¿Porque la derivada de un tensor debe ser otro tensor?

[inakigarber]

Buenas noches;
Leyendo este blog sobre relatividad, relativo a la derivada covariante de un tensor, me planteo una duda que no entiendo, o que al menos no tengo muy claro el porque cuando dice en el primer párrafo al inicio del blog;

Cuando dice;

"Si la derivada de un tensor ha de estar bien definida, no basta con que apliquemos las reglas del cálculo infinitesimal que ya conocemos para obtener algo que podríamos sentirnos tentados a llamar “la derivada de un tensor”. Es necesario que el resultado obtenido también se comporte como un tensor , es necesario que también se transforme de acuerdo con la definición del tensor bajo un cambio de coordenadas. Si esto no ocurre, la operación no nos sirve de nada, porque al no poderse transformar “la derivada del tensor” como un tensor bajo un cambio de coordenadas, entonces una ecuación tensorial que involucre derivadas de los mismos no será independiente de un cambio de coordenadas, contraviniendo la principal razón para recurrir al uso de tensores que es para poder escribir relaciones matemáticas como las que ocurren en la Relatividad General, independientes del sistema de coordenadas utilizado. Y resulta que la diferenciación ordinaria de un tensor no nos produce un tensor."

Entiendo que lo que nos quiere decir que así como un tensor debe mantenerse invariante ante una transformación desde un sistema de coordenadas a otro, tambén su derivada debe mantenerse (si no estoy equivocado), bien, una derivada normal no cumple esta condición (por la propia fórmula del producto de derivadas), por tanto no valdría una derivación normal, sino una derivada especial (la derivada covariante). No se si en el blog mencionado pone algún ejemplo, hasta donde he leido no lo he visto. Me gustaría ver algún ejemplo de como se aplica y de como se calculan los simbólos de Christoffel, aunque supongo que el tema será complicado.

Saludos y gracias.

[sater]

Puedes leer el capítulo 7 del siguiente documento Inakigarber: https://www.ugr.es/~bjanssen/text/Be...dadGeneral.pdf

[sater]

Por cierto, un buen recurso para aprender relatividad partiendo del nivel de ESO/Bachillerato en mates es el libro de Lillian Lieber, el cual te recomendaría encarecidamente: https://archive.org/details/einstein...ge/n6/mode/2up

[inakigarber]

Por cierto, un buen recurso para aprender relatividad partiendo del nivel de ESO/Bachillerato en mates es el libro de Lillian Lieber, el cual te recomendaría encarecidamente: https://archive.org/details/einstein...ge/n6/mode/2up

Lo sigo con interés, pero el hecho de que sea en Inglés, lo dificulta un poco.

[Weip]

Hola inakigarber.

Entiendo que lo que nos quiere decir que así como un tensor debe mantenerse invariante ante una transformación desde un sistema de coordenadas a otro, tambén su derivada debe mantenerse (si no estoy equivocado), bien, una derivada normal no cumple esta condición (por la propia fórmula del producto de derivadas), por tanto no valdría una derivación normal, sino una derivada especial (la derivada covariante). No se si en el blog mencionado pone algún ejemplo, hasta donde he leido no lo he visto.

La siguiente quizás no es una explicación que se encuentre en los libros, y no creo que sea útil en el contexto del blog que estás leyendo, pero a mí me gusta porque es super visual. Si tu tienes una variedad bidimensional metida en $\mathbb{R}^3$, resulta que la derivada de un campo vectorial tangente (que es un caso particular de tensor) no tiene porqué ser otro campo vectorial tangente. Es decir, obtienes un campo vectorial pero los vectores en cada punto pueden estar mirando en una dirección que no está en la variedad. La resolución es, simplemente, suprimir las componentes normales de cada vector. El resultado es la derivada covariante del campo vectorial original, que es tangente a la variedad.

Esto no es extrapolable al espaciotiempo porque no hay una dimensión superior en la que meterlo, pero sí motiva los cambios que se suelen hacer, a veces sin mucha más explicación que el álgebra involucrada, para introducir la derivada covariante (cuya interpretación geométrica definitiva encontrarás más adelante cuando te hablen del transporte paralelo).

Me gustaría ver algún ejemplo de como se aplica y de como se calculan los simbólos de Christoffel, aunque supongo que el tema será complicado.

No es complicado, pero al principio puede resultar lioso. Te recomiendo que leas la primera página de este documento: https://www.josephmalkoun.com/RG/hyperbolic.pdf. Aunque no es un ejemplo detallado, es posible que te ayude porque se trata el caso del plano hiperbólico, que al ser bidimensional tiene menos cálculos. El caso de dimensión cuatro es exactamente igual, pero con más cálculos largos y pesados. Los símbolos que no están es porque son zero. Intenta calcularlos a ver si te coincide el resultado. Si no me vuelvo a pasar y los detallo yo.

[Alriga]

Kaixo Iñaki, en castellano te puede interesar:

Tensores. Mecánica del medio continuo: conceptos básicos. (Eduardo W. V. Chaves)

Mecánica de Medios Continuos: Resumen de Álgebra y Cálculo Tensorial (José Ma. Goicolea Ruigómez)

Saludos.

[carroza]

Hola. Iñakigarber Veo por este y muchos hilos anteriores, que te interesa (más bien te fascina) el concepto de tensor.

Permiteme hacerte un pequeño test, que podría ayudar a aclarar ideas, y, quizás, a perfilar mejor las preguntas que quieras hacer sobre este tema.

Siempre es necesario considerar un grupo de transformaciones, antes de hablar de tensores. Vamos a considerar, en este ejemplo, el grupo de las rotaciones como grupo de transformaciones. Y vamos a considerar por un lado el vector posición, con sus componentes, $\vec r \equiv (x, y, z)$, y por otro lado, un campo vectorial $\vec E \equiv (E_x, E_y, E_z)$, que te puedes imaginar como el campo eléctrico. Cada una de estas componentes $E_x, E_y, E_z$, puede ser en general una función de $\vec r$, es decir, una función de $x,y,z$.

Ahora el test:

1) El numero 4 es un tensor?

2) El vector $\vec r$ es un tensor?

3) La componente $z$ es un tensor?

4) El conjunto de las componentes $(x,y,z)$ constituyen un tensor?

5) La cantidad $r^2 = \vec r \cdot \vec r$ es un tensor?

6) El conjunto de las cantidades $(x^2,y^2,z^2)$ constituyen un tensor?

7) El producto escalar $\vec r \cdot \vec E$ es un tensor?

8) El producto $x E_y$ es un tensor?

9) El conjunto de las cantidades $(x E_x, y E_y, z E_z)$ constituyen un tensor?

10) La expresión $x \vec E$, que podemos describir como el conjunto de las cantidades $(x E_x, x E_y, x E_z)$ constituyen un tensor?

Una vez que uno tenga claras las respuestas a estas 10 preguntas, podríamos paras a la pregunta siguiente:

11) La expresión ${d \over dx} \vec E$ es un tensor?

Un saludo

[inakigarber]

Buenos días;

Gracias por tu respuesta, voy a ver si respondo a tus preguntas, aunque parece más difícil responderla satisfactoriamente.

Hola. Iñakigarber Veo por este y muchos hilos anteriores, que te interesa (más bien te fascina) el concepto de tensor.

Permiteme hacerte un pequeño test, que podría ayudar a aclarar ideas, y, quizás, a perfilar mejor las preguntas que quieras hacer sobre este tema.

Siempre es necesario considerar un grupo de transformaciones, antes de hablar de tensores. Vamos a considerar, en este ejemplo, el grupo de las rotaciones como grupo de transformaciones. Y vamos a considerar por un lado el vector posición, con sus componentes, $\vec r \equiv (x, y, z)$, y por otro lado, un campo vectorial $\vec E \equiv (E_x, E_y, E_z)$, que te puedes imaginar como el campo eléctrico. Cada una de estas componentes $E_x, E_y, E_z$, puede ser en general una función de $\vec r$, es decir, una función de $x,y,z$.

El tema de los tensores me interesa porque parece indispensable para entender el porque de la relatividad general. Dada mi formación autodidacta, creo que mi entendimiento del tema deja aún mucho que desear. Entiendo que el tensor es algo que permanece invariante ante un cambio de coordenadas. Vayamos adelante con el text.

1) El numero 4 es un tensor?

Según la definición que he dado sería un tensor de orden cero.

2) El vector $\vec r$ es un tensor?

Sería un tensor de órden uno (un vector).

3) La componente $z$ es un tensor?

Las componentes cambian con el sistema de referencia por lo que en principio no serían tensores.

4) El conjunto de las componentes $(x,y,z)$ constituyen un tensor?

Yo creo que las componentes en si no son tensores por el mismo motivo de la anterior respuesta. Creo que la respuesta es no.

5) La cantidad $r^2 = \vec r \cdot \vec r$ es un tensor?

Diría que si, es el producto escalar de dos tensores. Su valor es invariante del sistema de referencia. Diría que es un tensor de orden cero.

6) El conjunto de las cantidades $(x^2,y^2,z^2)$ constituyen un tensor?

Yo creo que sí, por el mismo motivo de la anterior respuesta.

7) El producto escalar $\vec r \cdot \vec E$ es un tensor?

Yo diría que si, es el producto escalar de dos vectores, por tanto un tensor de orden cero.

8) El producto $x E_y$ es un tensor?

No sabría responderte con claridad, pero creo que no.

9) El conjunto de las cantidades $(x E_x, y E_y, z E_z)$ constituyen un tensor?

No sabría responderte con claridad, pero creo que no.

10) La expresión $x \vec E$, que podemos describir como el conjunto de las cantidades $(x E_x, x E_y, x E_z)$ constituyen un tensor?

Sería el producto de un escalar por un vector, lo cual nos devuelve un vector, es decir un tensor de orden 1.

11) La expresión ${d \over dx} \vec E$ es un tensor?un saludo

De acuerdo con el blog que estoy siguiendo, la derivada de un tensor no es un tensor. Solo su derivada covariante sería un tensor. La respuesta sería no.

Me gustaría saber cuales de mis respuestas están mal y porque para seguir aprendiendo.

Saludos y gracias.

[carroza]

Hola, Iñaki. Vamos al tema. Espero que esté claro que no es en absoluto mi intención "poner un examen" para evaluar de forma alguna lo que sabes o no de tensores. Simplemente, hacer preguntas muy simples (tipo sócrates), para ver mejor dónde están tus limitaciones a la hora de comprender, o dónde estan mis limitaciones, o las de Weip, Sater, Alriga y el resto de foreros a la hora de explicar

El tema de los tensores me interesa porque parece indispensable para entender el porque de la relatividad general. Dada mi formación autodidacta, creo que mi entendimiento del tema deja aún mucho que desear. Entiendo que el tensor es algo que permanece invariante ante un cambio de coordenadas.

Un matiz importante: Un tensor no es siempre una cosa. Puede ser, en general, un conjunto de cosas, que frente a ciertas transformaciones (no sólo cambios de coordenadas, se converte cada uno en una combinación lineal de todas.

Por ejemplo, un escalar es invariante frente a rotaciones. Por tanto, es un tensor con una única componente.

Un vector, en el espacio habitual de tres dimensiones, es un conjunto de tres cosas, las tres componentes, que frente a rotaciones, se convierten en combinaciones de las componentes anteriores.. Por tanto, es un tensor con tres componentes.

Por ejemplo, si tengo una particula cuya posición es $\vec r \equiv (x, y, z)$, y la roto un ángulo $\theta$ en torno al eje z, las nuevas componentes $(x', y', z')$ son combinaciones de las anteriores, dadas por
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta, \quad y' = y \cos \theta + x \sin \theta, \quad z'=z$

Vayamos adelante con el text.

Según la definición que he dado sería un tensor de orden cero.

Sería un tensor de órden uno (un vector).

Las componentes cambian con el sistema de referencia por lo que en principio no serían tensores.

Yo creo que las componentes en si no son tensores por el mismo motivo de la anterior respuesta. Creo que la respuesta es no.

Espero que ahora tengas claro que (x,y,z), si constituyen un tensor de tres componentes

Diría que si, es el producto escalar de dos tensores. Su valor es invariante del sistema de referencia. Diría que es un tensor de orden cero.

Yo creo que sí, por el mismo motivo de la anterior respuesta.

$r^2 = x^2 + y^2 + z^2$ si es invariante frente a rotaciones, y por tanto, constituye un tensor de una componente. Sin embargo, el conjunto de las tres cosas $(x^2, y^2, z^2)$ no lo es.

Si roto $x^2$, encuentro que la cantidad rotada $(x')^2$ es una combinación de $x^2, y^2, z^2$ pero también aparecen términos que van como $xy, xz, yz$. Así que el conjunto $(x^2, y^2, z^2)$ no es un tensor de tres componentes, pero el conjunto $(x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz)$ si es un tensor de seis componentes.

Este tensor de seis componentes es reducible. Eso quiere decir que podemos encontrar ciertas combinaciones de las componentes, que se transformen entre ellas (y no con las demás), frente a rotaciones.
Como hemos visto antes, la combinación $r^2 = x^2 + y^2 + z^2$ si es invariante frente a rotaciones, y por tanto, constituye un tensor de una componente. Si quitamos esta del conjunto de seis de seis, nos quedan las expresiones $((x^2-y^2), (x^2+ y^2-2 z^2), xy, xz, yz)$ que son 5 cosas que se transforman en combinacion de ellas frente a rotaciones, y constituye un tensor de 5 componentes. Esto es lo que se llama un "tensor de traza nula", y aparece en muchos sitios, relatividad general incluida.

Yo diría que si, es el producto escalar de dos vectores, por tanto un tensor de orden cero.

Ok. Yo prefiero llamarlo un tensor de una componente.

No sabría responderte con claridad, pero creo que no.

Sería el producto de un escalar por un vector, lo cual nos devuelve un vector, es decir un tensor de orden 1.

Ok, Fijate que si combinamos dos vectores, cada uno de ellos con tres componentes, podemos tener 9 objetos: $(x E_x, x E_y, x E_z, y E_x, y E_y, y E_z, z E_x, z E_y, z E_z)$. Estas 9 componentes, frente a rotaciones, se convierte cada una en una combinación de todas las demás. Usando la nomenclatura cartesiana de los tensores, esto sería un tensor de orden 2, formado por dos vectores. Yo prefiero simplemente considerar que tengo un tensor de 9 componentes.

Este tensor es reducible. Como bien has indicado antes, la combinación $(x E_x + y E_y + z E_z)$. que podemos expresar como $\vec r \cdot \vec E$, constituye un tensor de una componente. Además, las combinaciones $( y E_z- z E_y, z E_x- x E_z, y E_x- x E_y)$ se convierte cada una en una combinación de las tres, por tanto constituyen un tensor de tres componentes, que habitualmente representamos por $\vec r \times \vec E$. Finalmente, las cinco componentes restantes, $( y E_z + z E_y, z E_x+ x E_z, y E_x +x E_y, x E_x - y E_y, x E_x+y E_y -2 z E_2)$ consotituyen un tensor de cinco componentes.

De acuerdo con el blog que estoy siguiendo, la derivada de un tensor no es un tensor. Solo su derivada covariante sería un tensor. La respuesta sería no.

El paso siguiente sería darse cuenta que las derivadas, en x, y, z, de las tres componentes de un vector, son nueve cosas, y había que ver cuidadosamente cómo se descomponen en tensores de diversas componentes. Siempre habrá tiempo para volver a los blogs.

Un saludo

[inakigarber]

Gracias por tus comentarios y por tu tiempo, pero las dos últimas respuestas que me das no las entiendo bien.

[carroza]

Ok. Pues ya hemos localizados las cosas que no entiendes bien, o las que yo no explico bien. Cuando quieras, repregunta.

Un saludo

[Jaime Rudas]

Lo sigo con interés, pero el hecho de que sea en Inglés, lo dificulta un poco.

En español, este curso de Javier García pinta muy bien. También parte de matemáticas de bachillerato.