Sobre el transporte paralelo y el recorrido de una flecha sobre una superficie.

[Weip]

Hola de nuevo inakigarber. Estoy de acuerdo con lo que has dicho y entiendo que estás describiendo la imagen del transporte paralelo en la esfera de tu primer mensaje. Únicamente decir que estás transportando paralelamente el vector correspondiente a la vista del hoplita, y lo puedes considerar tangente a la superficie de la Tierra, en ningún tramo este vector es perpendicular a la superficie.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta, pero hay cosas que aún no entiendo.

....PD: Si quieres hacer el transporte paralelo original bien hecho, fíjate que solo puedes trasladar la flecha, nunca la podrás rotar de ninguna forma. Así que al volver al punto inicial tendrás tu flecha igual que cuando salió de viaje. Verás más adelante que esto indica que el disco es plano. Pero bueno por ahora olvídate de cosas con borde, esto hazlo en el plano.

Pero ¿y en una circunferencia?

Aquí me equivoque, quería decir esfera, es decir, una superficie sin borde. Imaginaba un hoplita que porta una flecha, con la punta apuntando hacia adelante (en su sistema de referencia), desde el ecuador hasta el norte, después en el norte empieza a caminar de lado hasta el ecuador y vuelve al punto de partida ahora caminando hacia atrás sin cambiar la orientación de la flecha en ningún caso. El no habrá rotado la flecha en ningún caso, pero la orientación de la flecha en el sistema de referencia de la tierra habrá variado de Norte a Este.

Bien, supongamos un flujo de neutrinos que atraviesa la tierra, por ejemplo en dirección Sur Norte cuya trayectoria no se ve modificada por la masa de la tierra. Nuestro Hoplita (que también tiene un detector de neutrinos) cuando está en la primera posición verá que los neutrinos le atraviesan desde la espalda, cuando está en el polo norte le atraviesan desde los pues a la cabeza y cuando está de regreso al origen le atraviesan desde la derecha. Para un observador en el espacio que estuviera en reposo con el centro de la tierra pero que no girara con el los neutrinos siempre siguen una trayectoria paralela, es el conjunto hoplita-flecha el que se curva, ya que aún sin saberlo se mueve sobre una superficie curva.

Esto me parece obvio, pero no se si por aquí voy por buen camino para entender el transporte paralelo.

Saludos y gracias.

[Weip]

Buenas. El transporte paralelo que haces sobre la circunferencia está medio mal porque te pones dentro como si fuera un disco y giras la flecha a conveniencia. No te interesa meterte en cosas con borde para entender este tema. En cambio si haces el transporte por la longitud de la circunferencia como toca, podrás entender mejor el transporte paralelo.

En todo caso entiendo que la pregunta es qué diferencia los siguientes transportes paralelos (si no es esto dime):

https://en.wikipedia.org/wiki/File:C..._transport.gif
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_transport.gif

Estos gifs se pueden encontrar en este link: https://en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_connection. La diferencia entre los dos transportes paralelos es la manera en la que estás midiendo distancias y ángulos. Esto es, estás en la circunferencia, pero con dos métricas distintas.

Tienes que pensar que derivadas covariantes hay las que quieras, pero hay una única derivada covariante que preserva la métrica (y que cumple una condición más de simetría pero que por ahora no nos importa mucho). Esa derivada covariante se llama conexión de Levi-Civita. Las conexiones indican cómo cambian los vectores al ser transportados al igual que las derivadas normales y corrientes indican cómo cambian las funciones $f(x)$ al cambiar $x$. De ésta manera la conexión de Levi-Civita define un transporte paralelo.

Ahora claro, si tienes la circunferencia con dos métricas distintas, tendrás dos conexiones de Levi-Civita, una para cada circunferencia. Y esto significa dos transportes paralelos distintos. Pero no pasa nada, simplemente esto es resultado de que usas dos criterios distintos para medir ángulos y distancias. Si miras el link de la wikipedia, verás que las métricas usadas en los gifs son, en coordenadas polares, $ds^2=dr^2+r^2 d \theta^2$ y $ds^2=dr^2+d \theta^2$, respectivamente.

sospecho que estoy equivocado, ya que en esta figura las la orientación de las flechas en uno de los tramos no es perpendicular la la superficie de la esfera (al contrario de lo que yo he supuesto en el ejemplo del periplo del hoplita con su flecha.

Pero fíjate que la flecha ha de ser tangente a la esfera, no perpendicular (normal sería la palabra). El transporte paralelo de la wikipedia es legal.

Espero haberte ayudado.

PD: Si quieres hacer el transporte paralelo original bien hecho, fíjate que solo puedes trasladar la flecha, nunca la podrás rotar de ninguna forma. Así que al volver al punto inicial tendrás tu flecha igual que cuando salió de viaje. Verás más adelante que esto indica que el disco es plano. Pero bueno por ahora olvídate de cosas con borde, esto hazlo en el plano.

[inakigarber]

Buenos días;

Leyendo distintas publicaciones sobre Relatividad General me encuentro siempre (o casi) con el concepto de transporte paralelo, sobre el que tengo una idea, pero no se si muy clara. Vámos a empezar por lo que tengo claro. En un plano euclídeo, puedo trasladar un vector paralelamente sobre cualquier parte del plano de tal manera que siempre apunten en la misma dirección.

Pero ¿y en una circunferencia?
Supongamos que soy un Hoplita griego que porta una flecha siempre horizontal. Es decir, en un plano que siempre es horizontal y que la flecha apunta hacia adelante. Salgo de paseo desde (1) situado en el ecuador hacia el norte (2). Una vez en el norte empiezo a caminar (de lado) sin cambiar la orientación de la flecha hasta llegar al ecuador de nuevo (3) en el centro de la circunferencia, aquí vuelvo caminando hacia atrás hasta el origen sin cambiar la orientación de la flecha. cuando llego al origen me encuentro con una flecha que marca en el sentido saliente hacia el dibujo. La orientación de la flecha (en rojo) ha cambiado. Antes apuntaba hacia arriba, ahora en dirección saliente.

Esta es la idea que yo tenia sobre el transporte paralelo, pero al ver la siguiente imagen en la wikipedia en el que la orientación de las flechas da un resultado distinto partiendo de un mismo punto de vista, sospecho que estoy equivocado, ya que en esta figura las la orientación de las flechas en uno de los tramos no es perpendicular la la superficie de la esfera (al contrario de lo que yo he supuesto en el ejemplo del periplo del hoplita con su flecha).

Por otra parte, para terminar, no tengo una idea muy clara de como y porque se aplica la derivada covariante en este caso, y creo que esto es fundamental en la comprensión de la relatividad.

Saludos y gracias.