Calculo de los símbolos de Christoffel y del tensor de Ricci del tensor métrico de coordenadas esféricas.

[inakigarber]

Buenas noches;

A modo de pasatiempo me he propuesto calcular los valores de los símbolos de Christoffel y del tensor del tensor métrico en coordenadas esféricas, pero no sabiendo muy bien que debería encontrar, no se si lo que he hecho esta muy bien;

Partiendo del tensor $G=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & r^2 &0\\0 & 0& r^2 sen^2(\theta)\end{matrix}\right)$
obtengo primero el tensor inverso $G^{-1}=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & r^{-2} &0\\0 & 0& r^{-2} sen^{-2}(\theta)\end{matrix}\right)$
Calculo después los símbolos de Christoffel, primero los de primer género $\Gamma_{ijk}$ y a través de los elementos $g^{ab}$, los símbolos de Christoffel de segundo grado. Los valores que me salen son los siguientes;
$\Gamma^2_{21}=1/r$
$\Gamma^0_{22}=r sen^2(\theta)$
$\Gamma^1_{22}=sen^2(\theta)/r$
$\Gamma^2_{22}=cotg(\theta)$
$\Gamma^1_{11}=1/r$
$\Gamma^2_{12}=1/r$
Bien, ahora calculo los elementos $R_{aa}$ del tensor de Ricci. Para ello he utilizado la fórmula $R_{aa}=\Gamma^c_{aa,c}-\Gamma^c_{ac,0}+\Gamma^e_{aa}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{ac}\Gamma^c_{ea}$ Pensaba que en el caso del tensor arriba expuesto me saldrían elementos nulos, pero no ha sido así.
Los elementos que me han salido son;
$R_{oo}=0$
$R_{11}=-2/r^2$
$R_{22}=-\dfrac{3 sen^2 (\theta)}{r^2}-1$

Supongo que esto es totalmente equivocado. ¿Cómo lo veis?

Saludos

[Richard R Richard]

Buenas noches;

A modo de pasatiempo me he propuesto calcular los valores de los símbolos de Christoffel y del tensor del tensor métrico en coordenadas esféricas, pero no sabiendo muy bien que debería encontrar, no se si lo que he hecho esta muy bien;

Partiendo del tensor $G=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & r^2 &0\\0 & 0& r^2 sen^2(\theta)\end{matrix}\right)$
obtengo primero el tensor inverso $G^{-1}=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & r^{-2} &0\\0 & 0& r^{-2} sen^{-2}(\theta)\end{matrix}\right)$
Calculo después los símbolos de Christoffel, primero los de primer género $\Gamma_{ijk}$ y a través de los elementos $g^{ab}$, los símbolos de Christoffel de segundo grado. Los valores que me salen son los siguientes;
$\Gamma^2_{21}=1/r$
$\Gamma^0_{22}=r sen^2(\theta)$
$\Gamma^1_{22}=sen^2(\theta)/r$
$\Gamma^2_{22}=cotg(\theta)$
$\Gamma^1_{11}=1/r$
$\Gamma^2_{12}=1/r$
Bien, ahora calculo los elementos $R_{aa}$ del tensor de Ricci. Para ello he utilizado la fórmula $R_{aa}=\Gamma^c_{aa,c}-\Gamma^c_{ac,0}+\Gamma^e_{aa}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{ac}\Gamma^c_{ea}$ Pensaba que en el caso del tensor arriba expuesto me saldrían elementos nulos, pero no ha sido así.
Los elementos que me han salido son;
$R_{oo}=0$
$R_{11}=-2/r^2$
$R_{22}=-\dfrac{3 sen^2 (\theta)}{r^2}-1$

Supongo que esto es totalmente equivocado. ¿Cómo lo veis?

Saludos

Hola, siempre desarrollé los símbolos en $\mathbb R^3_1$ así que no tengo como comparar sin hacer todo el desarrollo, o bien consultar alguna web que lo haya hecho previamente, pero de los resultados a la vista me llaman la atención algunos que por las dudas ,quizás podrías revisar,

Ej $\Gamma^1_{22}=sen^2(\theta)/r$ que quede dividendo r no me suena haberlo visto, el resto son similares a los vistos en su día... creo debe ser por comparativa $\Gamma^1_{22}=-sen(\theta)cos(\theta)$

y en $R_{aa}=\Gamma^c_{aa,c}-\Gamma^c_{ac,0}+\Gamma^e_{aa}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{ac}\Gamma^c_{ea}$

Revisaría ese subindice 0, que no puede ser fijo,debe ser dummy o bien a, seguro es un error de tipeo, pero si no lo es, yo revisaría la fuente o asegúrate que no influya en los resultados posteriores.

[inakigarber]

..y en $R_{aa}=\Gamma^c_{aa,c}-\Gamma^c_{ac,0}+\Gamma^e_{aa}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{ac}\Gamma^c_{ea}$

Revisaría ese subindice 0, que no puede ser fijo,debe ser dummy o bien a, seguro es un error de tipeo, pero si no lo es, yo revisaría la fuente o asegúrate que no influya en los resultados posteriores.

Tienes toda la razón, fue un error de copia-pega. En realidad, debería de haber sido;
$R_{ab}=R^c_{acb}\Gamma^c_{ab,c}-\Gamma^c_{ac,b}+\Gamma^e_{ab}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{ac}\Gamma^c_{eb}$

Voy a repetir los cálculos.

[Richard R Richard]

Tienes toda la razón, fue un error de copia-pega. En realidad, debería de haber sido;
$R_{ab}=R^c_{acb}\Gamma^c_{ab,c}-\Gamma^c_{ac,b}+\Gamma^e_{ab}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{ac}\Gamma^c_{eb}$

Voy a repetir los cálculos.

Nuevamente ojo falta el igual....

$R_{ab}=R^c_{acb}=\Gamma^c_{ab,c}-\Gamma^c_{ac,b}+\Gamma^e_{ab}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{ac}\Gamma^c_{eb}$

significa que el tensor de Ricci es la contracción de un tensor de grado superior como es el de Riemann, es decir se hace la suma de los términos donde conciden un indice superior con uno inferior en este caso c. Haces la cuenta usando a $c$ como dummy, y sumas cuando $c$ vale desde 0 a 2 en este caso de 3 dimensiones,

pero me temo que estas saltando pasos o bien no los presentaste... has calculado previamente los 81 componentes del tensor de Riemman $R^c_{adb}$? para luego efectuar la contraccion?.

cada uno se calcula con $R_{ijl}^{k}=\partial_i \Gamma^k_{jl}<br /> -\partial_j\Gamma^k_{il}+\Gamma^k_{im}<br /> \Gamma^m_{jl}- \Gamma^k_{jm}<br /> \Gamma^m_{il}$
Esta sería la via larga para hallar el Ricci .

Otra notacion

$R_{ijl}^{k}= \Gamma^k_{jl,i}-\Gamma^k_{il,j}+\Gamma^k_{im}\Gamma^m_{jl}- \Gamma^k_{jm}\Gamma^m_{il}$

Quiza la formula de los términos al lado derecho de la igualdad sea directa.


Saludos

[Richard R Richard]

Gracias weip, esto significa que si bien los símbolos de christofell calculados no son cero, sucede qué todas las componentes de tensor de Riemann que resultan serán nulas y por ello también las del tensor de Ricci, vengo haciendo a lápiz y papel pero algunas no se me anulan , así que voy a revisar, son tantos que se pasan detalles.

[inakigarber]

Ese era el motivo de la pregunta con la que empecé el Post. Suponía que como las coordenadas esféricas representan también a un espacio plano, los valores del tensor de Ricci deberían anularse, pero en alguna parte de los cálculos me equivoco.

[Weip]

Vale pues cuando pueda me lo miro y os comento. Recordad que estamos en 3 dimensiones con lo que no hace falta calcular el tensor de Riemann porque el tensor de Ricci es lo mismo en esta dimensionalidad. En todo caso si quisierais calcular el tensor de Riemann en dimensiones más altas recordad utilizar las simetrías para no hacer tantos cálculos. Sino es una locura hacerlo a mano con según qué métricas.

[Weip]

Hola, pongo lo que me han dado los símbolos de Christoffel:

$\Gamma^0_{11}=-r$
$\Gamma^0_{22}=-r \text{sin}^2\theta$
$\Gamma^1_{01}=\Gamma^1_{10}=1/r$
$\Gamma^1_{22}=-\text{sin}\theta\text{cos}\theta$
$\Gamma^2_{02}=\Gamma^2_{20}=1/r$
$\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\text{cot}\theta$

A partir de aquí se puede comprobar que el tensor de Ricci se anula, cuestión de pico y pala. Como hay algunas diferencias con lo presentado con el primer mensaje, si puedes inakigarber pon el proceso que has seguido para encontrar los símbolos de Christoffel y así te puedo señalar donde está exactamente el error. No tengo mucho tiempo para escribir pero por dar algo más que las respuestas detallo un poco el proceso para $\Gamma^1_{01}$:

$\Gamma^1_{01}=\frac{1}{2}g^{11}\left(\partial_1 g_{10}+\partial_0 g_{11}-\partial_1 g_{01}\right)=\frac{1}{2r^2}2r=1/r$

Aquí he usado que la métrica es diagonal varias veces para anular términos que no pongo directamente pero espero que se vea claro.

[inakigarber]

Buenas noches;

Muchas gracias por tu ayuda.

El proceso que estoy siguiendo está detallado en el siguiente hilo. En este hilo se plantea un problema para determinar la ecuación de Friedmann. Parte para ello de un tensor métrico, calcula acto seguido el tensor conjugado. A partir del tensor inicial calcula las derivadas no nulas. Una vez calculadas dichas derivadas calcula los símbolos de Christoffel de primer genero según la fórmula;
$\Gamma_{ijk}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial{g_{jk}}}{\partial{x^i}}+\dfrac{\partial{g_{ki}}}{\partial{x^j}}-\dfrac{\partial{g_{ik}}}{\partial{x^j}}\right)$
Después, usando la expresión $\Gamma^i_{jk}=g^{ir}\Gamma_{jkr}$ para calcular los símbolos de Christoffel de segundo genero.
Esto es en el fondo lo mismo que haces cuando escribes, $\Gamma^1_{01}=\frac{1}{2}g^{11}\left(\partial_1 g_{10}+\partial_0 g_{11}-\partial_1 g_{01}\right)=\frac{1}{2r^2}2r=1/r$solo que tu lo compactas en un solo paso.Me ha parecido más fácil de entender (aunque más largo) haciendo los dos pasos.

Partiendo del tensor métrico $G=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & r^2 &0\\0 & 0& r^2 sen^2(\theta)\end{matrix}\right)$ y del tensor conjugado $G^{-1}=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & r^{-2} &0\\0 & 0& r^{-2} sen^{-2}(\theta)\end{matrix}\right)$
Los valores que me salen son;
Las derivadas no nulas;
$\dfrac{\partial_{g_{11}}}{\partial x^1}=2r$
$\dfrac{\partial_{g_{22}}}{\partial x^1}=2rSen^2 (\theta)$
$\dfrac{\partial_{g_{22}}}{\partial x^2}=2rSen (\theta) Cos(\theta)$

Los símbolos de Christoffel de primer género me salen;
$\Gamma_{111}=r$
$\Gamma_{121}=-r Sen^2(\theta)$
$\Gamma_{122}=rSen^2 (\theta)$
$\Gamma_{212}=rSen^2 (\theta)$
$\Gamma_{221}=-r^2 Sen(\theta) Cos(\theta)$
$\Gamma_{222}=r^2 Cotg(\theta)$

Los símbolos de Christoffel de segundo género me salen;
$\Gamma^1_{11}=1/r$
$\Gamma^1_{21}=-Sen^2(\theta)/r$
$\Gamma^2_{12}=1/r$
$\Gamma^2_{21}=1/r$
$\Gamma^1_{22}=-Sen(\theta) Cos (\theta)$
$\Gamma^2_{22}=Cotg(\theta)$

Pero los resultados no me coinciden con los tuyos, por lo que he debido de equivocarme en alguno de los pasos. A partir de ahí al calcular los valores de los componentes $R_{00}, R_{11} y R_{22}$ deberían salirme todos nulos, pero no es así. Supongo que porque me estoy equivocando en algo.

Saludos

[Richard R Richard]

En este hilo se plantea un problema para determinar la ecuación de Friedmann.

Si te sirve para comparar , lo tengo hecho en Deducción matemática de las ecuaciones de Friedmann


Saludos

[Weip]

Hola inakigarber.

Parte para ello de un tensor métrico, calcula acto seguido el tensor conjugado. A partir del tensor inicial calcula las derivadas no nulas. Una vez calculadas dichas derivadas calcula los símbolos de Christoffel de primer genero según la fórmula;
$\Gamma_{ijk}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial{g_{jk}}}{\partial{x^i}}+\dfrac{\partial{g_{ki}}}{\partial{x^j}}-\dfrac{\partial{g_{ik}}}{\partial{x^j}}\right)$
Después, usando la expresión $\Gamma^i_{jk}=g^{ir}\Gamma_{jkr}$ para calcular los símbolos de Christoffel de segundo genero.
Esto es en el fondo lo mismo que haces cuando escribes, $\Gamma^1_{01}=\frac{1}{2}g^{11}\left(\partial_1 g_{10}+\partial_0 g_{11}-\partial_1 g_{01}\right)=\frac{1}{2r^2}2r=1/r$solo que tu lo compactas en un solo paso.Me ha parecido más fácil de entender (aunque más largo) haciendo los dos pasos.

Fíjate que si lo haces en dos pasos acabas haciendo muchos cálculos que son innecesarios. En el caso de $\Gamma^{1}_{01}$, como $g^{10}=g^{12}=0$ ya que la métrica es diagonal entonces te puedes cargar dos términos de la fórmula. De esta manera sumas/restas 3 derivadas y no 9, para al final descartar 6 porque están multiplicadas por 0. En todo caso si lo hicieras en dos pasos el término no nulo debería ser el que escribí arriba.

Comento algunas cosas más.

Las derivadas no nulas;
$\dfrac{\partial_{g_{11}}}{\partial x^1}=2r$
$\dfrac{\partial_{g_{22}}}{\partial x^1}=2rSen^2 (\theta)$
$\dfrac{\partial_{g_{22}}}{\partial x^2}=2rSen (\theta) Cos(\theta)$

Los símbolos de Christoffel de primer género me salen;
$\Gamma_{111}=r$
$\Gamma_{121}=-r Sen^2(\theta)$
$\Gamma_{122}=rSen^2 (\theta)$
$\Gamma_{212}=rSen^2 (\theta)$
$\Gamma_{221}=-r^2 Sen(\theta) Cos(\theta)$
$\Gamma_{222}=r^2 Cotg(\theta)$

Los símbolos de Christoffel de segundo género me salen;
$\Gamma^1_{11}=1/r$
$\Gamma^1_{21}=-Sen^2(\theta)/r$
$\Gamma^2_{12}=1/r$
$\Gamma^2_{21}=1/r$
$\Gamma^1_{22}=-Sen(\theta) Cos (\theta)$
$\Gamma^2_{22}=Cotg(\theta)$

Cojo por ejemplo el caso de $\Gamma_{111}$. Si usas la fórmula que pusistes arriba:

$\Gamma_{111}=\frac{1}{2}\left(\partial_1 g_{11}+\partial_1g_{11}-\partial_1g_{11}\right)=\frac{1}{2}\partial_1g_{11}=\frac{1}{2}\partial_{\theta}g_{\theta\theta}=\frac{1}{2}\partial_{\theta}r^2=0$

Por tanto este símbolo de Christoffel no da $r$, da .

Para que no te pase esto, doy un truco fundamental para ir rápido calculando símbolos de Christoffel (particularmente útil por si alguien tiene que hacer un examen de esto y no quiere perder mucho tiempo). Primero, las derivadas no nulas de la métrica son:

$\partial_0g_{11}$
$\partial_0g_{22}$
$\partial_1g_{22}$

El valor concreto ahora mismo no importa, solo importa que son las únicas derivadas de la métrica diferentes de cero. Hay tres grupos de símbolos de Christoffel, $\Gamma^0$, $\Gamma^1$ y $\Gamma^2$, Fijado el ínice de arriba, solo falta llenar los dos de debajo con las permutaciones de los índices que aparecen en las derivadas no nulas de la métrica. Es decir, que tendremoslos siguientes símbolos de Christoffel no nulos para $\Gamma^0$:

$\Gamma^0_{11}$
$\Gamma^0_{22}$

Esto lo he sacado de las permutaciones de los índices de $\partial_0g_{11}$ y $\partial_0g_{22}$.
Para $\Gamma^1$:

$\Gamma^1_{01}=\Gamma^1_{10}$
$\Gamma^1_{22}$

Esto lo he sacado de las permutaciones de los índices de $\partial_0g_{11}$ y $\partial_1g_{22}$.
Para $\Gamma^2$:

$\Gamma^2_{02}=\Gamma^2_{20}$
$\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}$

Esto lo he sacado de $\partial_0g_{22}$ y $\partial_1g_{22}$.

Como ves, este truco es maravilloso: puedes saber qué símbolos de Christoffel son distintos de cero y cuales son iguales a cero sin más que ver qué derivadas de la métrica son distintas de cero. Para métricas sencillas como esta, se ve a simple a vista. Yo he escrito los de segundo género por comodidad pero funciona igual con los de primer género.

Con esto quiero transmitir que, dado que tienes fallos incluso en los índices de los símbolos de Christoffel, yo empezaría viendo cuales son 0 y cuales no. En verdad ya lo he hecho yo, pero intenta entenderlo. Por que si ya de entrada los índices no están bien entonces es normal arrastrar los errores por cualquier cálculo que hagas.

Si quieres digiere con calma este mensaje, que tiene bastante información, e intenta calcular $\Gamma^{1}_{01}$. Pon el detalle del proceso por aquí y así podremos comparar con lo que escribí en mi anterior mensaje, identificando el punto exacto donde hay errores.

[inakigarber]

Gracias a ambos por vuestros detallados posts.

Hola inakigarber.
....
Si quieres digiere con calma este mensaje, que tiene bastante información, e intenta calcular $\Gamma^{1}_{01}$. Pon el detalle del proceso por aquí y así podremos comparar con lo que escribí en mi anterior mensaje, identificando el punto exacto donde hay errores.

Creo que he estado cometiendo un error, ya que a la hora de derivar estaba considerando $x^0=1, x^1=t$ y $x^2=\theta$, partiendo sin embargo de $x^0=t, x^1=\theta$, entonces el valor que me sale para $\Gamma^{1}_{01}=g^{11}1/2\dfrac{\partial g_{11}}{\partial{x^2}}=\dfrac{r}{r^2}=\dfrac{1}{r}$
El resto de los símbolos (ocho contando este) los iré calculando más adelante.

Saludos

[Weip]

Hola inakigarber.

Gracias a ambos por vuestros detallados posts.



Creo que he estado cometiendo un error, ya que a la hora de derivar estaba considerando $x^0=1, x^1=t$ y $x^2=\theta$, partiendo sin embargo de $x^0=t, x^1=\theta$, entonces el valor que me sale para $\Gamma^{1}_{01}=g^{11}1/2\dfrac{\partial g_{11}}{\partial{x^2}}=\dfrac{r}{r^2}=\dfrac{1}{r}$
El resto de los símbolos (ocho contando este) los iré calculando más adelante.

Saludos

No funcionan así las coordenadas, me explico. Pones $t$ pero fíjate que aquí no hay tiempo, estás en $\mathbb{R}^3$ con una métrica riemanniana. Esto lo sabes porque $G$ es definida positiva (el determinante de los menores princiales son positivos). Además si en vez de colocar $G$ como una matriz la colocas como una forma diferencial tienes:

$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$

Esto es la métrica euclídea $ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$ de toda la vida pero en coordenadas esféricas, cuya representación matricial G es la que has puesto al principio del hilo:

$G=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&r^2&0\\0&0&r^2\sin^2\theta\end{matrix}\right)$

Conclusión, tienes 3 coordenadas: $r$, $\theta$ y $\phi$. A la hora de calcular símbolos de Christoffel tienes la identificación:

$r\to 0$
$\theta\to 1$
$\phi\to 2$

También puedes usar 1, 2 y 3 o poner directamente las coordenadas como índices al estilo $\Gamma^{\theta}_{r \theta}$ para decir $\Gamma^1_{01}$.

[Richard R Richard]

Aver si

$G=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & r^{2} &0\\0 & 0& r^{2} \sin^{2}\theta\end{matrix}\right)$

y

$G^{-1}=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & r^{-2} &0\\0 & 0& r^{-2} \sin^{-2}\theta\end{matrix}\right)$

tenemos

$G_{,0}=\dfrac{\partial G}{\partial r}=\left(\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\0 & 2r &0\\0 & 0& 2r \sin^{2}\theta\end{matrix}\right)$

$G_{,1}=\dfrac{\partial G}{\partial \theta}=\left(\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 &0\\0 & 0& 2r^{2} \sin\theta\cos\theta\end{matrix}\right)$

$G_{,2}=\dfrac{\partial G}{\partial \phi}=\left(\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 &0\\0 & 0& 0\end{matrix}\right)$

usando la definición de símbolo de christofell de segundo género.


$\Gamma^i_{kl}=\dfrac{1}{2}g^{im} \left(\dfrac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} + \dfrac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} - \dfrac{\partial g_{kl}}{\partial x^m} \right)=<br />$

vemos que solo habra sumandos no nulos cuando $i=m$,

hay 27 simbolos posibles,

$\Gamma^0_{00}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{00} \left(\dfrac{\partial g_{00}}{\partial x^{0}} + \dfrac{\partial g_{00}}{\partial x^{0}} - \dfrac{\partial g_{00}}{\partial x^{0}} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}1 \left(0 + 0 - 0 \right)=\boxed{0}<br />$

$\Gamma^0_{01}=\Gamma^0_{10}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{00} \left(\dfrac{\partial g_{01}}{\partial x^0} + \dfrac{\partial g_{00}}{\partial x^1} - \dfrac{\partial g_{01}}{\partial x^0} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}1 \left(0 + 0 - 0 \right)=\boxed{0}<br />$

$\Gamma^0_{02}=\Gamma^0_{20}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{00} \left(\dfrac{\partial g_{02}}{\partial x^{0}} + \dfrac{\partial g_{00}}{\partial x^{2}} - \dfrac{\partial g_{02}}{\partial x^{0}} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}1 \left(0 + 0 - 0 \right)=\boxed{0}<br />$

$\Gamma^0_{11}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{00} \left(\dfrac{\partial g_{01}}{\partial x^1} + \dfrac{\partial g_{10}}{\partial x^1} - \dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^0} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}1 \left(0 + 0 - 2r \right)=\boxed{-r}<br />$

$\Gamma^0_{21}=\Gamma^0_{12}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{00} \left(\dfrac{\partial g_{01}}{\partial x^2} + \dfrac{\partial g_{20}}{\partial x^1} - \dfrac{\partial g_{21}}{\partial x^0} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}1 \left(0 + 0 - 0 \right)=\boxed{0}<br />$

$\Gamma^0_{22}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{00} \left(\dfrac{\partial g_{02}}{\partial x^2} + \dfrac{\partial g_{20}}{\partial x^2} - \dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^0} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}1 \left(0 + 0 - 2r\sin^2\theta \right)=\boxed{-r\sin^2\theta}<br />$




$\Gamma^1_{00}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{11} \left(\dfrac{\partial g_{10}}{\partial x^{0}} + \dfrac{\partial g_{01}}{\partial x^{0}} - \dfrac{\partial g_{00}}{\partial x^{1}} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}r^{-2} \left(0 + 0 - 0 \right)=\boxed{0}<br />$

$\Gamma^1_{01}=\Gamma^1_{10}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{11} \left(\dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^0} + \dfrac{\partial g_{10}}{\partial x^1} - \dfrac{\partial g_{01}}{\partial x^1} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}r^{-2} \left(2r + 0 - 0 \right)=\boxed{\dfrac{1}{r}}<br />$

$\Gamma^1_{02}=\Gamma^1_{20}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{11} \left(\dfrac{\partial g_{12}}{\partial x^{0}} + \dfrac{\partial g_{01}}{\partial x^{2}} - \dfrac{\partial g_{02}}{\partial x^{1}} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}r^{-2} \left(0 + 0 - 0 \right)=\boxed{0}<br />$

$\Gamma^1_{11}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{11} \left(\dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^1} + \dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^1} - \dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^1} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}r^{-2} \left(0 + 0 - 0 \right)=\boxed{0}<br />$

$\Gamma^1_{21}=\Gamma^1_{12}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{11} \left(\dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^2} + \dfrac{\partial g_{21}}{\partial x^1} - \dfrac{\partial g_{21}}{\partial x^1} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}r^{-2} \left(0 + 0 - 0 \right)=\boxed{0}<br />$

$\Gamma^1_{22}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{11} \left(\dfrac{\partial g_{12}}{\partial x^2} + \dfrac{\partial g_{21}}{\partial x^2} - \dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^1} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}r^{-2} \left(0 + 0 - 2r^{2} \sin\theta\cos\theta\right)=\boxed{-\sin\theta\cos\theta}<br />$




$\Gamma^2_{00}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{22} \left(\dfrac{\partial g_{02}}{\partial x^{0}} + \dfrac{\partial g_{20}}{\partial x^{0}} - \dfrac{\partial g_{00}}{\partial x^{2}} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}r^{-2} \sin^{-2}\theta \left(0 + 0 - 0 \right)=\boxed{0}<br />$

$\Gamma^2_{01}=\Gamma^2_{10}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{22} \left(\dfrac{\partial g_{21}}{\partial x^0} + \dfrac{\partial g_{20}}{\partial x^1} - \dfrac{\partial g_{01}}{\partial x^2} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}r^{-2} \sin^{-2}\theta \left(0 + 0 - 0 \right)=\boxed{0}<br />$

$\Gamma^2_{02}=\Gamma^2_{20}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{22} \left(\dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^{0}} + \dfrac{\partial g_{20}}{\partial x^{2}} - \dfrac{\partial g_{02}}{\partial x^{2}} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}r^{-2} \sin^{-2}\theta \left(2r \sin^{2}\theta + 0 - 0 \right)=\boxed{\dfrac{1}{r}}<br />$

$\Gamma^2_{11}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{22} \left(\dfrac{\partial g_{21}}{\partial x^1} + \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x^1} - \dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^2} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}r^{-2} \sin^{-2}\theta \left(0 + 0 - 0 \right)=\boxed{0}<br />$

$\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{22} \left(\dfrac{\partial g_{21}}{\partial x^2} + \dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^1} - \dfrac{\partial g_{21}}{\partial x^2} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}r^{-2} \sin^{-2}\theta \left(0 + 2r^{2} \sin\theta\cos\theta - 0 \right)=\boxed{\cot \theta}<br />$

$\Gamma^2_{22}=<br /> \dfrac{1}{2}g^{22} \left(\dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^2} + \dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^2} - \dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^2} \right)=<br /> \dfrac{1}{2}r^{-2} \sin^{-2}\theta \left(0 + 0 - 0 \right)=\boxed{0}<br />$


Bien ahora veamos los 9 elementos del Ricci

empezamos con las derivadas de los símbolos de Christofell no nulos

	$\partial r$	$\partial \theta$	$\partial \phi$
$\partial{(-r)}$	-1	0	0
$\partial{(-r\sin^2\theta)}$	$-\sin^2\theta$	$-2r\sin\theta\cos\theta$	0
$\partial{\left(\dfrac{1}{r}\right)}$	$-\dfrac{1}{r^2}$	0	0
$\partial{(<br /> -\cos\theta\sin\theta)<br /> }$	0	$-\cos^2\theta +\sin^2\theta$	0
$\partial{\cot\theta}$	0	$\dfrac{-1}{\sin^2\theta}$	0

Las componentes del Ricci quedan (de la productoria de símbolos solo escribo los términos no triviales)

$R_{ab}=R^c_{acb}=\Gamma^c_{ab,c}-\Gamma^c_{ac,b}+\Gamma^e_{ab}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{ac}\Gamma^c_{eb}$

$R_{00}=R^c_{0c0}=\Gamma^c_{00,c}-\Gamma^c_{0c,0}+\Gamma^e_{00}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{0c}\Gamma^c_{e0}$

$R_{00}=R^c_{0c0}=(0+0+0)-(0-\dfrac{1}{r^2}-\dfrac{1}{r^2})+0\cdot\dots-\dfrac{1}{r}\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r}\dfrac{1}{r}=\boxed{0}$


$R_{01}=R_{10}=R^c_{0c1}=\Gamma^c_{01,c}-\Gamma^c_{0c,1}+\Gamma^e_{01}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{0c}\Gamma^c_{e1}$

$R_{01}=R_{10}=(0+0+0)-(0+0+0)+\dfrac{1}{r}\cot\theta-\dfrac{1}{r}\cot\theta=\boxed{0}$


$R_{11}=R^c_{1c1}=\Gamma^c_{11,c}-\Gamma^c_{1c,1}+\Gamma^e_{11}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{1c}\Gamma^c_{e1}$

$R_{11}=R^c_{1c1}=(-1+0+0)-(0+0-\dfrac{-1}{\sin^2\theta})+(-r)\left(0+\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r}\right)-(-1-1+cot^2\theta)$

$R_{11}=R^c_{1c1}=-1+1+(-2)+2=0$

$R_{02}=R_{20}=R^c_{0c2}=\Gamma^c_{02,c}-\Gamma^c_{0c,2}+\Gamma^e_{02}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{0c}\Gamma^c_{e2}$

$R_{02}=R_{20}=(0+0+0)-(0+0+0)+0-0=\boxed{0}$

$R_{12}=R_{21}=R^c_{1c2}=\Gamma^c_{12,c}-\Gamma^c_{1c,2}+\Gamma^e_{12}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{1c}\Gamma^c_{e2}$

$R_{12}=R_{21}=(0+0+0)-(0+0+0)+0-0=\boxed{0}$

$R_{22}=R^c_{2c2}=\Gamma^c_{22,c}-\Gamma^c_{2c,2}+\Gamma^e_{22}\Gamma^c_{ec}-\Gamma^e_{2c}\Gamma^c_{e2}$

$R_{22}=\Gamma^0_{22,0}+\Gamma^1_{22,1}+\Gamma^0_{22}\Gamma^1_{01}+\Gamma^0_{22}\Gamma^2_{02}+\Gamma^1_{22}\Gamma^2_{12}-\Gamma^0_{22}\Gamma^2_{02}-\Gamma^1_{22}\Gamma^2_{12}-\Gamma^2_{20}\Gamma^0_{22}-\Gamma^2_{21}\Gamma^1_{22}$

$R_{22}=\Gamma^0_{22,0}+\Gamma^1_{22,1}+\Gamma^0_{22}\Gamma^1_{01}-\Gamma^2_{20}\Gamma^0_{22}-\Gamma^2_{21}\Gamma^1_{22}$

$R_{22}=\Gamma^0_{22,0}+\Gamma^1_{22,1}-\Gamma^2_{21}\Gamma^1_{22}$



$R_{22}=-\sin^2\theta+(-\cos^2\theta +\sin^2\theta)- \cot \theta \cdot (-\sin\theta\cos\theta) =\boxed{0}$

Editado y completado

Pd :Weip... esto para un parcial...?

[Weip]

Hola Richard, he repasado algunos cálculos y coincido contigo. Los que no he repasado son símbolos de Christoffel nulos pero vamos, que estarán bien.

Pd :Weip... esto para un parcial...?

Sí, yo hice dos asignaturas de Geometría Diferencial y otra de Relatividad General. Calcular símbolos de Christoffel me ha entrado en casi todos los parciales y finales de estas asignaturas. Por eso comentaba el truco del mensaje #8 para calcular solamente los símbolos no nulos, si no es imposible acabar según qué examenes y si hay algun forero haciendo RG que esté leyendo pues ahí lanzo el truco. Es más, en el parcial de RG me entró calcular un tensor de Riemann. No era muy largo si usabas las simetrías del tensor y tal, además que ya habíamos entregado para ese examen un ejercicio brutalmente largo de un tensor de Riemann gigantesco. En ese examen también había cálculo de símbolos de Christoffel mediante fórmula y mediante ecuaciones de las geodésicas.

En resumen, en la universidad para hacer estos cálculos además de hacerlos bien cuenta hacerlos rápido, pero bueno es cuestión de machacar una y otra vez hasta que ves los truquillos.

[Richard R Richard]

Si ,entiendo, no debe ser lo mismo estar afilado estudiando siendo joven, que ponerse de vez en cuando e intentar que te salgan a la primera cuando hace 30 años que no cursas y te dedidcas el resto del día a otra cosa.
Lo de las simetrías , lo sé desde que hice las entradas de blog hace unos años, pero si no estas habituado a aplicarlas, justo en el momento no las reconoces y trabajas el doble o el cuadruple y si te das cuenta de que las puedes aplicar , es cuando ya vas por la tercera identica... pero claro identificar mentalmente los Christofells nulos, te ahorra papel y sobre todo tiempo, que en un examen imagino ya lo dan escaso.


Yo para los blogs en su momento automatice algunos cálculos con planillas de excel que trataban las matrices y fórmulas como si fueran texto, solo me quedaba la tarea de simplificar lo que se pudiese, aún así me llevaba tiempo programar, pero quedaba reutilizable para cualquier métrica.

[Weip]

Oh tenerlo en Excel está muy bien, yo debería hacer algo así porque tengo una notebook de Mathematica que lo hace pero en un futuro el día que no tenga licencia tendré que buscar alguna alternativa. En Excel quizás no porque no sé tanto.

[inakigarber]

Buenos dias;

Muchas gracias por vuestras detalladas respuestas, me han resultado muy útiles.