Sobre el transporte paralelo y el recorrido de una flecha sobre una superficie.

[inakigarber]

Buenos días;

Leyendo distintas publicaciones sobre Relatividad General me encuentro siempre (o casi) con el concepto de transporte paralelo, sobre el que tengo una idea, pero no se si muy clara. Vámos a empezar por lo que tengo claro. En un plano euclídeo, puedo trasladar un vector paralelamente sobre cualquier parte del plano de tal manera que siempre apunten en la misma dirección.

Pero ¿y en una circunferencia?
Supongamos que soy un Hoplita griego que porta una flecha siempre horizontal. Es decir, en un plano que siempre es horizontal y que la flecha apunta hacia adelante. Salgo de paseo desde (1) situado en el ecuador hacia el norte (2). Una vez en el norte empiezo a caminar (de lado) sin cambiar la orientación de la flecha hasta llegar al ecuador de nuevo (3) en el centro de la circunferencia, aquí vuelvo caminando hacia atrás hasta el origen sin cambiar la orientación de la flecha. cuando llego al origen me encuentro con una flecha que marca en el sentido saliente hacia el dibujo. La orientación de la flecha (en rojo) ha cambiado. Antes apuntaba hacia arriba, ahora en dirección saliente.

Esta es la idea que yo tenia sobre el transporte paralelo, pero al ver la siguiente imagen en la wikipedia en el que la orientación de las flechas da un resultado distinto partiendo de un mismo punto de vista, sospecho que estoy equivocado, ya que en esta figura las la orientación de las flechas en uno de los tramos no es perpendicular la la superficie de la esfera (al contrario de lo que yo he supuesto en el ejemplo del periplo del hoplita con su flecha).

Por otra parte, para terminar, no tengo una idea muy clara de como y porque se aplica la derivada covariante en este caso, y creo que esto es fundamental en la comprensión de la relatividad.

Saludos y gracias.

[Weip]

Buenas. El transporte paralelo que haces sobre la circunferencia está medio mal porque te pones dentro como si fuera un disco y giras la flecha a conveniencia. No te interesa meterte en cosas con borde para entender este tema. En cambio si haces el transporte por la longitud de la circunferencia como toca, podrás entender mejor el transporte paralelo.

En todo caso entiendo que la pregunta es qué diferencia los siguientes transportes paralelos (si no es esto dime):

https://en.wikipedia.org/wiki/File:C..._transport.gif
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_transport.gif

Estos gifs se pueden encontrar en este link: https://en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_connection. La diferencia entre los dos transportes paralelos es la manera en la que estás midiendo distancias y ángulos. Esto es, estás en la circunferencia, pero con dos métricas distintas.

Tienes que pensar que derivadas covariantes hay las que quieras, pero hay una única derivada covariante que preserva la métrica (y que cumple una condición más de simetría pero que por ahora no nos importa mucho). Esa derivada covariante se llama conexión de Levi-Civita. Las conexiones indican cómo cambian los vectores al ser transportados al igual que las derivadas normales y corrientes indican cómo cambian las funciones $f(x)$ al cambiar $x$. De ésta manera la conexión de Levi-Civita define un transporte paralelo.

Ahora claro, si tienes la circunferencia con dos métricas distintas, tendrás dos conexiones de Levi-Civita, una para cada circunferencia. Y esto significa dos transportes paralelos distintos. Pero no pasa nada, simplemente esto es resultado de que usas dos criterios distintos para medir ángulos y distancias. Si miras el link de la wikipedia, verás que las métricas usadas en los gifs son, en coordenadas polares, $ds^2=dr^2+r^2 d \theta^2$ y $ds^2=dr^2+d \theta^2$, respectivamente.

sospecho que estoy equivocado, ya que en esta figura las la orientación de las flechas en uno de los tramos no es perpendicular la la superficie de la esfera (al contrario de lo que yo he supuesto en el ejemplo del periplo del hoplita con su flecha.

Pero fíjate que la flecha ha de ser tangente a la esfera, no perpendicular (normal sería la palabra). El transporte paralelo de la wikipedia es legal.

Espero haberte ayudado.

PD: Si quieres hacer el transporte paralelo original bien hecho, fíjate que solo puedes trasladar la flecha, nunca la podrás rotar de ninguna forma. Así que al volver al punto inicial tendrás tu flecha igual que cuando salió de viaje. Verás más adelante que esto indica que el disco es plano. Pero bueno por ahora olvídate de cosas con borde, esto hazlo en el plano.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta, pero hay cosas que aún no entiendo.

....PD: Si quieres hacer el transporte paralelo original bien hecho, fíjate que solo puedes trasladar la flecha, nunca la podrás rotar de ninguna forma. Así que al volver al punto inicial tendrás tu flecha igual que cuando salió de viaje. Verás más adelante que esto indica que el disco es plano. Pero bueno por ahora olvídate de cosas con borde, esto hazlo en el plano.

Pero ¿y en una circunferencia?

Aquí me equivoque, quería decir esfera, es decir, una superficie sin borde. Imaginaba un hoplita que porta una flecha, con la punta apuntando hacia adelante (en su sistema de referencia), desde el ecuador hasta el norte, después en el norte empieza a caminar de lado hasta el ecuador y vuelve al punto de partida ahora caminando hacia atrás sin cambiar la orientación de la flecha en ningún caso. El no habrá rotado la flecha en ningún caso, pero la orientación de la flecha en el sistema de referencia de la tierra habrá variado de Norte a Este.

Bien, supongamos un flujo de neutrinos que atraviesa la tierra, por ejemplo en dirección Sur Norte cuya trayectoria no se ve modificada por la masa de la tierra. Nuestro Hoplita (que también tiene un detector de neutrinos) cuando está en la primera posición verá que los neutrinos le atraviesan desde la espalda, cuando está en el polo norte le atraviesan desde los pues a la cabeza y cuando está de regreso al origen le atraviesan desde la derecha. Para un observador en el espacio que estuviera en reposo con el centro de la tierra pero que no girara con el los neutrinos siempre siguen una trayectoria paralela, es el conjunto hoplita-flecha el que se curva, ya que aún sin saberlo se mueve sobre una superficie curva.

Esto me parece obvio, pero no se si por aquí voy por buen camino para entender el transporte paralelo.

Saludos y gracias.

[Weip]

Hola de nuevo inakigarber. Estoy de acuerdo con lo que has dicho y entiendo que estás describiendo la imagen del transporte paralelo en la esfera de tu primer mensaje. Únicamente decir que estás transportando paralelamente el vector correspondiente a la vista del hoplita, y lo puedes considerar tangente a la superficie de la Tierra, en ningún tramo este vector es perpendicular a la superficie.

[inakigarber]

Buenas noches;

Intrigado sobre el tema encontré hace unos días los siguientes enlaces;
https://youtu.be/Zsw0jocNYbA
https://youtu.be/vtGekOjTrZw
https://youtu.be/u4xDlmZuP3k
De momento solo he visualizado los dos primeros.
El segundo vídeo nos hace una simulación de como sería el transporte paralelo de un vector sobre un meridiano de una circunferencia (a partir del minuto 41 aproximadamente), supongo que aún necesitaré repasar más veces el vídeo para entender la mecánica del asunto pues hay algo que no consigo comprender, el vector transportado paralelamente cuando llega al mismo punto tras dar una vuelta completa apunta en dirección contraria. Bien, aquí es donde viene mi duda, yo había pensado que el vector transportado paralelamente permanecía invariante, es decir que mantenía el mismo módulo y la misma dirección, pero parece que aquí también debo estar equivocado, de manera que tengo la sensación de volver a estar dando palos de ciego. De momento continuaré con el tercer vídeo de la serie, me gustaría tener una explicación sobre este intrigante tema.

Saludos y gracias.

[inakigarber]

Buenas noches;

Hace algunos meses abrí el siguiente hilo, sobre el transporte paralelo. El tema no me quedó suficientemente claro y los viejos fantasmas han vuelto a resurgir, de manera que vuelvo a plantear dudas. En aquel hilo imaginaba un Hoplita que recorre la tierra desde A (en el ecuador) hacia el norte N. Al llegar al norte desciende sin cambiar la orientación de la flecha hasta otro punto B (también en el ecuador) retrocediendo luego siguiendo la línea del ecuador hasta A. Me encontraba con que la flecha que inicialmente marcaba hacia el norte, ahora regresa al mismo lugar marcando hacia el este. Al parecer mi planteamiento era erróneo.

El esquema que suelo encontrar sobre el transporte paralelo es este que obtengo de la Wikipedia y que por tanto considero debe de ser correcto, pero no acabo de entenderlo.



Bien, los tramos A N y N B no presentan ningún problema. En ambos tramos la dirección en que apunta la flecha es tangente a la superficie de la empresa, pero en el tramo de vuelta no es así, a medida que vamos acercándonos a A la flecha del vector va metiéndose dentro de la superficie de la esfera. Volviendo al hoplita, mientras viaja por las geodésicas AN y NB la punta de su flecha apuntaría siempre al horizonte, pero a medida que va desplazándose desde B hasta A debería observar que la flecha va apartándose más y más de la línea del horizonte. Desde su punto de vista la flecha no recorrería una trayectoria paralela.

Bien, creo que aún me queda darle algunas vueltas al tema para entenderlo. ¿Qué debo hacer?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Buenas noches;

Hace algunos meses abrí el siguiente hilo, sobre el transporte paralelo. El tema no me quedó suficientemente claro y los viejos fantasmas han vuelto a resurgir, de manera que vuelvo a plantear dudas. En aquel hilo imaginaba un Hoplita que recorre la tierra desde A (en el ecuador) hacia el norte N. Al llegar al norte desciende sin cambiar la orientación de la flecha hasta otro punto B (también en el ecuador) retrocediendo luego siguiendo la línea del ecuador hasta A. Me encontraba con que la flecha que inicialmente marcaba hacia el norte, ahora regresa al mismo lugar marcando hacia el este. Al parecer mi planteamiento era erróneo.

Yo entiendo que lo que escribes es correcto.

si el vector es tangente con dirección y sentido hacia el norte, al llegar al norte , apunta hacia el este, al descender hacia b , sigue apuntando hacia el este, y al ir de B a A , sigue apuntando al este, y es tangente a la esfera en todo, punto, al llegar a A , la diferencia entre la llegada y la salida son 90° con el vector perteneciente al mismo plano tangente.

El esquema que suelo encontrar sobre el transporte paralelo es este que obtengo de la Wikipedia y que por tanto considero debe de ser correcto, pero no acabo de entenderlo. {"alt":"Haz clic en la imagen para ampliarNombre:\tTransporte paralelo.gifVitas:\t0Tama\u00f1o:\t39,4 KBID:\t355319","data-align":"center","data-attachmentid":"355319","data-size":"small","title":"Transporte paralelo.gif"}

en el gráfico el vector no es tangente a la partida y no lo es a la allegada, para la proyección sobre el plano tangente , de los dos vectores, esta desplazada los mismos 90 °

Bien, los tramos A N y N B no presentan ningún problema. En ambos tramos la dirección en que apunta la flecha es tangente a la superficie de la empresa, pero en el tramo de vuelta no es así, a medida que vamos acercándonos a A la flecha del vector va metiéndose dentro de la superficie de la esfera. Volviendo al hoplita, mientras viaja por las geodésicas AN y NB la punta de su flecha apuntaría siempre al horizonte, pero a medida que va desplazándose desde B hasta A debería observar que la flecha va apartándose más y más de la línea del horizonte. Desde su punto de vista la flecha no recorrería una trayectoria paralela.

no apunta al horizonte, si era tangente a la superficie de la esfera seguirá siendo tangente a la superficie de la esfera,

practica con un globo y un bolígrafo, quizá te sea mas fácil identificar el error.

[Alriga]

Kaixo Iñaki, mira a ver si con este dibujo en el que miramos la esfera desde la vertical del ecuador lo entiendes mejor. La circunferencia es el meridiano de Greenwich, la recta horizontal roja es la circunferencia del ecuador vista de perfil y a recta vertical roja es la circunferencia del meridiano de longitud 90º este, el que pasa aproximadamente por Daca, la capital de Bengladesh, (también visto de perfil)

Iniciamos el recorrido en el punto del océano Atlántico en donde el meridiano de Greenwich corta al ecuador (longitud 0 y latitud cero) con un vector tangente a la esfera que apunta al norte. Nos vamos desplazando con el vector siempre tangente a la esfera y paralelo a si mismo, (siempre apuntando al norte) hasta llegar al polo Norte (N en el dibujo) son los vectores 1, 2, 3 y 4.

Allí empezamos a desplazarnos por el meridiano de longitud 90º hacia el ecuador manteniendo el vector paralelo a si mismo (y tangente a la esfera), son los vectores 4, 5, 6, 7 y 8 que es el punto del ecuador de longitud 90º y latitud 0º situado en el océano Índico.

Finalmente nos desplazamos por el ecuador hacia el oeste con el vector tangente a la esfera y paralelo a si mismo, (en este último tramo es siempre paralelo al ecuador) hasta regresar al punto de partida, son los vectores 8, 9 y 10. El vector final 10 forma un ángulo de 90º con el vector inicial 1 aunque en el desplazamiento se haya mantenido siempre el vector paralelo a si mismo.

Si tienes un globo terráqueo, intenta realizar el recorrido usando como vector un lápiz, que has de mantener siempre tangente a la esfera.

Saludos.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta, pero creo que aún ando un poco despistado.

..
Si tienes un globo terráqueo, intenta realizar el recorrido usando como vector un lápiz, que has de mantener siempre tangente a la esfera.

Saludos.

Desde mi perspectiva los vectores 8, 9 y 10 parecen no ser tangentes a la esfera ya parecen apuntar, sobre todo el 10, hacia el centro de la esfera. Eso me tiene un tanto despistado.

[Alriga]

.. los vectores 8, 9 ... parecen no ser tangentes a la esfera ...

Sí, 8 y 9 son tangentes a la esfera

.. los vectores .. 10 parecen no ser tangentes a la esfera ya [que] parece apuntar, ... el 10, hacia el centro de la esfera...

Ahí tienes razón el 10 está mal dibujado, realmente sale perpendicularmente de la pantalla apuntando la flecha nuestros ojos.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Desde mi perspectiva los vectores 8, 9 y 10 parecen no ser tangentes a la esfera ya parecen apuntar, sobre todo el 10, hacia el centro de la esfera.

Complementando lo explicado por Alriga, si se observa la esfera desde el sur, 8, 9 y 10 se ven como el 4, 3 y 1 de la figura.

[inakigarber]

Sí, 8 y 9 son tangentes a la esfera



Ahí tienes razón el 10 está mal dibujado, realmente sale perpendicularmente de la pantalla apuntando la flecha nuestros ojos.



Saludos.

Entonces, la figura que aparece en la voz "Parallel transport" en la Wikipedia, y que vuelvo a anexar a continuación debe estar equivocada, o al menos induce a error;

Ya que el vector en su recorrido entre B y A se "mete" dentro de la circunferencia y no es tangente a esta, o no lo parece.

[Weip]

Aunque ya se ha dicho anteriormente, yo recomiendo fuertemente coger una pelota o un globo terráqueo como se habló, un lápiz o un bolígrafo e intentar hacer el transporte paralelo físicamente. Porque así es imposible que el lápiz entre en la pelota y estará forzado a ser tangente todo el rato.

[inakigarber]

Complementando lo explicado por Alriga, si se observa la esfera desde el sur, 8, 9 y 10 se ven como el 4, 3 y 1 de la figura.

En cada periplo del hoplita observaríamos que la flecha se desvía un cuarto de circunferencia (en este ejemplo), primero apunta hacia el norte, después hacia el Este (donde estamos nosotros), en un próximo periplo apuntaría hacia el Sur, después hacia el Oeste, para volver de nuevo al norte.

[Richard R Richard]

Correctísimo., en 4 periplos vuelves a observar que el vector original y el final coinciden en modulo, dirección y sentido

[Richard R Richard]

Ahora Iñaki, logras visualizar que no importa donde apunte el vector inicial, tu puedes obtener en cada punto del desplazamiento el plano tangentes a la superficie y en base a él puedes transportar el vector sin variar el ángulo respecto a ese plano tangente, luego de cuatro ciclos también volverá a coincidir en modulo dirección y sentido.

Para que varíe su módulo entiendo se necesita transportarlo por ejemplo por la superficie de una elipsoide, en vez de una esfera con radio constante.

PD el ángulo que el vector rota en un ciclo es proporcional al área encerrada por la trayectoria, la curvatura total en una esfera el $4\pi$ , en el ejemplo clásico se usa una superficie equivalente a 1/8 de la superficie de la esfera, por lo que el ángulo rotado es

$\alpha=4\pi\dfrac{S}{4\pi R^2}<br />$

si $S=\frac 18 (4\pi R^2)$

entonces

$\alpha =\pi/2$

fíjate que si encierras 1/4 de superficie yendo hacia el norte y continuas recto de nuevo al ecuador y regresas por la línea del ecuador, el vector habrá regresado rotado en $\pi$ en el primer ciclo. correspondiéndose con lo dicho, el ángulo rotado es proporcional al área encerrada.

y que pasados los $2\pi$ o media superficie de la esfera , hay que ser sutil para entender cual es el área encerrada , si al este o al oeste del ángulo de salida, por eso se puede encerrar hasta $4\pi$ de ángulo de rotación,

Ejemplo desarrollar todo un meridano, ejemplo el de 0° te hará retornar con el vector a la misma posición luego de una vuelta pues con media superficie encerrada ya tienes acumulados $2\pi$ de rotación que justamente coincide con el ángulo inicial, cualquiera haya sido.

Segundo PD , el ángulo en que retorna rotado es independiente de la forma de la trayectoria escogida, tres trazos "rectos", una curva, rectas y curvas, reitero es indistinto, el transporte paralelo terminara rotado en un ángulo proporcional al área encerrada, y a la curvatura total de la superficie(en este caso la esfera).