e^pi (e elevado a pi)

[carroza]

Hola.

Visto el caso de i^i, que resulta un conjunto numerable e infinito de numeros reales, os propongo otra cosa:

e^pi.

Pista: si lo haceis con la calculadora, os sale 23 y pico. Pero, ¿es la unica solución?

[^Cuervo^]

Re: e^pi (e elevado a pi)

No acabo de ver por donde vas exactamente, pero lo único que se me ocurre decir al respecto, es que como e^(a+b*I)=e^a*(cos(b)+sin(b)*I), entonces la función exponencial compleja és periódica con periodo 2*Pi*I. Por lo tanto e^Pi=e^(Pi+2*k*Pi*I) con k entero, es decir que habrá una cantidad infinita y numerable de numeros complejos, los de la forma Pi+2*k*Pi*I que elevados a e, darán como resultado e^Pi.

[pod]

Re: e^pi (e elevado a pi)

$\eee{\pi} = \left( e\, \eee{2\pi i k} \right)^\pi = \eee{\pi}\Big( \cos(2\pi^2i k) + i \sin(2\pi^2 k) \Big)$. Dado que $\pi$ es irracional, el conjunto $\{2\pi^2 k\ \mathrm{mod}\ 2\pi \ |\ k\in\mathbb{N}\}$ tiene infinitos elementos, luego hay infinitas soluciones.

[^Cuervo^]

Re: e^pi (e elevado a pi)

No he dicho que haya más soluciones, solo he dicho que, existen una cantidad infinita numerable de numeros complejos, a saber, los de la forma z=Pi+2*k*Pi con K entero, que cumplen que e^z=e^Pi.

[carroza]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Os voy a dar mas pistas:

¿Cuantas soluciones tiene e^(0.5)?

¿Cuantas soluciones tiene e^(1/3)?

¿Cuantas soluciones tiene e^(a/b), donde a y b son enteros primos entre sí?

[^Cuervo^]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Pues yo diría que tendrán 2,3 y b soluciones respectivamente, pero no acabo de ver que pasa cuando el exponente és irracional.
Tal vez podriamos considerar que enrealidad lo podemos aproximar cada vez mejor con racionales cuyas soluciones tienden a ser infinitas numerables?

[carroza]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Pues yo diría que tendrán 2,3 y b soluciones respectivamente, pero no acabo de ver que pasa cuando el exponente és irracional.
Tal vez podriamos considerar que enrealidad lo podemos aproximar cada vez mejor con racionales cuyas soluciones tienden a ser infinitas numerables?

Exacto.

Pi lo puedes aproximar muy bien por 355/113; por tanto, tendrias 113 soluciones para e^(355/113), que serian 23.14 exp(2 pi i n/113).

Para el caso de un exponente irracional, podemos poner

$e^\pi = \left( |e| \exp (i 2 \pi n) \right)^\pi = |e|^\pi \exp (i 2 \pi^2 n)$

Lo cual nos da infinitos números complejos, de modulo 23.14 , y todas las posibles fases.

Asi que, curiosamente, tenemos que i^i son infinitos numeros reales y positivos, y
e^pi son infinitos numeros complejos, con el mismo módulo.

Estas son las cosas que hacen que los matemáticos necesiten introducir hojas de Riemann en el plano complejo.

[^Cuervo^]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Ummmm....... Veamos.... Ciertamente la variable compleja, como su nombre indica, és algo complejo. Por una parte es fácil ver que en efecto e^n=(|e|*exp(2*k*pi*i))^n=|e|^n*exp(2*k*n*pi*i), cuando n es natural, y no parece muy difícil extender la idea para un n racional. Sin embargo la extensión para un n irracional, se me antoja que se ha de hacer en forma de límite de alguna sucesión de racionales como deciamos. Lo digo porque, eso en si mismo ya es un tema delicado.
Pero resumiendo, me gustaría pedirle que nos hiciera una breve exposición de las propiedades que son validas cuando de exponenciación compleja se refiere. Para aclarar entuertos a más de uno.
Sin nada más me despido hasta otro post.
Un saludo.

[carroza]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Ummmm....... Veamos.... Ciertamente la variable compleja, como su nombre indica, és algo complejo. Por una parte es fácil ver que en efecto e^n=(|e|*exp(2*k*pi*i))^n=|e|^n*exp(2*k*n*pi*i), cuando n es natural, y no parece muy difícil extender la idea para un n racional. Sin embargo la extensión para un n irracional, se me antoja que se ha de hacer en forma de límite de alguna sucesión de racionales como deciamos. Lo digo porque, eso en si mismo ya es un tema delicado.
Pero resumiendo, me gustaría pedirle que nos hiciera una breve exposición de las propiedades que son validas cuando de exponenciación compleja se refiere. Para aclarar entuertos a más de uno.
Sin nada más me despido hasta otro post.
Un saludo.

Hola. No me considero capacitado para pontificar sobre matemáticas.

En el libro "El camino a la realidad: Una guía completa a las leyes del universo" de penrose habla del plano complejo, hojas de Riemann, etc.

Lo que si parece, de acuerdo con lo que dices, es que un numero irracional es el limite de una sucesion de numeros racionales. Por ello, de la misma forma que hay $a$ potencias con un exponente irracional $b/a$, debe haber infinitas potencias con un exponente real pi, ya que pi puede aproximarse como una serie $b_n/a_n$, con $b_n , a_n$ cada vez más grandes.

[^Cuervo^]

Re: e^pi (e elevado a pi)

El libro que dices es antiguo o de reciente publicación?

[carroza]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Es muy reciente. Lo encuentras en cualquier libreria grande.

El libro es muy interesante, para físicos interesados en matemáticas o viceversa.

Product Details

• Hardcover: 1472 pages
• Publisher: Debate Editorial (September 30, 2006)
• Language: Spanish
• ISBN-10: 8483066815
• ISBN-13: 978-8483066812

[mrwhite]

Re: e^pi (e elevado a pi)

[...] un numero irracional es el limite de una sucesion de numeros racionales. Por ello, de la misma forma que hay $a$ potencias con un exponente irracional $b/a$, debe haber infinitas potencias con un exponente real pi, ya que pi puede aproximarse como una serie $b_n/a_n$, con $b_n , a_n$ cada vez más grandes.

Sin embargo al definir la operación así, tenemos que si $z_1=e^\pi$ es uno de los posibles valores, se debe verificar la operación inversa, i.e. $e=z_1^{1/\pi}$, pero por las mismas consideraciones, $1/\pi$ es irracional, así que $z_1^{1/\pi}$ consistirá también en todos los complejos de módulo $e$, por lo que la operación de exponenciación no cumpliriría las propiedades que se esperan. La única salida es identificar todos los números complejos de igual módulo con un único elemento, y operar con estos elementos. Pues bien, resulta que eso son los números reales positivos, en los que $e^\pi$ sólo tiene una solución.

[No Registrado]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Sin embargo....
Una cosa es e^pi y otra distinta será exp(pi).
Me explico...
Supongamos que yo le pregunto cuantas soluciones complejas tiene la expresión e^(1/4). Obviamente existen 4 números complejos distintos que elevados a 4 nos dan como resultado el número e.
Ello no quita que exp(1/4) tenga solución única por los motivos que ha mencionado usted anteriormente.
Luego lo que dice Carroza no carece de sentido enrealidad, todo depende del ámbito en el que nos movemos.

[mrwhite]

Re: e^pi (e elevado a pi)

El problema está en definir e^pi si se pretende hacerlo de forma distinta a exp(pi), por seguir con esta notación.

Si uno pretende hacerlo tomando sucesivas aproximaciones de pi, por ejemplo con una secuencia de convergentes de su fracción continua simple: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215 ,... y hayando el límite de la secuencia {e^3, e^(22/7), e^(333/106), e^(355/113), ...}(análogamente a como se hace en el caso real), se encontrará que sólo se puede definir el límite cuando se toma siempre la "raíz" con argumento nulo. En los demás casos uno se encuentra con bastantes problemas (por ejemplo, de las 105 posibilidades no reales para el tercer convergente cuáles son las nuevas y cuáles son las 6 del convergente anterior... ¿exactamente cuál es la secuencia de cauchy?).

[carroza]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Hola.

Gracias por el interes en la cuestión de e^pi.

Por supuesto, una cosa es la función exponencial, exp(x), que es monovaluada, y que se puede definir como una serie de potencias, y otra cosa es el resultado de la operación
a^b, donde a y b son dos numeros, que pueden tomarse como e y pi.

Es claro que la función exp(x), cuando x=pi, es monovaluada y vale 23 y pico (real).

Otra cosa es el resultado de la expresion "e elevado a pi", como un caso particular de
"a elevado a b". Vamos por partes:

- Si b es entero, entonces "a elevado a b" esta perfectamente definido, y vale a*a ...*a.
Es monovaluado.


- Si b es racional, b=p/q, entonces "a elevado a b" corresponde a las soluciones
de la ecuación algebraica
$a^{p/q}=z ; \quad a^p = z^q$

Esta ecuacion tiene q soluciones.

- Si b es real, para hay que definir una serie de numeros racionales
$b_n = p_n/q_n$ que converjan a b; Imaginemos que usamos una serie
en la que $q_n=Q^n$, en la que Q es arbitrariamente grande, y $p_n$ es un numero primo con respecto a Q, de forma que
$b_n = p_n/q_n$ se aproxime lo mas posible a b.

En ese caso, todas las secuencias
$a^{p_n/q_n}=z ; \quad a^{p_n} = z^{q_n}$

tiene, entre sus soluciones, numeros complejos con fase $m 2 \pi/Q$
donde m toma valores enteros entre 0 y Q.


No soy experto en matemáticas, pero ¿no sería ésto una prueba de que la exponenciación con exponente real tiene infinitas soluciones?