Dimensiones compactas

[gaudius]

Si. Si ya veo que la metrica dice eso. Pero no recuerdo haber leido, ni visto ni oido algo asi. De ahi mi pregunta.
¿Una gran inflacion punto a punto en un universo infinito?
¿De un universo infinito a otro universo infinito 10^x veces mayor?
¿Y que pasa con la energia?
Saludos.

[Jaime Rudas]

Si. Si ya veo que la metrica dice eso. Pero no recuerdo haber leido, ni visto ni oido algo asi. De ahi mi pregunta.

¿Qué es exactamente lo que no habías leído?

¿Una gran inflacion punto a punto en un universo infinito?
¿De un universo infinito a otro universo infinito 10^x veces mayor?

En realidad, no: como lo dije antes, si el universo es infinito, lo es desde el inicio y lo será por siempre. Ni más grande, ni más pequeño.
Para entender esto, quizás quepa recordar que la expansión del universo no tiene tanto que ver con el crecimiento del universo, como con el crecimiento de las distancias. O sea, el factor de escala nos dice cómo crecen las distancias, no cómo crece el universo.

¿Y que pasa con la energia?

Qué pasa con la energía.

[gaudius]

Ok. Gracias. Estoy hablando de infinitos y esto no es buena idea.
Saludos.

[Jaime Rudas]

Esto seria la metrica de un plano en coordenadas cartesianas, con dos dimensiones extensas para k=0.
Seria la metrica de un plano 'hiperbolico' en coordenadas cartesianas, con dos dimensiones extensas para k<0.
Seria la metrica de un plano 'esferico' en coordenadas cartesianas, con dos dimensiones 'compactas' para k>0.

Creo importante anotar que el hecho de que la curvatura sea negativa o nula no nos garantiza que el espacio no sea compacto, porque, aunque la métrica describe las características locales del espacio, no nos dice nada sobre las características topológicas globales del mismo como, creo, lo insinúan Carroza y Weip, aquí:

El carácter compacto o no compacto de una dimensión no depende de sus propiedades locales, es decir, no depende del valor de las derivadas.

Lo sorprendente acerca de $T^2$ es que a pesar de ser compacto, y bueno, ser un toro, ¡puedes meterle una métrica plana!

Lo anterior significa que, aunque la métrica sea plana (o negativa) su topología puede ser compacta. Curiosamente, el mismísimo Alexandr Fridman, en el último párrafo de su icónico artículo de 1924 Sobre la posibilidad de un universo con un espacio de curvatura negativa constante, concluía:

Esta formulación sobre la coincidencia y no coincidencia de puntos nos lleva a concluir que los espacios con curvatura positiva constante son finitos, sin embargo, este criterio no es suficiente para sacar conclusiones sobre la finitud de los espacios de curvatura negativa constante. En nuestra opinión, esto nos permite afirmar que las ecuaciones cosmológicas de Einstein por sí solas (sin presupuestos adicionales) no son suficientes para sacar conclusiones sobre la finitud de nuestro universo.

Con algo más de detalle, lo explican Misner, Thorne y Wheeler en la página 725 de su monumental Gavitación:

No unicidad de la topología
Aunque las condiciones de homogeneidad e isotropía determinan completamente las propiedades geométricas locales de una hipersuperficie de homogeneidad para cada factor k, nos deja indeterminada la topología global de la hipersuperficie. La elección de topología que hemos venido utilizando es la más sencilla, pero son posibles otras opciones.
Esta indefinición se puede ver en su forma más sencilla cuando la hipersuperficie es plana (k = 0) y establecemos la métrica espaciotemporal total en coordenadas cartesianas así:

$ds ^ 2 = -dt ^ 2 + a ^ 2 (t) (dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ (16)$

Luego tomamos un cubo de lado coordenado L

0 <x <L,
0 <y <L,
0 <z <L,

e identificamos las caras opuestas (proceso similar a enrollar una hoja de papel en un tubo y pegar sus bordes; véanse los tres últimos párrafos de 11.5 para una descripción detallada). La geometría resultante sigue estando descrita por el elemento de línea 16, pero ahora las tres coordenadas espaciales son 'cíclicas', como la coordenada $\phi$ de un sistema de coordenadas esférico donde:

(t, x, y, z) es el mismo evento que (t, x + L, y + L, z + L)

La hipersuperficie homogénea es ahora un 3-toro de volumen finito

$V = a ^ 3L ^ 3$

[Alriga]

Lo que explica Jaime Rudas en el post#34 es correcto, también lo dice Steven Weinberg en su libro de Cosmología:

Los espacios con curvatura K = 0 (plano) ó K = -1 (hiperbólico) suelen considerarse infinitos, pero hay otras posibilidades. También es posible tener espacios finitos con la misma geometría local, construidos imponiendo condiciones adecuadas de periodicidad.

A continuación dice:

Si miramos lo suficientemente lejos, deberíamos ver los mismos patrones de distribución de la materia y la radiación en direcciones opuestas. No hay indicios de ello en la distribución observada de las galaxias ni en las fluctuaciones del fondo cósmico de microondas.

Y continua:

No consideraremos estas posibilidades, porque parecen estar mal motivadas. Al imponer condiciones de periodicidad renunciamos a la simetría rotacional (aunque no traslacional) que condujo a la métrica de Robertson-Walker en primer lugar, de manera que parece haber pocas razones para imponer estas condiciones de periodicidad, limitando al mismo tiempo la geometría del espacio tiempo local a la descrita por la métrica de Robertson-Walker.

Lo que yo interpreto de estos párrafos del libro de Weinberg es que, ya que no hay observaciones a favor de la periodicidad y la periodicidad es una hipótesis adicional no necesaria en el modelo, la aplicación de la Navaja de Ockham nos debería llevar a la conclusión de que, con los conocimientos actuales, la hipótesis más simple para geometría plana o hiperbólica es la de universo infinito.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Lo que yo interpreto de estos párrafos del libro de Weinberg es que, ya que no hay observaciones a favor de la periodicidad y la periodicidad es una hipótesis adicional no necesaria en el modelo, la aplicación de la Navaja de Ockham nos debería llevar a la conclusión de que, con los conocimientos actuales, la hipótesis más simple para geometría plana o hiperbólica es la de universo infinito.

Estoy de acuerdo con esto, sin embargo, considero importante tener en cuenta que no se trata de una restricción física, sino de una ausencia total de evidencia de que sea así. O sea, ante la ausencia total de evidencias de que la topología del universo sea complicada, es muy razonable suponer que su topología es simple; pero teniendo en cuenta que, a futuro, eso podría cambiar. Sería análogo a la geometría: mientras no tengamos evidencias de que el espacio sea curvo, es razonable considerarlo plano, pero siempre teniendo en cuenta que pueden aparecer esas evidencias.

Al imponer condiciones de periodicidad renunciamos a la simetría rotacional (aunque no traslacional) que condujo a la métrica de Robertson-Walker en primer lugar, de manera que parece haber pocas razones para imponer estas condiciones de periodicidad, limitando al mismo tiempo la geometría del espacio tiempo local a la descrita por la métrica de Robertson-Walker.

Esto de la falta simetría rotacional me hace recordar una duda que tengo desde que oí hablar por primera vez sobre espacio plano compacto: ¿es isótropo el 3-toro plano?
La duda surge de que, en el ejemplo que puse en el mensaje #34, los ciclos se repiten cada L distancias en la dirección paralela a los lados del cubo, mientras que, en la dirección de la diagonal del cubo, se repiten cada $\sqrt 3L$

[gaudius]

Ok. Gracias. (No conocia las referencias de Alriga y Jaime Rudas).
Ya hemos visto en algunos mensajes anteriores que la metrica no determina siempre la Topologia de un objeto. Y tambien hemos visto que un intervalo finito no implica una dimension compacta pero un intervalo infinito si implica una dimension extensa.

Podriamos analizar solo 2 posibilidades al Universo total:

Tipo 1:
Objeto: Universo Total homogeneo e isotropo infinito.
Topologia: 3 dimensiones extensas.
Sistema de coordenadas: Cartesianas centrado en el observador.
Metrica: La FLRW en 'x,y,z' con k<0 o k=0.

Tipo 2:
Objeto: Universo Total homogeneo e isotropo finito.
Topologia: 3 dimensiones compactas.
Sistema de coordenadas: Cartesianas centrado en el observador.
Metrica: La FLRW en 'x,y,z' con k>0.

En estos casos la metrica:

$\dst{^{(3)}g_{uv}=a^2 \begin{bmatrix}\frac{1-k(y^2+z^2)}{1-k(x^2+y^2+z^2)} &\frac{kxy}{1-k(x^2+y^2+z^2)} &\frac{kxz}{1-k(x^2+y^2+z^2)} \\ \frac{kxy}{1-k(x^2+y^2+z^2)} &\frac{1-k(x^2+z^2)}{1-k(x^2+y^2+z^2)} &\frac{kyz}{1-k(x^2+y^2+z^2)} \\\frac{kxz}{1-k(x^2+y^2+z^2)} &\frac{kyz}{1-k(x^2+y^2+z^2)} &\frac{1-k(x^2+y^2)}{1-k(x^2+y^2+z^2)} \end{bmatrix}}$

Si refleja la Topologia con 3 coordenadas infinitas o finitas en funcion de 'k'.

Para mi, es un tanto dificil de entender como una Gran Inflacion afecta a un Universo de Tipo 1 de forma sincronica pero si es facil entender una Gran Inflacion sincrona en un Universo del Tipo 2 porque el objeto es muy pequeño en el BigBang y porque la energia total en los tipo 1 deberia ser infinita, entre otras cosas.

Otra cosa seria si hablasemos del universo local, es decir, el universo dentro del horizonte de particulas, porque entonces si tendriamos un BigBang local, compacto, con geometria esferica, plana o hiperbolica y con una extension maxima en el horizonte de sucesos (creo que el maximo estaria en torno a 65000 Mal, para nuestros parametros de densidad). Y habria finitos o infinitos universos locales parcialmente superpuestos o desconectados independientes dentro de un Universo Total. (El 3D-Brana del 9D-Bulk espacial de la teoria de cuerdas).

Espero no haber metido mucho la pata.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Podriamos analizar solo 2 posibilidades al Universo total:

Tipo 1:
Objeto: Universo Total homogeneo e isotropo infinito.
[...]
Para mi, es un tanto dificil de entender como una Gran Inflacion afecta a un Universo de Tipo 1 de forma sincronica [...] porque la energia total en los tipo 1 deberia ser infinita, entre otras cosas.

Ten en cuenta que si un universo infinito es homogéneo y tiene energía, esta necesariamente es infinita.

[Alriga]

...Lo que yo interpreto de estos párrafos del libro de Weinberg es que, ya que no hay observaciones a favor de la periodicidad y la periodicidad es una hipótesis adicional no necesaria en el modelo, la aplicación de la Navaja de Ockham nos debería llevar a la conclusión de que, con los conocimientos actuales, la hipótesis más simple para geometría plana o hiperbólica es la de universo infinito.

Estoy de acuerdo con esto, sin embargo, considero importante tener en cuenta que no se trata de una restricción física, sino de una ausencia total de evidencia de que sea así. O sea, ante la ausencia total de evidencias de que la topología del universo sea complicada, es muy razonable suponer que su topología es simple; pero teniendo en cuenta que, a futuro, eso podría cambiar...

OK Jaime de acuerdo, pero te hago esta reflexión, imagina que cada vez que alguien diga que las ecuaciones de campo de la Relatividad General con las condiciones de homogeneidad e isotropía conducen a un universo en expansión o contracción regido por las Ecuaciones de Friedman yo le dijese por ejemplo algo así como,

"...bueno sí pero no necesariamente, solo puedes deducir esas ecuaciones si consideras que la constante de gravitación universal y la velocidad de la luz han sido constantes desde el inicio del universo y eso no es una restricción física, solo ausencia de evidencia de que realmente hayan variado en tiempos cosmológicos por eso se elige lo más simple, que sean constantes en el tiempo, pero a futuro, eso podría cambiar"

"...bueno sí pero no necesariamente, solo puedes deducir esas ecuaciones si consideras ciertas les ecuaciones de campo de Einstein que se basan en que que la masa inercial es siempre igual a la masa pesante, solo ante la ausencia de evidencia de que no lo sean se elige lo más simple, que lo sean, pero a futuro, eso podría cambiar, se están realizando experimentos para comprobarlo"

"...etc"

Al imponer condiciones de periodicidad renunciamos a la simetría rotacional (aunque no traslacional) que condujo a la métrica de Robertson-Walker en primer lugar, de manera que parece haber pocas razones para imponer estas condiciones de periodicidad, limitando al mismo tiempo la geometría del espacio tiempo local a la descrita por la métrica de Robertson-Walker.

Esto de la falta de simetría rotacional me hace recordar una duda que tengo desde que oí hablar por primera vez sobre espacio plano compacto: ¿es isótropo el 3-toro plano?
La duda surge de que, en el ejemplo que puse en el mensaje #34, los ciclos se repiten cada L distancias en la dirección paralela a los lados del cubo, mientras que, en la dirección de la diagonal del cubo, se repiten cada $\sqrt 3L$

El 3-toro plano no es globalmente isótropo, de ahí la afirmación de Weinberg. Ya se ve la no-isotropía global de forma evidente en el 2-toro plano:

Las direcciones "1" y "2" son privilegiadas respecto de la dirección "3" puesto que las geodésicas "1" y "2" permiten darle la vuelta a ese universo volviendo al punto de partida, recorriendo menos distancia que siguiendo la geodésica "3"

Entiendo que una visualización similar del 3-toro plano sería un cubo en el que las tres direcciones "privilegiadas" sería las paralelas a las aristas.

Saludos.

[Jaime Rudas]

OK Jaime de acuerdo, pero te hago esta reflexión, imagina que cada vez que alguien diga que las ecuaciones de campo de la Relatividad General con las condiciones de homogeneidad e isotropía conducen a un universo en expansión o contracción regido por las Ecuaciones de Friedman yo le dijese por ejemplo algo así como,

"...bueno sí pero no necesariamente, solo puedes deducir esas ecuaciones si consideras que la constante de gravitación universal y la velocidad de la luz han sido constantes desde el inicio del universo y eso no es una restricción física, solo ausencia de evidencia de que realmente hayan variado en tiempos cosmológicos por eso se elige lo más simple, que sean constantes en el tiempo, pero a futuro, eso podría cambiar"

"...bueno sí pero no necesariamente, solo puedes deducir esas ecuaciones si consideras ciertas les ecuaciones de campo de Einstein que se basan en que que la masa inercial es siempre igual a la masa pesante, solo ante la ausencia de evidencia de que no lo sean se elige lo más simple, que lo sean, pero a futuro, eso podría cambiar, se están realizando experimentos para comprobarlo"

"...etc"

Sí, es análogo a lo que planteo en el sentido de que siempre es bueno recordar que la constancia de la velocidad de la luz y el principio de equivalencia son, en realidad, supuestos en los que se basa la teoría y no verdades absolutas. La razón por la que, como bien lo anotas, se continúan haciendo experimentos de comprobación de estos principios es porque no se descarta la posibilidad de que sean correctos solo hasta determinado límite, lo cual acotaría la aplicación de la teoría.

Por otra parte, tu analogía es diferente a lo que yo planteo en el sentido de que la constancia de la velocidad de la luz y el principio de equivalencia son principios básicos de la teoría de la relatividad, mientras que la compacidad del espacio no lo es del modelo cosmológico estándar.

El 3-toro plano no es globalmente isótropo, de ahí la afirmación de Weinberg.

Sí, esa cita de Weinberg me hizo caer en cuenta de que, aunque localmente se puede aplicar la métrica de FLRW, globalmente no es isótropo.

[carroza]

Sí, es análogo a lo que planteo en el sentido de que siempre es bueno recordar que la constancia de la velocidad de la luz y el principio de equivalencia son, en realidad, supuestos en los que se basa la teoría y no verdades absolutas. La razón por la que, como bien lo anotas, se continúan haciendo experimentos de comprobación de estos principios es porque no se descarta la posibilidad de que sean correctos solo hasta determinado límite, lo cual acotaría la aplicación de la teoría.

Hola. Yo quizás objetaría a lo de la constancia de la velocidad de la luz no es una verdad absoluta. c, segun la IUPAP, es una constante, que podemos fijar arbitrariamente, y eso nos daría el valor del metro en función de la del segundo. De hecho, en física fundamental se suele usar $c = \hbar = 1$.

No puedo imaginarme un experimento que mida la no-constancia de la velocidad de la luz, ya que los valores de nuestras escalas de distancia están definidos a partir de la constancia de la velocidad de la luz.

Podría imaginarme experimentos que midieran la variación de la constante de estructura fina, que es adimensional, partiendo de la cosntancia de la velocidad de la luz. Hacer lo contrario me parece algo arbitrario, ya que requeriría tener escalas absulutas e independientes de distancias y tiempos.

Saludos

[Alriga]

Hola. Yo quizás objetaría a lo de la constancia de la velocidad de la luz no es una verdad absoluta. c, segun la IUPAP, es una constante, que podemos fijar arbitrariamente, y eso nos daría el valor del metro en función de la del segundo. De hecho, en física fundamental se suele usar $c = \hbar = 1$.

No puedo imaginarme un experimento que mida la no-constancia de la velocidad de la luz, ya que los valores de nuestras escalas de distancia están definidos a partir de la constancia de la velocidad de la luz.

Podría imaginarme experimentos que midieran la variación de la constante de estructura fina, que es adimensional, partiendo de la cosntancia de la velocidad de la luz. Hacer lo contrario me parece algo arbitrario, ya que requeriría tener escalas absulutas e independientes de distancias y tiempos.

Hay físicos que explotan la hipótesis de la variación de la velocidad de la luz a lo largo del tiempo cósmico para "explicar" (según ellos) determinados aspectos de la evolución del universo, ejemplos:

Time varying speed of light as a solution to cosmological puzzles

The critical geometry of a thermal big bang

Superluminary Universe: A Possible Solution to the Initial Value Problem in Cosmology

Saludos.

[carroza]

Hola. Entiendo que los papers que citas son más bien "fringe" en cosmología. No obstante, si crees que puede ser util discutir esto en el foro, sugeriría que abrieras un hilo, para no sobrecargar este. Mi premisa sería que cualquier cosa que puedas explicar en una teoría con c(t) dependiente del tiempo, lo puedes explicar con una teoria con c constante, sin más que definir una nueva variable de tiempo T tal que c dT = c(t) dt.

[Alriga]

Hola, mira por ejemplo
Los últimos análisis del Fondo Cósmico de Microondas refuerzan la hipótesis de Isotropía del Universo
La teoría de la velocidad de la luz variable como alternativa a la inflación
Saludos.

[carroza]

Ok, Alriga. Veo que no hay nada nuevo desde lo que discutimos hace cuatro años. Saludos y gracias.

[gaudius]

Si estais planteando la variacion de 'c' y/o 'g', en función del tiempo, podriais desarrollar la ecuacion de Einstein, y a ver que pasa.
Habria que tener en cuenta que en la metrica FLRW y con 'k' diferente de 0, la velocidad radial comovil aparente, 'c' es funcion de 'k' y de 'r'. Y para dimensiones muy compactas, esta variacion es muy importante.
Por otra parte, las transformaciones de Lorentz solo seria una aproximacion local.
Disculpas por entrometerme en un tema que desconozco.
Saludos.

[Alriga]

Si estais planteando la variación de 'c' y/o 'G', en función del tiempo, podríais desarrollar la ecuación de Einstein, y a ver que pasa ...

Hola gaudius , observa que hay un intento de ello aquí: Ecuación de estado en la Metrica FLRW con velocidad de la luz variable

Saludos.

[Jaime Rudas]

Hola. Yo quizás objetaría a lo de la constancia de la velocidad de la luz no es una verdad absoluta. c, segun la IUPAP, es una constante, que podemos fijar arbitrariamente, y eso nos daría el valor del metro en función de la del segundo. De hecho, en física fundamental se suele usar $c = \hbar = 1$.

No sé, a mí me parece que es más bien al contrario. O sea, no es que la IUPAP haya, de buenas a primeras, decidido que la velocidad de la luz sea constante, sino que, dado que la teoría física que mejor se ajusta a la realidad asume que la velocidad de la luz es constante y que, además, no ha habido experimento físico que contradiga este principio, halló razonable utilizar esta velocidad como patrón de medida. Un indicio de que esto es así es el hecho de que el principio de la constancia de la velocidad de la luz es de 1905, mientras que el establecimiento de esta velocidad como patrón de medida es de 1983.