¿Es el campo gravitatorio un espacio de lovachesvsy?

[guibix]

Re: ¿Es el campo gravitatorio un espacio de lovachesvsy?

¿Podría verla un ser bidimensional ver esa curvatura en una tercera dimensión? y si así fuera ¿Cómo la vería?

Tiene forma de hiperboloide. En dos dimensiones espaciales y una temporal, las secciones de tiempos iguales son un “hiperboloide de dos hojas” y los radios espaciales iguales son un “hiperboloide de una hoja”. Pero es algo complicado de visualizar ya que esos hiperboloides son el equivalente no euclidiano de las esferas y a diferencia de éstas, tienen curvatura negativa. Esto significa que no se cierran sobre si mismo como las esferas y en lugar de tener ángulos limitados y periódicos, tienen ángulos que van de menos a más infinito.

...la zona del espacio curvada por la gravedad ¿Es el un espacio de Lovachevsky?

Definitivamente no. Para entender como se curva el espacio 3D por la gravedad primero hay que entender la métrica Schwarzschild.

Si fuera como dices (y como sugieren la mayoría de la divulgación, que tengo que admitir que es una forma visual de entenderlo pero incorrecta) y entendiéramos esa superficie como la sección del espacio en un tiempo dado y eso evolucionara sin cambiar sus pendientes, entonces todos los relojes en esa superficie correrían a la misma velocidad. Y eso no es lo que ocurre.

Lo que si se parece a la forma de trompeta (no sé si es la que citas o no) son las velocidades temporales. Es decir, cada nivel en el pozo de la trompeta indica a que velocidad corren los relojes respecto a un observador al infinito.

Aquí ocurre algo nada euclidiano: en un entorno euclidiano, si los niveles del pozo indican velocidades temporales, los eventos de los tics más lentos se ralentizarían y se quedarían atrás en el diagrama espacio-tiempo. Eso provocaría que el pozo cada vez fuera más profundo, ya que los tics cerca del pozo recorrerían menos distancia temporal que los exteriores. Así se llegaría a una catástrofe evidente: el pozo sería cada vez más pronunciado y profundo hasta el infinito. Por supuesto esto no ocurre porqué el espacio-tiempo no es euclidiano y un reloj puede medir más o menos tics sin “quedarse atrás”.

Saludos.

[pod]

Re: ¿Es el campo gravitatorio un espacio de lovachesvsy?

Creo que Pod no interpretó lo que quise decir, porque volví a leer los comentarios anteriores y sigo con la misma idea. El espacio tiempo (4D) es curvo y dicha curvatura está dada por el tensor energía momento. Por ende a un nivel intergaláctico se observaría la curvatura. En cambio a un nivel que tome todo el universo, por lo menos el observable, no se aprecia curvatura en el espacio tiempo (4D) debido a que hay grandes extensiones vacias.

La curvatura del espacio-tiempo se puede notar fácilmente a través del red-shift cosmológico, en la escala del universo observable. Que haya inmensas regiones vacías no tiene nada que ver. Si el espacio-tiempo completo fuera plano no habría expansión, ni red-shift...

No he entendido bien esta afirmación. ¿a que te refieres con espacio (3D) y espacio tiempo (4D) ¿tiene algo que ver con las observaciones si son locales o no?. Me explico, en una superficie con curvatura a pequeña escala podemos aproximar la curvatura a cero y sería un espacio euclidiano. A gran escala no. ¿Es algo así?

Nada que ver.

Un ejemplo tonto: si yo cojo un cubo (objeto tridimensional, en el espacio OXYZ) y hago cortes que son perpendiculares al eje OZ, entonces me quedaré con cuadrados (objetos bidimensionales, en el plano OXY). Pues lo mismo: si cojo el espacio-tiempo como un espacio de cuatro dimensiones, y hago "cortes" perpendiculares al eje del tiempo, me quedaré con un espacio tridimensional que no tendrá coordenada temporal. Es una especie de "foto" del universo en un instante de tiempo. Pues bien, estos cortes, si se consideran como una variedad 3D, resulta que observacionalmente vemos que esos cortes son planos a gran escala aunque a pequeña escala pueda haber pequeñas irregularidades.

Ahora bien, eso sólo pasa en cada corte por separado. En espacio-tiempo completo sí hay una curvatura.

[inakigarber]

Re: ¿Es el campo gravitatorio un espacio de lovachesvsy?

.....Si fuera como dices (y como sugieren la mayoría de la divulgación, que tengo que admitir que es una forma visual de entenderlo pero incorrecta) y entendiéramos esa superficie como la sección del espacio en un tiempo dado y eso evolucionara sin cambiar sus pendientes, entonces todos los relojes en esa superficie correrían a la misma velocidad. Y eso no es lo que ocurre.

Lo que si se parece a la forma de trompeta (no sé si es la que citas o no) son las velocidades temporales. Es decir, cada nivel en el pozo de la trompeta indica a que velocidad corren los relojes respecto a un observador al infinito.....

A ver si voy entendiéndolo. Un observador situado en el punto negro vería que su reloj va mas rápido que el situado en el punto rojo y mucho mas rápido aun que el situado en el punto azul. Pero y ¿Qué verían el resto de observadores sobre los otros dos? ¿por que?

Saludos

- - - Actualizado - - -

La curvatura del espacio-tiempo se puede notar fácilmente a través del red-shift cosmológico, en la escala del universo observable. Que haya inmensas regiones vacías no tiene nada que ver. Si el espacio-tiempo completo fuera plano no habría expansión....

¿Qué es el red-shift cosmológico? ¿es el corrimiento al rojo debido a la gravedad?

Un ejemplo tonto: si yo cojo un cubo (objeto tridimensional, en el espacio OXYZ) y hago cortes que son perpendiculares al eje OZ, entonces me quedaré con cuadrados (objetos bidimensionales, en el plano OXY). Pues lo mismo: si cojo el espacio-tiempo como un espacio de cuatro dimensiones, y hago "cortes" perpendiculares al eje del tiempo, me quedaré con un espacio tridimensional que no tendrá coordenada temporal. Es una especie de "foto" del universo en un instante de tiempo. Pues bien, estos cortes, si se consideran como una variedad 3D, resulta que observacionalmente vemos que esos cortes son planos a gran escala aunque a pequeña escala pueda haber pequeñas irregularidades.

Ahora bien, eso sólo pasa en cada corte por separado. En espacio-tiempo completo sí hay una curvatura.

Entendido, al menos la primera parte del párrafo. Un habitante de flatland solo podrá verme proyectado en dos dimensiones. Solo tiene delante-detrás e izquierda-derecha. Desconoce el concepto de arriba-abajo. Supongo que un habitante de un planeta donde tendrían una percepción en mas dimensiones no se plantearía las dudas que yo me planteo.
Un saludo.

[natanael]

Re: ¿Es el campo gravitatorio un espacio de lovachesvsy?

Tiene forma de hiperboloide.

¿De donde sacaste esto?

He estado tratando de hallar geodésicas "cerradas" en esa superficie y no he dado con ninguna. Entiendo que (bajo ciertas condiciones iniciales) en el espacio-tiempo no sean cerradas pero en el espacio deberían de ser cerradas.

[guibix]

Re: ¿Es el campo gravitatorio un espacio de lovachesvsy?

¿De donde sacaste esto?

He estado tratando de hallar geodésicas "cerradas" en esa superficie y no he dado con ninguna. Entiendo que (bajo ciertas condiciones iniciales) en el espacio-tiempo no sean cerradas pero en el espacio deberían de ser cerradas.

El hiperboloide espacial es de una hoja, lo que significa que se puede trazar un círculo espacial (una esfera en 3D+1). Las geodésicas se "cierran" en el espacio pero en espacio-tiempo son una espiral, ya que nunca vuelves al mismo punto espacio-temporal.

Ya veo que no me expliqué muy bien. En todo caso estoy preparando un post para ampliar la información que puse con soporte grafico.

Saludos

[natanael]

Re: ¿Es el campo gravitatorio un espacio de lovachesvsy?

En todo caso estoy preparando un post para ampliar la información que puse con soporte grafico.

Gracias por adelantado entonces!

Pero... ¿Estás seguro que se cierran?

El hiperboloide espacial es de una hoja, lo que significa que se puede trazar un círculo espacial (una esfera en 3D+1). Las geodésicas se "cierran" en el espacio pero en espacio-tiempo son una espiral, ya que nunca vuelves al mismo punto espacio-temporal.

He probado con el hiperboloide espacial de una hoja usando un programita (ahorita dentro de un rato pongo los links que no los consigo, es gratis) que calcula numéricamente las geodésicas. Pero la única superficie que he encontrado en la cual sus geodésicas se cierran (y que cumpla que dicha curva cerrada sea diferenciable el todo el sub-dominio cláro ), es la 2-esfera $r^2=x^2+y^2+z^2$.

Lo que yo creo es que las curvas se cierran si hubiera la forma de computar la trayectoria sobre el plano $\mathbb{R}^2$ pero considerando la métrica de ese hiperboloide como una métrica espacial intrínseca de una 2-variedad.

[guibix]

Re: ¿Es el campo gravitatorio un espacio de lovachesvsy?

Hola de nuevo Iñaki y natanael,

Primero disculpad por el retraso. Pero lo prometido es deuda y aquí estoy de nuevo. En realidad hace un tiempo que estoy escribiendo un artículo que habla (entre otras cosas) precisamente de esto. Aunque va para largo y he preferido aclarar este punto aquí.

Creo que os estoy confundiendo más que no ayudando. Mis conocimientos en TRG son bastante limitados, así que voy a intentar explicarme con lo que tengo. Espero que alguien me corrija si digo alguna barbaridad.

Quiero puntualizar una cosa: El grafico de Iñaki sí puede representar la geometría intrínseca del espacio en un momento dado. Pero la tercera dimensión no es el tiempo. Digamos llanamente que representa la curvatura del espacio en cada punto.

Pero es mejor que olvidemos por un momento esto. Prefiero que antes se entienda un sistema de referencia acelerado. El mismo Einstein dijo algo como “Si quieres entender bien la Relatividad General hay que entender bien la aceleración”.

Imaginad un espacio-tiempo plano (de Minkowski) en dos dimensiones $(t,x)$ de un sistema de referencia inercial (SRI). Luego estudiamos la trayectoria de un objeto uniformemente acelerado. En un SRI, ningún objeto puede acelerar de forma constante indefinidamente, pues se superaría la velocidad de la luz en algún momento. Aún así, el objeto puede acelerar con una aceleración propia constante.

Esto es que en el sistema de referencia acelerado sí se puede “sentir” una aceleración constante indefinidamente sin superar nunca $c.$ Pero cualquier SRI no verá una aceleración constante, si no con un factor $\gamma^{-3}$. Aun así, todos los SRIs y el propio sistema de referencia acelerado (SRA), estarán de acuerdo en el valor de la fuerza que se le aplica al objeto acelerado y en que esta es constante. Para un SRI, parece acelerar menos cuanto más rápido va el objeto debido a que la masa inercial aumenta. Pero la fuerza se observa constante.

La trayectoria de un objeto así, es una hipérbole. El objeto viene asintóticamente frenando de la velocidad de la luz, se detiene en cierto punto y regresa al infinito acelerando asintóticamente otra vez hacia la velocidad de la luz.

Para observar lo que ocurre en el sistema de referencia “uniformemente” acelerado (SRUA) a partir de un SRI, nos interesa que el punto dónde se detiene el objeto acelerado respecto al SRI no sea el origen. En particular, nos interesa que el punto sea concretamente $(t=0,x=c^2/a)$. Esto se hace para que la hipérbola que estudiemos esté centrada al origen de coordenadas del SRI.

Al tener las hipérbolas centradas, podemos definirlas en función del tiempo propio $\tau$ a lo largo de la trayectoria. El factor gamma está relacionado con el ángulo hiperbólico $\theta$ mediante

$\gamma=\cosh\theta$

Además, sabemos que la aceleración propia constante es una rotación hiperbólica constante. La aceleración juega el papel de aceleración centrípeta hiperbólica y $\tau$ juega el papel de variable temporal.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si la trayectoria de una hipérbola de radio $r$ se parametriza mediante

$x=r\cosh\theta$

$t=r\sinh\theta,$

podemos escribir el radio y el ángulo hiperbólico en función de la aceleración y $\tau$

$x=\frac{c^2}{a}\cosh \left(\dfrac a c \tau\right)$

$t=\frac{c^2}{a}\sinh \left(\dfrac a c \tau\right)$

Se da un hecho interesante y es que los radios que unen el origen con los puntos en la trayectoria, son precisamente el espacio propio para cada tiempo dado del SRUA. Todos los radios miden la misma distancia propia y convergen al origen de coordenadas. Esto significa que el evento $(0,0)$ está “conjelado” en el tiempo de todos los sistemas acelerados descritos de esta forma. Esto es un horizonte de sucesos, pues ningún suceso dentro del cono futuro del SRI, nunca podrá ser observado por uno de estos SRUAs, ya que su luz nunca llegará a ellos.

Para ver lo que ocurre con los relojes solo hay que comparar dos SRUAs.

Tenemos una hipérbola de radio unitario y una de radio 2. Podemos ver que en la trayectoria azul, cada tic coincide con el doble de tics de la trayectoria verde en su plano de simultaneidad, por lo tanto se produce un efecto de “contracción temporal”. En cambio, el verde observa una dilatación temporal en el rojo, equivalente a $\gamma=2.$

También puede verse otra cosa curiosa: los dos observadores mantienen una distancia propia constante, ambos se observan a una unidad de distancia todo el tiempo. Eso tiene la consecuencia de que si bien cualquier SRI estará de acuerdo en que uno acelera el doble que el otro, cada SRUA medirá los otros en reposo con él mismo a una distancia fija.

Esto tiene una isometría con la métrica de Schwarzchild (aunque sin singularidades ni componentes angulares): los radios iguales siguen trayectorias uniformemente aceleradas a distancias propias constantes. Es muy parecido a un campo gravitatorio en una dimensión: para que dos objetos se mantengan en reposo a distintos radios, tendrán que acelerar a distinta aceleración).

Si trazamos una recta temporal inercial, su trayectoria pasa por un radio dado, aumenta ese radio y luego vuelve al radio original para luego seguir a radios más pequeños. Esto es para los SRUAs lo mismo que un objeto en caída libre.

Cuando el cualquier objeto entra en el cono futuro del SRI, éste cruza el horizonte de sucesos de los SRUAs. Para estos últimos, nunca observarán el evento de un objeto que cruce este horizonte, ya que las líneas de tiempos iguales se “comprimen” bajo el cono futuro. La línea de tiempos iguales que “toca” el cono futuro, es un tiempo infinito para los SRUAs. Y cualquier evento en la frontera del cono de luz también ocurrirá en un tiempo infinito para ellos.

Pues la gravedad actúa de esta manera (es un SRA). La métrica de Schwarchild se parece mucho a esto, Cambian cosas como que hay que poner el resto de componentes en simetría esférica y en el origen se sitúa el radio de Schwarchild, o sea, la superficie del agujero negro. Y por supuesto aparece una singularidad en r=0, es una hipérbole del radio de Schwarchild en el cono futuro. Está en el cono futuro porqué en la métrica, un radio menor que el de Schwarchild, invierte el signo de las componentes, situando así una distancia espacial en trayectorias temporales. O sea, si caemos en un agujero negro, te encuentras con la singularidad en el tiempo y no en el espacio.

Por eso digo que la forma que adopta el espacio-tiempo bajo el efecto de un campo gravitatorio de simetría esférica es de un hiperboloide.

Para las geodésicas nos haría falta como mínimo otra dimensión espacial. Pero como dije, una trayectoria temporal nunca se cierra sobre si misma (esto sería un viaje en el tiempo), y las geodésicas vistas como órbita, solo están cerradas en el espacio y no en el tiempo. Por lo tanto el hiperboloide es la forma que adopta el espacio-tiempo y las órbitas adoptan trayectorias espirales. Pero esto que describo, no es la forma intrínseca del espacio en si mismo en un momento dado.

Sobretodo lo que me interesa es que se entienda que la imagen de una superficie curvada no es suficiente para entender la gravedad. Hay que tener en cuenta que la curvatura de un espacio hiperbólico es negativa, esto significa que cuando giramos hiperbólicamente, la aceleración normal apunta en sentido contrario al centro. O sea que no existen esferoides 3D+1 en el espacio-tiempo y sus equivalentes son hiperboloides.

Bueno, espero haber aclarado más que confundido pero ya veis que no es tan simple como parece. En todo caso ir mucho más allá que esto es tarea difícil y estos diagramas ya no sirven, aunque la idea es la misma.

Saludos.