Espacio vectorial

[Weip]

Re: Espacio vectorial

Por ejemplo, la imagen de la función (f+g) sería un escalar, y eso no está en E, pues no es una función.

Pero $f+g$ sí es una función, que es lo que te dice alexpglez. Creo que estás confundiendo las funciones $f$, $g$ con las imágenes $f(a)$, $g(a)$ con $a\in I$.

[Visitante]

Re: Espacio vectorial

Pero $f+g$ sí es una función, que es lo que te dice alexpglez. Creo que estás confundiendo las funciones $f$, $g$ con las imágenes $f(a)$, $g(a)$ con $a\in I$.

Pero es que estás haciendo una igualdad entre una función y un escalar ¿Acaso se puede hacer? ¿Y cómo demuestras que las imágenes de las funciones son un subconjunto del conjunto del as funciones?

[Weip]

Re: Espacio vectorial

Hola de nuevo.

Pero es que estás haciendo una igualdad entre una función y un escalar ¿Acaso se puede hacer?

Pero es que yo no he hecho una igualdad entre una función y un escalar. Es más, en el fragmento que has citado no aparece el símbolo $=$. Yo lo que digo es que $f+g$ y $\lambda f$ son funciones.

¿Y cómo demuestras que las imágenes de las funciones son un subconjunto del conjunto del as funciones?

Imagino que te refieres a cómo demostrar que $Im(+), Im(\cdot) \subset E$ (que no es lo mismo que estás diciendo pero como antes lo preguntabas). Realmente la demostración es inmediata pues es por definición de imagen. También decir que no estoy seguro de qué definición de función, dominio e imagen está manejando alexpglez pues habla de la clase de todos los conjuntos pero tampoco creo que sea necesario meternos en estas cosas para resolver las dudas que tienes.

La continuidad es una propiedad que necesita de más estructura (para hablar de ella): que en E esté definida una distancia, y en F una norma. Pero no necesitamos de tanta estructura para hablar de espacios vectoriales de funciones.

Como no me he leído medio hilo no lo había visto y creo que es interesante decir que la estructura que hay detrás de la continuidad es la de espacio topológico, que es más general que la de espacio métrico pues no todos los espacios topológicos admiten una distancia. Pero como dices, esto en realidad es irrelevante para la discusión y bueno supongo que por un spoiler más tampoco pasa nada jaja.

[alexpglez]

Re: Espacio vectorial

Siento haber enzarzado la discusión en la demostración de algo tan evidente con cierta rigurosidad lógica-matemática innecesaria en este hilo...

Quizá, ingenuamente Weip y yo estemos cometiendo el error en no poner ejemplos, ya que lo vemos tan evidente que se nos ha olvidado mencionar alguno...
Considera estas funciones de R en R, $f_1(x)=x^2$, $f_2 (x)=sin (x)$ y una constante $\lambda=2$. ¿Considerarías que estas funciones siguientes son de R en R?

$$f (x)=f_1 (x)+f_2 (x)=x^2+sin (x)$$

$$f (x)=\lambda f_1 (x)=2x^2$$

En caso de que tu respuesta sea "no", te pregunto por qué no. En caso de que sea "si" te pediría que repensaras el problema: si $f, \; g : I \longrightarrow \mathbb K$ y $\lambda \in \mathbb K$, donde I es un conjunto y K un cuerpo, entonces las funciones dadas por:

$$(f+g)(x)=f (x)+g (x)$$

$$(\lambda f)(x)=\lambda f (x)$$

Para cada $x \in I$. Están bien definidas y son funciones de $I \longrightarrow \mathbb K$

PD: Weip, mi definición de función la tomo como el conjunto de pares de valores tal que si dos pares de valores están en el conjunto y comparten la primera componente, entonces su segunda componente es también la misma. El dominio es el conjunto de las primeras componentes de los pares de f, y la imagen el conjunto de sus segundas componentes. Quería dejarlo "como curiosidad se podría demostrar..." pero lo único que ha hecho ha sido liar de más.
En mi intervención al hilo sobre funciones bien definidas explico esto mismo, por si alguien lo quiere leer (aunque mis explicaciones son un poco densas...), http://forum.lawebdefisica.com/threa...-Bien-definido

[Visitante]

Re: Espacio vectorial

[QUOTE=Weip;179248]
Imagino que te refieres a cómo demostrar que $Im(+), Im(\cdot) \subset E$ (que no es lo mismo que estás diciendo pero como antes lo preguntabas). Realmente la demostración es inmediata pues es por definición de imagen. También decir que no estoy seguro de qué definición de función, dominio e imagen está manejando alexpglez pues habla de la clase de todos los conjuntos pero tampoco creo que sea necesario meternos en estas cosas para resolver las dudas que tienes./QUOTE]

El libro igual las funciones con escalares y no sé si puede hacer eso en un espacio vectorial.

Pero E es el conjunto de las funciones ¿no? Entonces E solo debe estar formado por funciones y no escalares.

[Weip]

Re: Espacio vectorial

Buenas.

El libro igual las funciones con escalares y no sé si puede hacer eso en un espacio vectorial.

¿Podrías transcribir lo que pone en el libro que estás siguiendo?

Pero E es el conjunto de las funciones ¿no? Entonces E solo debe estar formado por funciones y no escalares.

Sí, $E$ es un conjunto de funciones. Ya que tanto tú como nosotros estamos un poco perdidos voy a explicarme a ver si sacamos algo en claro. Definimos $E$ como el conjunto de las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Algunas funciones que pertenecen a $E$ son:

$f(x)=2x$
$f(x)=x^3$
$f(x)=5$

Resulta que si definimos la suma y el producto en $E$ tal y como te definieron la suma y el producto de funciones en el colegio entonces $(E, +, \cdot)$ es espacio vectorial. Esto significa que las funciones cumplen todos los axiomas de espacio vectorial y $E$ tiene toda una lista de propiedades típicas del álgebra lineal como por ejemplo dimensión. Como todas las funciones de $E$ cumplen las mismas propiedades que caracterizan a los vectores de $\mathbb{R}^n$ (las flechas de toda la vida) entonces las funciones de $E$ reciben el nombre de vectores (y en el caso de otros espacios vectoriales sus elementos pueden ser flechas, funciones, sucesiones, matrices,... y siguen recibiendo el nombre de vectores). De la misma forma los elementos de un cuerpo les llamamos escalares (y estos pueden ser números, polinomios, funciones racionales...).

Ahora tocaría poner ejemplos pero como alexpglez ya los ha puesto pues te los recuerdo:

Considera estas funciones de R en R, $f_1(x)=x^2$, $f_2 (x)=sin (x)$ y una constante $\lambda=2$. ¿Considerarías que estas funciones siguientes son de R en R?

$$f (x)=f_1 (x)+f_2 (x)=x^2+sin (x)$$

$$f (x)=\lambda f_1 (x)=2x^2$$

¿Lo que estamos diciendo alexpglez y yo se entiende? ¿O hay alguna pega? Cualquier cosa que quieras que detallemos dilo.

Nota: El cuerpo base es $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ pero tampoco quiero meterme mucho en este tema así que en medio de los mensajes no comento nada.

[Visitante]

Re: Espacio vectorial

Buenas.

¿Podrías transcribir lo que pone en el libro que estás siguiendo?


Sí, $E$ es un conjunto de funciones. Ya que tanto tú como nosotros estamos un poco perdidos voy a explicarme a ver si sacamos algo en claro. Definimos $E$ como el conjunto de las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Algunas funciones que pertenecen a $E$ son:

$f(x)=2x$
$f(x)=x^3$
$f(x)=5$

Resulta que si definimos la suma y el producto en $E$ tal y como te definieron la suma y el producto de funciones en el colegio entonces $(E, +, \cdot)$ es espacio vectorial. Esto significa que las funciones cumplen todos los axiomas de espacio vectorial y $E$ tiene toda una lista de propiedades típicas del álgebra lineal como por ejemplo dimensión. Como todas las funciones de $E$ cumplen las mismas propiedades que caracterizan a los vectores de $\mathbb{R}^n$ (las flechas de toda la vida) entonces las funciones de $E$ reciben el nombre de vectores (y en el caso de otros espacios vectoriales sus elementos pueden ser flechas, funciones, sucesiones, matrices,... y siguen recibiendo el nombre de vectores). De la misma forma los elementos de un cuerpo les llamamos escalares (y estos pueden ser números, polinomios, funciones racionales...).

Ahora tocaría poner ejemplos pero como alexpglez ya los ha puesto pues te los recuerdo:


¿Lo que estamos diciendo alexpglez y yo se entiende? ¿O hay alguna pega? Cualquier cosa que quieras que detallemos dilo.

Nota: El cuerpo base es $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ pero tampoco quiero meterme mucho en este tema así que en medio de los mensajes no comento nada.

Eso lo entiendo perfectamente, pero lo que no veo es que sea una función de ExE en E, me explico con el siguiente ejemplo:
un elemento $x E F({1,2,3,4...,n},K)$ (F({I,K) es el espacio vectorial de las funciones de I en K) se suele representar así (x1,...,xn). Esto es el espacio estándar. Lo que no veo es que esto sea efectivamente un elemento de F({1,2,...,n],k), creo que un elemento sería una función tipo f(x)=sin x, y no una sucesión de sus respectivas imágenes, y en el caso de ser su imagen ¿no bastaría con x1 en vez de (x1,...xn)

El libro dice que hay que tener mucho cuidado con lo que se pone, por ejemplo, 0(x)=0, a la izquierda es una función y a la derecha un escalar.

[Weip]

Re: Espacio vectorial

Eso lo entiendo perfectament

Entonces bien, así tenemos un punto de partida.

pero lo que no veo es que sea una función de ExE en E

¿Qué función? ¿$+: E \times E\to E$? En todo caso una función de $E \times E$ en $E$ lo que hace es coger dos funciones y te escupe otra función. Igual expresado en palabras lo ves más claro. En el caso de la suma, decir que $+:E\times E \to E$ es lo mismo que escribir "la suma de dos funciones es otra función".

un elemento $x E F({1,2,3,4...,n},K)$ (F({I,K) es el espacio vectorial de las funciones de I en K) se suele representar así (x1,...,xn)

Aquí no te entiendo. Creo que te falta algún símbolo o algo. ¿No querrías decir algo como $x\in E \times F(I, K)$? En todo caso si $I=\left\{ 1, 2, ..., n\right\}$ entonces $(x_1, ..., x_n)$ es un elemento de $F$ pues una función $f:\left\{ 1, 2, 3, ..., n\right\}\to K$ lo que hace es coger cada posición $1, 2, .., n$ y le asigna un número (si es que $K$ es un conjunto numérico). Es decir, es un vector (de los de toda la vida) con componentes en $K$ y lo puedes representar como una matriz columna, o como $(x_1, ..., x_n)$.

Lo que no veo es que esto sea efectivamente un elemento de F({1,2,...,n],k), creo que un elemento sería una función tipo f(x)=sin x, y no una sucesión de sus respectivas imágenes, y en el caso de ser su imagen ¿no bastaría con x1 en vez de (x1,...xn)

Un elemento de $F(I, K)$ podría ser $f(x)=\sin(x)$, sí, pero eso depende de quién sean $I$ y $K$. Si $I$ es un intervalo y $K$ es algún subconjunto apropiado de los reales para que tenga sentido la función que has puesto de ejemplo entonces bien. En general, $f$ coge elementos de $x\in I$ y lo llevan a un elemento $f(x)\in K$. Cuidado con esto último porque $f \notin K$, $f$ sigue siendo una función de $I$ en $K$ y por tanto $f\in F(I, K)$.

El libro dice que hay que tener mucho cuidado con lo que se pone, por ejemplo, 0(x)=0, a la izquierda es una función y a la derecha un escalar.

Sí, estas cosas más de notación siempre hay que recordarlas. Muchas veces podrás ver que se pone y dependiendo del contexto es un número, una función, el espacio vectorial nulo, el grupo trivial...

No sé si te he aclarado algo o te he liado más, espero que al menos no sea lo segundo.

[Visitante]

Re: Espacio vectorial

Entonces bien, así tenemos un punto de partida.



¿Qué función? ¿$+: E \times E\to E$? En todo caso una función de $E \times E$ en $E$ lo que hace es coger dos funciones y te escupe otra función. Igual expresado en palabras lo ves más claro. En el caso de la suma, decir que $+:E\times E \to E$ es lo mismo que escribir "la suma de dos funciones es otra función".

Sí, pero cuando sumas dos funciones (f+g)=f(x)+g(x), el miembro de la derecha es un escalar y el escalar no pertenece al conjunto de las funciones...

Aquí no te entiendo. Creo que te falta algún símbolo o algo. ¿No querrías decir algo como $x\in E \times F(I, K)$? En todo caso si $I=\left\{ 1, 2, ..., n\right\}$ entonces $(x_1, ..., x_n)$ es un elemento de $F$ pues una función $f:\left\{ 1, 2, 3, ..., n\right\}\to K$ lo que hace es coger cada posición $1, 2, .., n$ y le asigna un número (si es que $K$ es un conjunto numérico). Es decir, es un vector (de los de toda la vida) con componentes en $K$ y lo puedes representar como una matriz columna, o como $(x_1, ..., x_n)$.

Esto es lo que quiero decir.
$x\in F(I, K)$
Pero en vez de coger una sucesión con cada uno de los valores de f(x) ¿No bastaría con solo uno?

Un elemento de $F(I, K)$ podría ser $f(x)=\sin(x)$, sí, pero eso depende de quién sean $I$ y $K$. Si $I$ es un intervalo y $K$ es algún subconjunto apropiado de los reales para que tenga sentido la función que has puesto de ejemplo entonces bien. En general, $f$ coge elementos de $x\in I$ y lo llevan a un elemento $f(x)\in K$. Cuidado con esto último porque $f \notin K$, $f$ sigue siendo una función de $I$ en $K$ y por tanto $f\in F(I, K)$.

Entonces, ¿por qué no dar como elemento una función, ¿en vez de escalares? Es que no veo es los escalares sean parte del conjunto de las funciones.

[Weip]

Re: Espacio vectorial

Sí, pero cuando sumas dos funciones (f+g)=f(x)+g(x), el miembro de la derecha es un escalar y el escalar no pertenece al conjunto de las funciones...

Insisto. $f$ es una función, $f(x)$ un escalar. Tal como pones la fórmula en tu mensaje, está mal. Lo correcto es $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. Parece un detalle pero aquí está la clave de todo: $f+g$ es una función y $(f+g)(x)$ es un escalar. La igualdad $(f+g)=f(x)+g(x)$, tal como señalas, no tiene sentido.

Esto es lo que quiero decir.
$x\in F(I, K)$
Pero en vez de coger una sucesión con cada uno de los valores de f(x) ¿No bastaría con solo uno?

Bastaría solo con uno si $I$ tuviera un solo elemento. Este es el caso si $I=\left\{ 1\right\}$, es decir, la lista de números solo tiene una posición, la primera: $(x_1)$. Pero en general $I=\left\{ 1,...,n\right\}$. Por tanto se tiene que llenar una lista de $n$ posiciones con elementos de $K$: $(x_1,...,x_n)$.

Por si te ayuda esto se puede generalizar a un concepto que conoces bien: una matriz no es más que una aplicación $f:I_n \times I_m \to K$, donde $I_n=\left\{ 1,...,n\right\}$ y $I_m=\left\{ 1,...,m\right\}$. Esta vez en vez de tener que llenar $n$ huecos con números, tienes que llenar $n \times m$ huecos. Entonces escribimos $f\in F(I_n \times I_m, K)$.

Respecto a tu última pregunta, creo que te voy a liar más, pero déjame ponerte un ejemplo para ver cómo una lista de números puede ser una función. Cogemos la función $f$:

$\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right)$

Lo que hará será comerse vectores fila y escupirá un escalar mediante el producto típico de matrices. Como $x$ cogemos, por ejemplo, el vector fila:

$\left( \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \right)$

Ahora calculamos lo que sueles escribir como $f(x)$:

$\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \right)=1 \cdot 0 + 0 \cdot 1=0$

No sé si se habrá entendido pero si es que no, no pasa nada, olvídalo. Este curso te lo explicarán más detalladamente en otro tema.

[Visitante]

Re: Espacio vectorial

Retomo el hilo para dejar claro una cosa que es quizás donde está mi duda.

Cuando uno representa una función por ejemplo de $\left( 1, 2, 3, 4 \right)$ ?se representa así $f(x)=\left( f(1), f(2), f(3), f(4) \right)$ y si es de un intervalo, por ejemplo, así $f(x)= sin x$?

Es que estoy teniendo dificultades en álgebra con las aplicaciones lineales en funciones, etc, me cuesta imaginarlo.

[alexpglez]

Re: Espacio vectorial

Retomo el hilo para dejar claro una cosa que es quizás donde está mi duda.

Cuando uno representa una función por ejemplo de $\left( 1, 2, 3, 4 \right)$ ?se representa así $f(x)=\left( f(1), f(2), f(3), f(4) \right)$ y si es de un intervalo, por ejemplo, así $f(x)= sin x$?

Es que estoy teniendo dificultades en álgebra con las aplicaciones lineales en funciones, etc, me cuesta imaginarlo.

¿Podrías detallar la pregunta? Disculpa pero sigo sin entender.
Una aplicación lineal en espacios de funciones cumple las mismas propiedades que una aplicación lineal entre espacios finitos. Sólo te tienes que quedar con que cumple:

$$F(\lambda p+\mu q)=\lambda F(p)+ \mu F(q)$$

Lo que creo que hablas de representación, tiene que ver con que si tienes una base $\{e_1,...,e_n\}$ de un espacio vectorial:

$$F(v)=F(v_1 e_1+...+v_n e_n)=v_1F(e_1)+...+v_nF(e_n)$$

$$F(v)=(F(e_1) |...|F(e_n)) V^T \;\;\; V=(v_1,..,v_n)$$

Pero no hay que confundir la aplicación lineal con su representación en cierta base, pues si escogemos otra base, la aplicación va a ser la misma, pero la representación no.
También, en caso de conocer una base, puedes representar una aplicación que vaya de un espacio de dimensión infinita a otro. Por ejemplo, consideremos el espacio de polinimios reales $\mathbb R[x]$, tenemos muchas aplicaciones lineales, por ejemplo:

$$F_1(p(x))=\int_0^x p(t) dt \;\; F:\mathbb R[x] \longrightarrow \mathbb R[x]$$

$$F_2(p(x))=\int_0^1 p(x) dx \;\; F:\mathbb R[x] \longrightarrow \mathbb R$$

Además en los polinomios tenemos una base infinita numerable: $\{1,x,..,x^n,...\}$. Y podemos calcular las "matrices" de las dos aplicaciones lineales en esa base, de la segunda:

$$F_2(x^n)=\int_0^1 x^n dx=\frac{1}{n+1}$$

De modo que:

$$F_2(p(x))=(1,1/2,1/3,...) V^T \;\;\; V=(a_0,...,a_n,0,0,...) \;\;\; p(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i$$

$$F_1(x^n)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

$$F_1(p(x))=(x,x^2/2,x^3/3,...) V^T \;\;\; V=(a_0,...,a_n,0,0,...) \;\;\; p(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i$$

Por si acaso te lío con el caso infinito, voy a darte una representación del caso finito, sea $D(p(x))=p'(x)$ una aplicación lineal entre $\mathbb R_{\leq 2}[x]$:

$$D(1)=0 \; D(x)=1 \; D(x^2)=2x$$

$$D(p(x))=D(a_0+a_1x+a_2x^2)=(0,1,2x)P^T \;\; P=(a_0,a_1,a_2)$$

Suponte que además quieres saber cuanto valen los coeficientes del nuevo polinomio $D(p(x))=a_0'+a_1'x+a_2'x^2$, pero: $0=(0,0,0) \; 1=(1,0,0) \; 2x=(0,2,0)$ en la base nuestra, luego:

$$\begin{pmatrix}<br /> a_0' \\<br /> a_1' \\<br /> a_2' <br /> \end{pmatrix}=<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0 & 1 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 2 \\<br /> 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}<br /> a_0 \\<br /> a_1 \\<br /> a_2 <br /> \end{pmatrix}<br />$$

Saludos

PD: personalmente no veo el concepto de aplicación lineal muy intuitivo, a no ser que hablemos de aplicaciones lineales ortogonales en R^3 que son las rotaciones y reflexiones. Pero el concepto de es muy útil, ya sea numéricamente, porque una aplicación sea útil aproximarla linealmente, o en geometría y cálculo, porque al hablar de la derivada y diferencial te aparecen las aplicaciones lineales

[Visitante]

Re: Espacio vectorial

¿Podrías detallar la pregunta? Disculpa pero sigo sin entender.
Una aplicación lineal en espacios de funciones cumple las mismas propiedades que una aplicación lineal entre espacios finitos. Sólo te tienes que quedar con que cumple:

$$F(\lambda p+\mu q)=\lambda F(p)+ \mu F(q)$$

Lo que creo que hablas de representación, tiene que ver con que si tienes una base $\{e_1,...,e_n\}$ de un espacio vectorial:

$$F(v)=F(v_1 e_1+...+v_n e_n)=v_1F(e_1)+...+v_nF(e_n)$$

$$F(v)=(F(e_1) |...|F(e_n)) V^T \;\;\; V=(v_1,..,v_n)$$

Pero no hay que confundir la aplicación lineal con su representación en cierta base, pues si escogemos otra base, la aplicación va a ser la misma, pero la representación no.
También, en caso de conocer una base, puedes representar una aplicación que vaya de un espacio de dimensión infinita a otro. Por ejemplo, consideremos el espacio de polinimios reales $\mathbb R[x]$, tenemos muchas aplicaciones lineales, por ejemplo:

$$F_1(p(x))=\int_0^x p(t) dt \;\; F:\mathbb R[x] \longrightarrow \mathbb R[x]$$

$$F_2(p(x))=\int_0^1 p(x) dx \;\; F:\mathbb R[x] \longrightarrow \mathbb R$$

Además en los polinomios tenemos una base infinita numerable: $\{1,x,..,x^n,...\}$. Y podemos calcular las "matrices" de las dos aplicaciones lineales en esa base, de la segunda:

$$F_2(x^n)=\int_0^1 x^n dx=\frac{1}{n+1}$$

De modo que:

$$F_2(p(x))=(1,1/2,1/3,...) V^T \;\;\; V=(a_0,...,a_n,0,0,...) \;\;\; p(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i$$

$$F_1(x^n)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

$$F_1(p(x))=(x,x^2/2,x^3/3,...) V^T \;\;\; V=(a_0,...,a_n,0,0,...) \;\;\; p(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i$$

Por si acaso te lío con el caso infinito, voy a darte una representación del caso finito, sea $D(p(x))=p'(x)$ una aplicación lineal entre $\mathbb R_{\leq 2}[x]$:

$$D(1)=0 \; D(x)=1 \; D(x^2)=2x$$

$$D(p(x))=D(a_0+a_1x+a_2x^2)=(0,1,2x)P^T \;\; P=(a_0,a_1,a_2)$$

Suponte que además quieres saber cuanto valen los coeficientes del nuevo polinomio $D(p(x))=a_0'+a_1'x+a_2'x^2$, pero: $0=(0,0,0) \; 1=(1,0,0) \; 2x=(0,2,0)$ en la base nuestra, luego:

$$\begin{pmatrix}<br /> a_0' \\<br /> a_1' \\<br /> a_2' <br /> \end{pmatrix}=<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0 & 1 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 2 \\<br /> 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}<br /> a_0 \\<br /> a_1 \\<br /> a_2 <br /> \end{pmatrix}<br />$$

Saludos

PD: personalmente no veo el concepto de aplicación lineal muy intuitivo, a no ser que hablemos de aplicaciones lineales ortogonales en R^3 que son las rotaciones y reflexiones. Pero el concepto de es muy útil, ya sea numéricamente, porque una aplicación sea útil aproximarla linealmente, o en geometría y cálculo, porque al hablar de la derivada y diferencial te aparecen las aplicaciones lineales

Olvidemos las aplicaciones lineales, mi pregunta va más en cuanto a la notación de una función, lo que dijo Weip:
En todo caso si entonces es un elemento de pues una función lo que hace es coger cada posición y le asigna un número (si es que es un conjunto numérico). Es decir, es un vector (de los de toda la vida) con componentes en y lo puedes representar como una matriz columna, o como .

¿A una función se le representa si I es un conjunto? ¿Y como f(x)=sin x (Ejemplo) si I es un intervalo?

[Weip]

Re: Espacio vectorial

¿A una función se le representa si I es un conjunto?

Suponer que $I$ es un conjunto es algo demasiado general así que la respuesta es que no. Pero si $I=\left\{1,...,n\right\}$ entonces la función se presentará como $(x_1,...,x_n)$, que es el caso de tu libro.

¿Y como f(x)=sin x (Ejemplo) si es un intervalo?

Depende del dominio y de la imagen. Si $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ entonces tendrás cosas de la forma $f(x)=\sin(x)$, $f(x)=e^x$, o $f(x)=4$. Lo que hace tu función $f$ es coger un elemento del dominio $x$ y lo envía a un elemento de la imagen $\sin(x)$. Análogamente para las demás.

[Visitante]

Re: Espacio vectorial

Suponer que $I$ es un conjunto es algo demasiado general así que la respuesta es que no. Pero si $I=\left\{1,...,n\right\}$ entonces la función se presentará como $(x_1,...,x_n)$, que es el caso de tu libro.


Depende del dominio y de la imagen. Si $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ entonces tendrás cosas de la forma $f(x)=\sin(x)$, $f(x)=e^x$, o $f(x)=4$. Lo que hace tu función $f$ es coger un elemento del dominio $x$ y lo envía a un elemento de la imagen $\sin(x)$. Análogamente para las demás.

Vale, entonces lo asumo como que es notación.

Otra duda ¿Acaso $( \lambda f)(x)=\lambda f(x)$ con $\lambda \in R$?