Divulgación ¿Es el intervalo relativista una magnitud escalar?

[inakigarber]

Buenas tardes;

Yo hubiera pensado que sí, pero releyendo este blog, me han salido dudas, especialmente cuando dice;

"Desde una perspectiva más formal, podríamos preguntarnos: ¿por qué el intervalo relativista es una cantidad que permanece inalterable de un marco de referencia a otro?

Para responder a esta última pregunta, haremos un repaso sobre la interpretación física y geométrica que les damos a las cantidades conocidas como los escalares y los vectores .

Los escalares

son cantidades tales como la temperatura de un cuerpo o el color de una esmeralda. Tales cantidades no tienen dirección alguna que se les pueda asignar, y son cantidades que permanecen invariables sin cambiar en lo absoluto cuando se cambia de un marco de referencia a otro.

En cambio los vectores

representan cantidades que apuntan definitivamente en cierta dirección, como la dirección en la cual está soplando el viento o como la dirección en la cual se está moviendo la Luna en un momento dado al girar en torno a la Tierra. Esta es la razón por la cual frecuentemente se representan en los pizarrones con una flechita puesta encima de ellos."

Hasta ahora pensaba que el intervalo relativista representaba una "distancia" (utilizo el entrecomillado para diferenciarlo de la distancia tridimensional a la que estamos acostumbrados en un sistema tridimensional) era una magnitud vectorial. Si el intervalo debe permanecer invariante en distintos sistemas de referencia inerciales, ¿se mantiene esa invarianza en sistemas de referencia no inerciales? (por ejemplo en un campo gravitatorio)

[pod]

El intervalo relativista, es una cantidad escalar a todas luces: es un único número real (infinitesimal, si quieres), sin componentes; y como bien dice tu texto azulón, es invariante ante transformaciones de Poincaré.

En espacio euclidiano pasa lo mismo: tienes por un lado vectores de posición, y por el otro tienes distancias que son escalares. Tu puedes decir algo como "ayer caminé 10km", y eso no se refiere a ningún vector concreto. De hecho, puede que tu vector desplazamiento sea nulo (comenzaste y acabaste el día en el mismo sitio: tu cama).

[pod]

Pensándolo mejor, un ejemplo mejor sería comparar un vector con su módulo.

[inakigarber]

Gracias por tus respuestas han sido muy aclaradoras.

Creo que todo ha surgido a consecuencia de confundir dos términos como posición y distancia. Por ejemplo, podría haber pensado en los puntos del perímetro de una circunferencia, todos están a la misma distancia del centro pero están en posiciones distintas. De manera que debería hablar de un vector posición definido por dos o más parámetros segun sea un espacio de dos o más dimensiones y de un escalar distancia que nos dice cuan lejos se está de un determinado punto de referencia.
Si no me equivoco, en física clásica el vector posición vendría dado por los parámetros $x,y,z$, tal que $ds^2=x^2+y^2+z^2$, en la relatividad especial hablaríamos de un cuadrivector cuya posición vendría dada por $(ct),x^2,y^2 e z^2$, donde x y e z son las magnitudes espaciales y ct la temporal, y el intervalo vendría dado por $ds^2=(ct)^2-x^2-y^2-z^2$. En relatividad general en presencia de una masa la expresión tiene que ser de alguna manera tal que introduzca la masa ¿sería la métrica de Schwartzschild?

Espero no haber dicho demasiadas tonterías.

Saludos y gracias.

[pod]

Gracias por tus respuestas han sido muy aclaradoras.

Creo que todo ha surgido a consecuencia de confundir dos términos como posición y distancia. Por ejemplo, podría haber pensado en los puntos del perímetro de una circunferencia, todos están a la misma distancia del centro pero están en posiciones distintas. De manera que debería hablar de un vector posición definido por dos o más parámetros segun sea un espacio de dos o más dimensiones y de un escalar distancia que nos dice cuan lejos se está de un determinado punto de referencia.
Si no me equivoco, en física clásica el vector posición vendría dado por los parámetros $x,y,z$, tal que $ds^2=x^2+y^2+z^2$, en la relatividad especial hablaríamos de un cuadrivector cuya posición vendría dada por $(ct),x^2,y^2 e z^2$, donde x y e z son las magnitudes espaciales y ct la temporal, y el intervalo vendría dado por $ds^2=(ct)^2-x^2-y^2-z^2$. En relatividad general en presencia de una masa la expresión tiene que ser de alguna manera tal que introduzca la masa ¿sería la métrica de Schwartzschild?

Espero no haber dicho demasiadas tonterías.

Saludos y gracias.

Me parece correcto lo que dices.

En efecto, la métrica de Scwarchild corresponde a un universo con una masa puntual, visto en el desde el sistema de referencia donde dicha masa está en reposo en el orgien de coordenadas.

[inakigarber]

Buenas noches;

Gracias por tus respuestas;
Ahora me doy cuenta de que cuando abrí este hilo anterior, estaba equivocado, ya que estaba confundiendo términos. A ver si voy aclarando las cosas. El intervalo determina la geodésica, es decir la distancia más corta entre dos puntos en el espacio (si no estoy equivocado). En un espacio Euclidiano esta distancia es la línea recta, en una superficie curva este intervalo solo será una línea recta en medidas locales, en medidas no locales será una curva (tiene esto bastante que ver con las "extrañas" trayectorias de vuelo de los aviones en los vuelos transoceanicos), me imagino, pero no se muy bien porque, que el cálculo del intervalo del intervalo en un espacio métrico de Schwartschilz ¿podría ser algo parecido a esto?
$\begin{pmatrix}dt & dx &dy &dz\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-c^2\left(1-\dfrac{2GM}{c^2r}\right) & 0 &0 &0\\0 & \left(1-\dfrac{2GM}{c^2r}\right)^{-1} &0&0\\<br /> 0&0&r^2&0\\0&0&0&r^2 sen^2(\theta)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dt \\dx\\dy\\dz\end{pmatrix}$
(Expresando el vector $dt,dx,dy,dz$ en coordenadas polares).

Supongo que estoy aún muy lejos de entender la métrica de Schwartschild.

Saludos y gracias.

[pod]

En efecto. En general, para cualquier métrica $g_{\mu\nu}$, el intervalo es

$$\dd s^2 = g_{\mu\nu}\dd x^\mu\, \dd x^\nu .$$

(En algunos textos puedes encontrar un signo menos en esta ecuación, depende del convenio que se elija... no debería afectar en este caso)

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta;

Luego lo que puse era correcto. (lo digo porque después pensé que era una tremenda tontería y estuve a punto de borrar el comentario).
El elemento $g_{\mu\nu}$ representaría la matriz y los elementos $\dd x^\mu$ y $\dd x^\nu$ representarían el cuadrivector expresado en formato fila y columna respectivamente. La ecuación matricial que yo escribí siguiendo el mismo orden sería $\dd s^2 = \dd x^\mu\,g_{\mu\nu} \dd x^\nu$.

De manera que si tuviera un cuadrivector expresado en coordenadas cartesianas $ct,x,y,z$, debería cambiar estas coordenadas a coordenadas esféricas $ct,r,\theta,\varphi$, aplicándola al producto matricial arriba mencionado colocando la matriz en el centro del producto matricial. Bien esto me da un valor que representa a una distancia que es un escalar y cuyo valor depende de la masa del objeto central ya que la matriz incluye la masa del objeto. Ahora bien, me surge una pregunta ¿este escalar como puede determinar cual es la geodésica que determina el camino más fácil?

Saludos.

[Weip]

Luego lo que puse era correcto. (lo digo porque después pensé que era una tremenda tontería y estuve a punto de borrar el comentario).
El elemento $g_{\mu\nu}$ representaría la matriz y los elementos $\dd x^\mu$ y $\dd x^\nu$ representarían el cuadrivector expresado en formato fila y columna respectivamente. La ecuación matricial que yo escribí siguiendo el mismo orden sería $\dd s^2 = \dd x^\mu\,g_{\mu\nu} \dd x^\nu$.

Detalle: Recuerda que al escribir $\dd s^2 = \dd x^\mu\,g_{\mu\nu} \dd x^\nu$ no estás tratando ni con matrices ni con vectores sino con sus componentes de forma que el orden es indiferente. De hecho tal como lo has puesto queda raro, lo normal es escribirlo como hace pod: $\dd s^2 = g_{\mu\nu} \dd x^\mu \dd x^\nu$. Esta notación viene de cuando pones un vector en combinación lineal de la base. En este caso las componentes de la base quedan a la derecha: $v=v^ie_i$. Esto es igual pero en vez de $e_i$ tienes productos $\dd x^\mu \dd x^\nu$. En notación matricial sí que habría que vigilar con el orden: $\dd s^2=\dd x^T G \dd x$, pero eso ya lo has hecho bien en el mensaje #5.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta y por tu corrección, no entiendo bien cuando dices;

Detalle: Recuerda que al escribir $\dd s^2 = \dd x^\mu\,g_{\mu\nu} \dd x^\nu$ no estás tratando ni con matrices ni con vectores sino con sus componentes de forma que el orden es indiferente. ..

Saludos.

[Weip]

Me refiero a que por ejemplo $\dd x^0=\dd t$ es la primera coordenada de $\dd x$, $\dd x^1=\dd x$ es la segunda, etc. Lo mismo pasa con $g_{\mu \nu}$ pero con dos índices. Estas no son ni matrices ni vectores fila o columna, son sus componentes, aunque es habitual confundirlos a modo de abuso de lenguaje.

Ahora bien, me surge una pregunta ¿este escalar como puede determinar cual es la geodésica que determina el camino más fácil?

Bueno, no es algo tan fácil como parece. Es completamente mecánico pero es largo. En este link tienes los detalles: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics. En resumen, a partir de la métrica se pueden calcular los símbolos de Christoffel, que son las componentes de la derivada covariante. Gracias a ellos puedes escribir la ecuación de las geodésicas, que es un sistema de ecuaciones diferenciales, y al resolverlo da las geodésicas como solución.

PD: Comentar una cosa que creo que ya tienes en cuenta pero las coordenadas en el mensaje #5 deberían ser $(t, r, \theta, \varphi)$.

[pod]

Gracias por tu respuesta;

Luego lo que puse era correcto. (lo digo porque después pensé que era una tremenda tontería y estuve a punto de borrar el comentario).
El elemento $g_{\mu\nu}$ representaría la matriz y los elementos $\dd x^\mu$ y $\dd x^\nu$ representarían el cuadrivector expresado en formato fila y columna respectivamente. La ecuación matricial que yo escribí siguiendo el mismo orden sería $\dd s^2 = \dd x^\mu\,g_{\mu\nu} \dd x^\nu$.

De manera que si tuviera un cuadrivector expresado en coordenadas cartesianas $ct,x,y,z$, debería cambiar estas coordenadas a coordenadas esféricas $ct,r,\theta,\varphi$, aplicándola al producto matricial arriba mencionado colocando la matriz en el centro del producto matricial. Bien esto me da un valor que representa a una distancia que es un escalar y cuyo valor depende de la masa del objeto central ya que la matriz incluye la masa del objeto. Ahora bien, me surge una pregunta ¿este escalar como puede determinar cual es la geodésica que determina el camino más fácil?

Saludos.

Si lo que quieres es calcular las geodésicas del espacio-tiempo definido por $g_{\mu\nu}$, entoces tienes que resolver la ecuación de las coordenadas geodésicas. Como comenta Weip, es un trabajo bastante arduo en general, pero depende únicamente de la métrica. Primero, hay que calcular los simbolos de Christoffel (que vienen a indicar como se "deforman" los vectores al transportarlos por un espacio curvo):

$${\Gamma^\rho}_{\mu\nu} = \frac12 g^{\rho\kappa} \Big( \partial_\nu g_{\kappa\mu} + \partial_\mu g_{\kappa\nu} - \partial_\kappa g_{\mu\nu} \Big) .$$

A partir de ahí, la ecuación de las geodésicas es:

$$\frac{\dd^2 x^\mu}{\dd \lambda^2} + {\Gamma^\mu}_{\alpha\beta} \frac{\dd x^\alpha}{\dd\lambda}\frac{\dd x^\beta}{\dd\lambda} = 0.$$

Donde $\lambda$ es el parámetro que utilizas para describir la trayectoria. Si quieres describir la trayectoria de una partícula con masa, normalmente se utiliza el tiempo propio. Si es una partícula sin masa no puedes, porque no tiene tiempo propio.

Como curiosidad, fíjate que si la métrica es constante en todo el espacio, como la de Minkowski, todos los Christoffels son nulos. La ecuación de las geodésicas se reduce a $\frac{\dd^2 x^\mu}{\dd \lambda^2}=0$, cuya solución es $x^\mu = a^\mu \lambda + b^\mu$, con a y b quadrivectores constantes. Si mis recuerdos de geometría afin no me fallan, hemos redescubierto la recta .

[inakigarber]

Gracias por vuestras respuestas;

Veo que el tema va mucho más allá de lo que de momento puedo entender. Creo que la pregunta con la que abrí el hilo ha quedado satisfactoriamente resuelta. El intervalo relativista (y el no relativista) es una magnitud escalar. En este caso creo que qué es conveniente distinguir entre intervalo (o distancia) y posición. Por ejemplo, todos los puntos del perímetro están a una misma distancia (intervalo) del centro esta distancia $dr$ es invariante para todos los puntos del perímetro pero cada punto del perímetro estará a una posición distinta que el resto de los puntos, pero en todos se dará la condición de que $ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$. En la métrica de Minkowsky el intervalo se define como $ds^=(cdt)^2-dx^2-dy^2-dz^2$. En la métrica de Schwartzild $ds^2=(1-\dfrac{2GM}{c^2 r})(cdt)^2-(1-\dfrac{2GM}{c^2 r})dr^2-r^2(d\theta^2+sen^2\theta d\theta^2)$ (esta última expresada en coordenadas esféricas). Me doy cuenta que para M=0 ó $r=\infty$ o ambos, esta última se transforma en la de Minkowski. Sospecho que en presencia de masa y en un radio fínito el espacio debe tener una métrica hiperboloide, que se volverá hiperbólica para masa nula o radio infinito.

Aún queda mucho por leer y que pensar para entender esta interesante cuestión.

Saludos y gracias.