Divulgación Consulta sobre obtención de autovectores

[inakigarber]

Buenas tardes;
Estoy estudiando por mi cuenta las matrices, en particular su aplicación a la mecánica cuántica, pero me estoy encontrando con algunos problemas de conceptos matemáticos que no se muy bien como resolver. Uno de ellos es el relativo al cálculo de autovectores para diagonalizar matrices. Por mucho que le doy vueltas no se como calcularlos. En este enlace, llego hasta el paso en que se calculan los valores propios (que me coinciden con el resultado) pero me pierdo en el paso siguiente. He tratado de calcularlos aplicando la ecuación que indica en el paso siguiente, pero no alcanzo a sacar los sistemas de ecuaciones que me den esos valores, partiendo de cada uno de los autovalores obtenidos. Entiendo que a cada autovalor le corresponde un autovector ¿es asi? Entiendo también que si un autovalor se repite "n" veces, le corresponde "n" autovectores diferentes, pero me pierdo en como calcularlos. ¿Como podría obtenerse (por ejemplo en el caso del enlace propuesto)?
Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre obtención de autovectores

Entiendo que a cada autovalor le corresponde un autovector ¿es asi?

No tiene porqué. Si la matriz no diagonaliza eso no ocurre. Lo que te has de fijar es que el número de vectores propios coincida con la multiplicidad de su autovector asociado, es decir, el número de veces que aparace un mismo autovalor. Por ejemplo, si tenemos como autovalores 2, 3 y 2 pues la multiplicidad de 2 es 2 y la de 3 es 1. Si para el 2 hay dos vectores propios y para el 3 uno, la matriz diagonaliza.

En cuanto a la wikipedia no te mires demasiado los ejemplos porque empiezan la casa por el tejado. Es decir, aplican procedimientos que no son los primeros que has de aprender (ni son los habituales). Consideremos la matriz la matriz $A=\left( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right)$ con valores propios $-1$ y $4$. Sea $v=(x, y)$ un vector (columna) de incógnitas, los sistemas a plantear son $Av=(-1) v$ y $Av=4v$ (no es más que la definición de vector propio). Estos sistemas son sobredeterminados. Tienen infinitas soluciones, a nosotros sólo nos interesan las linealmente independientes. Para ello calcula el número de parámetros y deja las incógnitas en función de ellos. Ahora da valores a los parámetros de forma que obtengamos incógnitas-ecuaciones vectores. En el ejemplo los sistemas son por un lado:

$x+2y=-x$
$3x+2y=-y$

Y por otro:

$x+2y=4x$
$3x+2y=4y$

En el primero obtenemos:

$x+y=0$
$x+y=0$

Nos sobra una:

$x+y=0$

Incógnitas 2, ecuaciones 1. Número de vectores propios: 2-1=1.

$x=-y$

Para $y=1$, $x=-1$. El vector propio asociado a -1 es $(-1, 1)$. Podríamos haber escogido cualquier $y$ diferente de cero. El que no sea cero es porque el vector nulo no es nunca vector propio. En otros casos sí es posible anular algún parámetro.

El otro sistema te lo dejo a ti. Soy consciente de que te he dado mucha información de golpe y no he explicado con detalle muchas cosas. Pregunta lo que haga falta.

PD: He calculado de cabeza y muy rápido. No descartes que me haya equivocado. Pero bueno, el procedimiento es ese.
PD2: Ahora me he fijado en el resultado de la wikipedia. Han escogido $y=-1$. Tanto esta solución, como la mía (y como las infinitas que hay) son válidas.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre obtención de autovectores

Buenas noches.
Gracias por tu respuesta.
Vamos a ver si voy entendiendo el tema. Partimos de la matriz $A=\left( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right)$
Sabemos que los autovalores son $\lambda_1=-1$ y $\lambda_2=4$
A ver si empiezo a hacer algo coherente. Partamos de $\lambda_2=4$, entonces

$$A=\left( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right)-4\left( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}-3 & 2 \\ 3 & -2 \end{matrix} \right)$$

Bien, ahora, pasamos al segundo paso;

$$\left( \begin{matrix}-3 & 2 \\ 3 & -2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} \right)=0$$

Esto me lleva a las siguientes ecuaciones;

$$-3x+2y=0$$

$$3x-2y=0$$

Acabo de darme cuenta de que son la misma ecuación.
Si doy a x=1, entonces $y=\frac{3}{2}$
¿Sería este por tanto un valor de autovector posible?
Tenemos 2 incógnitas y una ecuación, por tanto,

$$2-1=1$$

¿Y si hubiera una ecuación con más de dos incógnitas?
Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre obtención de autovectores

Lo has entendido perfectamente. Comento algunos detalles:

¿Sería este por tanto un valor de autovector posible?

Sí. Un múltiplo de ese vector también es válido. Por ejemplo si multiplicas por dos te queda el resultado de la wikipedia. Normalmente es más bonito que quede todo sin fracciones. Pero bueno, es estética.

Tenemos 2 incógnitas y una ecuación, por tanto,

$$2-1=1$$

Ten presente que ese cálculo se hace antes de encontrar los vectores propios porque así sabes cuántos han de salir.

¿Y si hubiera una ecuación con más de dos incógnitas?

Puedes tener las ecuaciones que quieras con las incógnitas que quieras. El proceso es el mismo. Eso sí, tendrás que simplificarlas al máximo. Si hay alguna ecuación que sobra y no te has dado cuenta te darán vectores propios linealmente dependientes. Esto es signo de que no lo has hecho bien. Si quieres te pongo un ejemplo de ecuación con tres incógnitas:

$x+y-2z=0$

Ecuaciones una, incógnitas tres. Número de vectores propios $3-1=2$.

$x=2z-y$

Damos los valores $y=1$ y $z=0$. Un vector propio es $(-1, 1, 0)$. Ahora hemos de dar otros valores de forma que el vector resultante sea linealmente independientemente con el anterior. Por eso es aconsejable poner ceros de forma estratégica. Yo voy a hacer $y=0$ y $z=1$. El vector es $(2, 0, 1)$.

Finalmente quiero decir una cosa que se me olvidó. A veces te puedes encontrar en la situación en que tu ecuación es $0x+0y+0z=0$ (vamos, que no hay ecuación). En este caso $x$, $y$ y $z$ son parámetros. Es usual darles valores de forma que obtenemos tres vectores: $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$. Esto pasa por ejemplo cuando intentas sacar los vectores propios de la matriz identidad. O cuando quieres calcular una base de $\mathbb{R}^3$. Aunque esto último mejor lo dejamos para otro día. Ya ahora sí, para acabar, recalcar que el vector nulo no es vector propio de nadie. Si te sale el vector cero entonces significa que o bien no has simplificado del todo tus ecuaciones o bien que has de dar otros valores a los parámetros.

Espero haberte ayudado.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre obtención de autovectores

Lo has entendido perfectamente....

Creo que aun lo tengo "cogido con pinzas" por lo que volveré a retomarlo en unos pocos días. Tal vez vuelva a escribir de nuevo en breve al respecto.

....Espero haberte ayudado.

Si, ciertamente me ha sido de mucha ayuda.
Saludos y gracias.