccion del centro, que nos permita deducir la ecuacion de la esfera y por lo tanto su centro) podemos concluir que forman un circulo maximo (saber si estan alineados), tiene que cumplirse que formen un circulo maximo en todas las esferas posibles a las que puedan pertenecer, ¿ esto se cumple ?
Yo diria que no, si tengo 3 puntos en el espacio tridimensional formando un triangulo equilatero, puede ser que pertenezcan a una esfera pequeña cuyo centro esta justo en el centro del triangulo y por lo tanto formen un circulo maximo, o puede ser que esos 3 puntos formen parte de una esfera muchisimo mayor con centro fuera del triangulo y que por lo tanto no esten alineados en absoluto.

Aquí estás dando por supuesto que la esfera está inmersa en un espacio tridimensional. Pero no tiene por qué ser así. La geometría Riemanniana tiene suficientes herramientas para estudiar una variedad por si sola, sin que sea necesario recurrir siempre a una inmersión ("embedding" en inglés).

Si estudiamos la variedad diferencial $S^2$ (es decir, una esfera) por si sola, sin considerarla inmersa en un espacio tridimensional plano, entonces simplemente no existe tal cosa como "centro de la esfera", ni ningún tipo de dirección "de la plomada" ni nada de eso.

La forma de saber si un circulo de la esfera (es decir, una subvariedad $S^1$) es máximo o no es muy sencilla, y está explicitada en el nombre. Un círculo es máximo si cualquier deformación del mismo hace que su longitud sea menor.

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Ya pues entonces parece que no he leído bien tu mensaje, lo volveré a revisar a ver si lo entiendo. Mi posición está clara, sí, y la de Oscar también, lo que no acaba de entenderse es como es posible que ambos parece que tengamos razón. Uno de los dos debería estar equivocado ¿no?

Salu2

[abuelillo]

Re: Rodeando la tierra

La forma de saber si un circulo de la esfera (es decir, una subvariedad $S^1$) es máximo o no es muy sencilla, y está explicitada en el nombre. Un círculo es máximo si cualquier deformación del mismo hace que su longitud sea menor.

Pero eso es no es un poco como hacer trampa y cambiar las condiciones del experimento.

Se habla de un explorador en un mundo tridimensional, no de un un explorador en un mundo bidimensional con una cierta curvatura (extrinseca o intrinseca da igual). Si planteamos que el explorador vive en un mundo bidimensional, al alinear las estacas, por ejemplo visualmente, los rayos de luz al viajar de una estaca a otra siguen la distancia minima en ese mundo que se corresponde con una geodesica (suponiendo que el mundo tienen leyes de movimiento equivalentes al nuestro). Pero un explorador en la tierra en un mundo tridimensional no tiene ese lujo, los rayos de luz no siguen una linea geodesica sobre la superficie bidimensional de la tierra.

El explorador tridimensional terrestre tendria que poner tres estacas, pero despues necesitaría medir la distancia entre ellas, y para eso no vale comprobar visualmente el alineamiento, tiene que poner infinitas estacas alineadas (o dar infinitos pasos) entre las tres estacas para poder comprobar la distancia entre ellas, pero como partimos de que el explorador es un humano tridimensional (y Jabato ha postulado que es cojo y medio tuerto lo que dificulta aun mas el problema), el principio de minima accion sobre mundos bidimensionales no se le aplica, asi que no sabría seguir una linea geodesica bidimensional para comprobar cual es la ruta minima posible.
Vale que podriamos decirle al explorador: toma todas las infinitas rutas posibles entre estas dos estacas que incluyan a la estaca del medio y escoge la mas corta, pero claro , luego ya hablamos de un explorador con superpoderes, que está usando mas de 3 puntos de la superficie para comprobar la alineacion (en realidad los estaría usando todos !!!), y dudo en llamar a esto alineamiento visual, asi que no tengo claro que esto sea admisible por lo menos en las condiciones del problema planteado.

[carroza]

Re: Rodeando la tierra

Así que repito lo que preguntó oscar de una forma mucho mas especifica, los 3 siguientes puntos:
$P=(-1,0,0)$
$Q=(1,0,0)$
$R=(0,\sqrt{3},0)$
Que están situados en la superficie de una esfera desconocida, ¿ estan alineados o no ?

Hola. Interesante debate. Voy a tratar de responder a esta pregunta.

Tres puntos en el espacio definen una circunferencia. Esta circunferencia está contenida en la superficie de infinitas esferas.

Unicamente en la esfera de radio mínimo, para la cual la circunferencia definida por los puntos es un circulo máximo, puede decirse que los tres puntos estén alineados.

En el resto de las esferas, que contienen a los tres puntos, los tres puntos no estarán alineados.

Un saludo

- - - Actualizado - - -

Y como las matemáticas no son Física....imaginad tres naves en alta mar, las tres siguiendo la ruta de un paralelo terrestre. ¿Será capaz la primera de las naves de ver que la tercera no está "alineada" con las dos primeras?. Si pudieran verse desde fuera de la Tierra, a una distancia donde se pudiera apreciar la curvatura de la Tierra o si, por algún arte de magia, pudieran reducir a escala el tamaño de la Tierra hasta apreciar la curvatura, sin duda que serían capaces, porque, aunque fuese de forma inconsciente, podrían situar el centro de la Tierra....Sin saber situar el centro de la Tierra, lo creo imposible.

Hola.

Imaginemos las tres naves, con una luz sobre su mástil. Desde la nave trasera, veríamos las dos luces de las naves anteriores, que no coincidirían exactamente en la misma dirección por efecto de la curvatura de la tierra..

Si las naves viajan en un circulo máximo, las posiciones relativas de las luces, no coincidentes, serán perpendiculares a la línea del horizonte.

Sin embargo, si viajamos por un paralelo, las posiciones relativas de las luces no son perpendiculares al horizonte.

Así que quizás baste una condición menos restrictiva que conocer la dirección del centro de la tierra. Basta conocer la línea del horizonte.

Un saludo.

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Tres puntos en el espacio definen una circunferencia. Esta circunferencia está contenida en la superficie de infinitas esferas.
Unicamente en la esfera de radio mínimo, para la cual la circunferencia definida por los puntos es un circulo máximo, puede decirse que los tres puntos estén alineados.
En el resto de las esferas, que contienen a los tres puntos, los tres puntos no estarán alineados.

Pero este, en lo que entendí, no era el problema inicial.
El problema inicial era si un explorador sobre la superficie terrestre (considerada una esfera perfecta) es capaz de
acertar en seguir la trayectoria de un círculo máximo sin ninguna información, ni explícita ni implícita, sobre la dirección del centro de la esfera con solo marcar tres puntos sobre esa superficie esférica.

Imaginemos las tres naves, con una luz sobre su mástil. Desde la nave trasera, veríamos las dos luces de las naves anteriores, que no coincidirían exactamente en la misma dirección por efecto de la curvatura de la tierra..
Si las naves viajan en un circulo máximo, las posiciones relativas de las luces, no coincidentes, serán perpendiculares a la línea del horizonte.
Sin embargo, si viajamos por un paralelo, las posiciones relativas de las luces no son perpendiculares al horizonte.
Así que quizás baste una condición menos restrictiva que conocer la dirección del centro de la tierra. Basta conocer la línea del horizonte.

Pero, amigo carroza, ese mástil te está indicando la dirección del centro de la Tierra. Y trataríamos con vectores, no con puntos.

Cosa distinta es lo que pod explica en el post 63. En lo que entendí yo de lo que ahora dice pod, es que el explorador tendría que estudiar la curvatura de la superficie esférica a nivel local (o estudiar la curvatura de las distintas trayectorias) y después de ese estudio efectivamente puede elegir la trayectoria del circulo máximo. Pero, con permiso de pod, yo no entendí que este fuera el problema inicial planteado, o por lo menos ese no fue el debate que yo entendía que estábamos haciendo.

Saludos a todos

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Desde luego que no, el debate dice que el explorador, cojo y tuerto, podrá dirigirse segun un círculo máximo de la tierra con solo establecer tantos puntos alineados como sea necesario utilizando para ello su propia visión, es decir trazando tan solo lineas visuales podrá describir un circulo máximo de la tierra. No puede por lo tanto establecer verticales ni el plano de horionte. Tan solo puede trazar una alineación de puntos usando como únicas referencias su propia vista y el suelo que pisa. Se admite que la tierra es perfectamente esférica a todos los efectos.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Hola Jabato
disculpa, pero la discusión empezó así...

Necesitaría demostrar que si nos movemos sobre la superficie terrestre siempre manteniendo la misma dirección al final llegaríamos a describir un círculo máximo de la tierra.
Por ejemplo un explorador que avanza en la dirección de tres puntos alineados sobre el suelo. Cuando alcanza el tercero sitúa un nuevo punto alineado con los tres anteriores, y continua su avance, etc. Se trata de demostrar que acabaría llegando al punto de partida después de haber descrito un círculo máximo.

Y consecuencia de este enunciado yo debatía sobre como puede saber ese explorador si sus tres primeros puntos están o no alineados. Y estaremos de acuerdo que puntos no son vectores y que tampoco una sucesión lineal de puntos (una trayectoria) es una superficie...sobre la que poder estudiar (a nivel local) la curvatura de las posibles trayectorias...

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

¿Y he dicho yo algo que contradiga eso? Ese fué precisamente mi primer mensaje porque el debate lo inicié yo, no sé si lo recuerdas.

[carroza]

Re: Rodeando la tierra

Pero, amigo carroza, ese mástil te está indicando la dirección del centro de la Tierra. Y trataríamos con vectores, no con puntos.

Cosa distinta es lo que pod explica en el post 63. En lo que entendí yo de lo que ahora dice pod, es que el explorador tendría que estudiar la curvatura de la superficie esférica a nivel local (o estudiar la curvatura de las distintas trayectorias) y después de ese estudio efectivamente puede elegir la trayectoria del circulo máximo. Pero, con permiso de pod, yo no entendí que este fuera el problema inicial planteado, o por lo menos ese no fue el debate que yo entendía que estábamos haciendo.

Saludos a todos

Olvida el mastil. Imagina barcos puntuales, con una lucecita, e imagina que la tierra es transparente. Desde tus barco trasero verás dos puntos delante, que no están geométricamente alineados. Te hace falta la línea del horizonte, para decidir si la desviación que ves se debe al movimiento a lo largo del circulo máximo (en cuyo caso la línea aparente que une los dos puntos es perpendicular al horizonte), o en otra dirección diferente.

Conocer la línea del horizonte es menos restrictivo que conocer la dirección del centro de la tierra.

Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Hola carroza
Antes de nada disculpas por haber leído a medias tu mensaje, porque esta aclaración que ahora me haces ya está puesta en tu mensaje anterior. Y gracias, pues, por esta tu aclaración. Lo que pasa es que el enunciado de este hilo parece poder tener tantas interpretaciones que bien seguro que hasta el mismo explorador tuerto y cojo de Jabato se estén cansando de nosotros.

¿Barco puntuales? Bien. Y ¿con una lucecita para hacerlo más puntual? Pues mejor. Solo tenemos que ponernos en la primera de las lucecitas que será para nosotros el centro de un horizonte visual de forma circular. Como las dos primeras lucecitas siempre marcan la dirección de un radio del campo visual, solo tenemos que ver si la tercera lucecita está alineada para decidir si estamos sobre una circunferencia máxima o sobre un paralelo... Pero hemos necesitado de la linea del horizonte para saber si están alineados sobre un círculo máximo...Es decir, hemos necesitado conocer la curvatura de la esfera ...(que es otra forma de conocer la dirección del centro) y entonces ya no es el problema de que ese explorador tuerto y cojo que Jabato nos trajo de la guerra de Abisinia (seguro que para torturarnos la cabeza) pueda acertar con la trayectoria del círculo máximo con solo "alinear visualmente" tres puntos sin ninguna otra referencia.

Efectivamente que si echamos mano de vectores que nos señalen la dirección vertical de la trayectoria, o de vectores que se trasladen tangencialmente (que es otra forma de señalar la dirección vertical) o echamos manos de la curvatura de la esfera (sea estudiándola a nivel local o recurriendo a la linea del horizonte visual) claro que es posible alinear esos tres puntos y a partir de ellos continuar alineando los demás hasta completar el círculo máximo. Mas sin alguna de esas referencias externas a los tres puntos sigo pensando que comprobar la alineación de los tres puntos es tarea imposible, lo mismo para la geometría, que para la Física.

Saludos

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Vamos a ver si salimos del atasco, creo que tengo algo más de visión del problema. Hagamos dos supuestos:

1º).- Los tres puntos se encuentran sobre la superficie esférica de la tierra: En ese caso Oscar tiene razón, los puntos desde los que el explorador verá tres puntos alineados quedan determinados por la intersección del plano que forman los tres puntos con la superficie de la tierra. Si nos molestamos en analizar esta solución veremos que existe una curva solución aún cuando los tres puntos no pertenezcan a un círculo máximo. Por lo tanto el explorador podría moverse de forma errónea, es decir siguiendo una trayectoria que no fuera un círculo máximo.

2º).- Los tres puntos se encuentran sobre el plano tangente a la esfera: En ese caso creo que soy yo el que tiene razón porque de esa forma no es posible visualizar una alineación sin que los tres puntos estén verdaderamente alineados, es decir euclideamente alineados. Si están verdaderamente alineados el explorador verá los puntos alineados desde cualquier posición en la que se encuentre, dato que le permite evaluar la posición del tercer punto sin problemas.

Creo que esto aporta algo de luz al problema, aunque ciertamente no demasiada.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Vamos a ver si salimos del atasco, creo que tengo algo más de visión del problema. Hagamos dos supuestos:

Los tres puntos se encuentran sobre el plano tangente a la esfera: En ese caso creo que soy yo el que tiene razón porque de esa forma no es posible visualizar una alineación sin que los tres puntos estén verdaderamente alineados, es decir euclideamente alineados. Si están verdaderamente alineados el explorador verá los puntos alineados desde cualquier posición en la que se encuentre, dato que le permite evaluar la posición del tercer punto sin problemas.
Creo que esto aporta algo de luz al problema, aunque ciertamente no demasiada.

Salu2

Hola Jabato.
Desde luego que este tu explorador (a pesar de tuerto y cojo) nos lleva dado sus quebraderos de cabeza....

En este segundo supuesto, siempre que proyectes esos tres puntos del plano tangente perpendicularmente sobre la esfera, efectivamente que tienes razón, pues con esa perpendicularidad se asegura que los puntos pertenecen a un plano que pasa por el centro de la esfera y, con ello, que sus proyecciones sobre la esfera estarán sobre un círculo máximo.

Saludos (y, a ver si entre todos, podemos hacer que ese tu explorador pueda regresar a sus tierras de Abisinia a descansar un poco. Lo tiene bien merecido)

[abuelillo]

Re: Rodeando la tierra

V
2º).- Los tres puntos se encuentran sobre el plano tangente a la esfera: En ese caso creo que soy yo el que tiene razón porque de esa forma no es posible visualizar una alineación sin que los tres puntos estén verdaderamente alineados, es decir euclideamente alineados. Si están verdaderamente alineados el explorador verá los puntos alineados desde cualquier posición en la que se encuentre, dato que le permite evaluar la posición del tercer punto sin problemas.

Y volvemos al problema que mencione en un post anterior, el explorador tiene que seguir poniendo estacas, no le llega con solo 3, la cuarta estará alineada con las 3 anteriores, y asi sucesivamente, de modo que seguirán la linea tangente euclidea inicial y cada vez necesitará estacas mas altas. Llegara un punto que tiene que bajar una estaca. Si ha puesto muchas estacas, viendo hacia atrás vera que los puntos superiores de las estacas forman una linea recta que surge del horizonte y se va elevando, puede usar esa linea recta para decidir donde clavar la siguiente estaca, pera ello tiene que moverse a izquierda y derecha hasta encontrar el punto en el que esa linea es perpendicular al horizonte, y aqui ya estaría usando la curvatura de la tierra para alinearse.
Otra opcion es que escale hasta lo mas alto de las tres ultimas estacas y se deje caer, asi la gravedad hace su trabajo y le deja justo en los puntos correctos sobre la superficie, y de paso descubre la direccion hacia el centro de la tierra.