Divulgación Comprensión de la gravedad

[Aerodyn]

Hola,

Soy una persona con nociones muy básicas de física y matemáticas (nivel ingeniería) pero con mucha curiosidad por la relatividad general. Me gustaría haceros unas preguntas conceptuales que llevo tiempo intentando comprender, pero que debido a mi desconocimiento no logro tratar de confirmar

Tengo entendido que, un sistema de referencia ligado a un objeto en caída libre, es un sistema de referencia inercial, y se mueve por una misma geodésica:

• ¿Esto es lo equivalente en mecánica newtoniana a un movimiento rectilíneo uniforme en un espacio plano?

Si yo, sobre la superficie de la tierra observo que ese objeto en caída libre se acelera, y puedo afirmar que el está en un sistema de referencia inercial:

• ¿Puedo entonces afirmar que yo me estoy acelerando en la dirección radial desde el centro de la tierra?
• ¿Es esa aceleración que siento lo que llamo gravedad? (Como si estuviera en mitad del espacio en una nave que se acelera a 9.8 m/s^2)
• ¿Esa aceleración nos la proporciona la superficie de la Tierra cuando estamos sobre ella? (Por ejemplo, cuando saltamos no la sentimos)
• ¿Cómo consecuencia de esta aceleración, me muevo por líneas geodésicas que no son la misma cada unidad de tiempo? (Es decir, cambio de geodésica todo el rato)

Si observo que la superficie de la Tierra no tiene movimiento relativo respecto a mí:

• ¿Puedo afirmar que la superficie de la tierra también se está acelerando?
• ¿Si la superficie de la Tierra, que es una esfera aproximadamente, también tiene una aceleración en la dirección radial, por qué motivo observo que el radio de la Tierra se mantiene constante?

Os agradezco mucho cualquier aclaración sobre este asunto. Soy consciente de que es muy difícil explicar algunas cosas sin recurrir a las herramientas matemáticas complejas que se han desarrollado para sacar esta teoría, pero debido a mi nivel os agradecería que me lo pudieseis explicar con peras y manzanas!!

Muchas gracias de antemano

Saludos,

[Richard R Richard]

Hola Aerodyn Bienvenido al foro!!!! como nuevo miembro te será útil leer consejos para recibir ayuda de forma efectiva y Consejos de conducta

también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes.

Esto es lo equivalente en mecánica newtoniana a un movimiento rectilíneo uniforme en un espacio plano?

En un espacio plano la recta es la geodésica, puedes decir que la geodésica es la curva mas "recta" del espacio curvo , pues no hay curvas entre dos puntos que tengan distancia mas corta.

Si yo, sobre la superficie de la tierra observo que ese objeto en caída libre se acelera, y puedo afirmar que el está en un sistema de referencia inercial:

No, en ese caso el que esta en un SRnI es el observador, el objeto sigue siempre una geodésica, luego un marco de referencia solidario a ese objeto es un SRI.

¿Puedo entonces afirmar que yo me estoy acelerando en la dirección radial desde el centro de la tierra?

La superficie de la tierra , hace fuerza sobre tí y te acelera, respecto de una geodésica que tendrías si te dejas caer libremente.

¿Es esa aceleración que siento lo que llamo gravedad? (Como si estuviera en mitad del espacio en una nave que se acelera a 9.8 m/s^2)

Exacto eso es lo que afirma el principio de equivalencia muy escuetamente explicado.

¿Esa aceleración nos la proporciona la superficie de la Tierra cuando estamos sobre ella? (Por ejemplo, cuando saltamos no la sentimos)

Claro, una vez que despegas los pies del piso con el salto, estas siguiendo una geodésica, por lo tanto no puedes sentir aceleración alguna.

¿Cómo consecuencia de esta aceleración, me muevo por líneas geodésicas que no son la misma cada unidad de tiempo? (Es decir, cambio de geodésica todo el rato)

Mientras estas en cada libre , sigues una única geodésica, cuando tocas superficie, tú trayectoria se altera y no sigue ninguna geodésica(o puedes suponer que cuando la superficie deje se hacer fuerza sobre ti ,seguirás la geodésica del espaciotriempo para ese momento y posición).

Si observo que la superficie de la Tierra no tiene movimiento relativo respecto a mí:
¿Puedo afirmar que la superficie de la tierra también se está acelerando?

Claro, por cada molécula de la superficie que intenta caer, hay otra del otro lado de la tierra que hace lo mismo, la interacción electromagnética, entre todas las moléculas en medio hace fuerza para que cada una acelere respecto del espacio tiempo, luego el piso nos parece estático, porque hay fuerzas que se oponen a que caiga sobre si mimo y nosotros con él.

¿Si la superficie de la Tierra, que es una esfera aproximadamente, también tiene una aceleración en la dirección radial, por qué motivo observo que el radio de la Tierra se mantiene constante?

La mayoría de los planetas y objetos celestes de grandes dimensiones, tienen forma casi esférica, debido a la constancia de la aceleración, ya que todos parten de la acumulación de masa por colisiones, creando una superficie fluida de magma, las pequeñas diferencias se deben a la rotación respecto del eje norte sur, por conservación de momento angular de todas lo cuerpos que colisionaron previamente (fuerza centrípeta para SRI o centrifuga para SRnIs).
La combinación del equilibrio hidrostático y un espacio crudo, dota a las masas de un volumen esférico.

Espero te sirva para que arribes a tener mejor comprensión del tema.

[Aerodyn]

Muchas gracias por la bienvenida, por los consejos iniciales y especialmente por la explicación Richard R Richard!

Me has ayudado mucho a entender algunos conceptos que me hacen dudar.

Respecto al último de los puntos me queda la duda de, si la superficie de la tierra está acelerada en la dirección radial "hacia fuera", (y con ella, yo también por eso noto mi peso) ¿Por qué es un error suponer que su radio está aumentando también de forma acelerada? Tiendo a imaginarme la superficie acelerada como si fuera un globo hinchándose en el que la superficie se aleja del centro aceleradamente, aumentando su volumen, sin embargo lo que yo observo es que el radio de la tierra se mantiene constante (suponiendo que fuera una esfera perfecta)

No tengo mucha idea de las matemáticas que describen la relatividad general pero, ¿Hay alguna forma simple de entenderlo?

Una vez más muchas gracias de verdad

Saludos

Aerodyn

[teclado]

Respecto al último de los puntos me queda la duda de, si la superficie de la tierra está acelerada en la dirección radial "hacia fuera", (y con ella, yo también por eso noto mi peso) ¿Por qué es un error suponer que su radio está aumentando también de forma acelerada? Tiendo a imaginarme la superficie acelerada como si fuera un globo hinchándose en el que la superficie se aleja del centro aceleradamente, aumentando su volumen, sin embargo lo que yo observo es que el radio de la tierra se mantiene constante (suponiendo que fuera una esfera perfecta)

No tengo mucha idea de las matemáticas que describen la relatividad general pero, ¿Hay alguna forma simple de entenderlo?

Hola Aerodyn,

Vaya por delante que yo tampoco alcanzo a entender las ecuaciones de la relatividad general, ni tampoco las he estudiado. Pero esta es una pregunta que me hago a menudo y espero nutrirme de las respuestas a este hilo. El caso es que la aceleración que tienes, desde tu punto de vista es 0, igual que si estuvieras en un ascensor, sentirías la aceleración, pero como tu marco de referencia se mueve contigo,

$\dst a'=\frac{\dd^2 r'}{\dd t'^2} = 0$

(Siendo las variables primadas las que mides dentro de tu marco de referencia). La aceleración que sientes es la que tienes respecto a una geodésica, en este caso un cuerpo en caída libre que se encuentre en tu posición en el instante en que te encuentres. Ahora bien, uno puede imaginarse un punto en la geodésica (en caída libre) con aceleración prácticamente nula si está suficientemente lejos de la Tierra. Visto desde este punto puedes calcular la velocidad que tienes:

$\dst \frac{\dd r}{\dd t}=\frac{\partial r}{\partial t'}\frac{\dd t'}{\dd t} + \frac{\partial r}{\partial r'}\frac{\dd r'}{\dd t}$

Donde he reducido el problema a una dimensión que es el radio. El punto en el que se mide esta velocidad estará en el infinito, y en la dirección que te une al centro de la Tierra. No lo voy a poner, ni a hacer porque es demasiado largo y porque tampoco creo que sea la forma correcta de justificar esto, pero volviendo a derivar $\frac{\dd}{\dd t}\frac{\dd r}{\dd t}$, se vuelve a expandir la expresión quedando 8 términos de productos de derivadas primeras y segundas. Esto es debido al cambio de coordenadas (como sabes, r' y t' dependen de r y de t, ambas de ambas). Esto da una idea de que hay muchos términos implicados, y estoy seguro de que entre ellos debe haber cancelaciones que lleven a que $\dst \frac{\dd^2 r}{\dd t^2}=0$, y por lo tanto a que desde un punto lejano se te continúe viendo quieto.

Saludos.

[Richard R Richard]

Aclaro que no me ha quedado lo bien redactado,que pensé podía expresar.

Respecto al último de los puntos me queda la duda de, si la superficie de la tierra está acelerada en la dirección radial "hacia fuera", (y con ella, yo también por eso noto mi peso)

Respecto de un observador en un SRI en ese espacio curvo la aceleracion de la superficie se vera radial y hacia afuera ,si es que no tenia velocidad inicial tangencial o lo que es lo mismo componente de velocidad en un plano perpendicular a la dirección radial

¿Por qué es un error suponer que su radio está aumentando también de forma acelerada? Tiendo a imaginarme la superficie acelerada como si fuera un globo hinchándose en el que la superficie se aleja del centro aceleradamente, aumentando su volumen, sin embargo lo que yo observo es que el radio de la tierra se mantiene constante (suponiendo que fuera una esfera perfecta)

Creo que la respuesta es que si mides la distancia desde la superficie al centro de la tierra (el origen de ese espaciotiempo) veras que es constante en el tiempo.
En los espaciotiempos curvos como el de Schwarzchild, la componente temporal del intervalo(distancia entre sucesos) no es nula, eso hace que cualquier particula en reposo con el origen del SR, es dejada en caída libre ,con tiempo propio no nulo se desplace en el espacio radialmente, para cualquier otro observador. Para mantener esa posición entonces es necesaria una fuerza ,la reacción del piso , o peso aparente.
Estoy tratando de contestar sin entrar en ecuaciones que son un tanto difíciles y aún jugando mucho tiempo con ellas es difícil darse cuenta que implica cada término.
En mecánica clásica el peso aparente es la fuerza reacción del piso que tengamos. Si el piso acelera nuestro peso aparente varía, en relatividad el peso aparente es la fuerza necesaria con la que se pretende que el cuerpo no siga una trayectoria geodesica, para esa posición, tiempo y velocidad del cuerpo respecto de la masa que curva el espacio, en ese sistema de referencia.

[Aerodyn]

Muchas gracias por las respuestas, teclado y Richard R Richard,

Esto es debido al cambio de coordenadas (como sabes, r' y t' dependen de r y de t, ambas de ambas). Esto da una idea de que hay muchos términos implicados, y estoy seguro de que entre ellos debe haber cancelaciones que lleven a que $\dst \frac{\dd^2 r}{\dd t^2}=0$, y por lo tanto a que desde un punto lejano se te continúe viendo quieto.

Saludos.

Teclado, me ha gustado mucho este planteamiento, ¿Por casualidad sabes donde puedo encontrar el desarrollo completo? ¿Quizá algún libro o página web que recomiendes? No me ha quedado claro si es cosecha propia o es un planteamiento conocido.

Es muy curioso, que como cada observador mide su espacio y su tiempo en su sistema de referencia, como consecuencia de los cambios de coordenadas espaciales y temporales, puede llegarse a dar el caso de que $\dst \frac{\dd^2 r'}{\dd t'^2} \neq 0$ mientras que $\dst \frac{\dd^2 r}{\dd t^2} = 0$ (o viceversa dependiendo de cuales sean las variables primadas). Esto cuadraría con el hecho de que sintamos aceleración radial, pero "La tierra no se expanda aceleradamente"

En los espaciotiempos curvos como el de Schwarzchild, la componente temporal del intervalo(distancia entre sucesos) no es nula, eso hace que cualquier particula en reposo con el origen del SR, es dejada en caída libre ,con tiempo propio no nulo se desplace en el espacio radialmente, para cualquier otro observador. Para mantener esa posición entonces es necesaria una fuerza ,la reacción del piso , o peso aparente.

Richard R Richard, me parece muy interesante también esta respuesta. Te hago unas preguntas para asegurarme de que te he entendido bien. Sé que algunas deben ser básicas pero me encantaría poder comprenderlo:

• ¿La componente temporal de un intervalo es el tiempo entre dos sucesos?
• ¿Si dicha componente no es nula, por qué ello implica que otros observadores ven una partícula que inicialmente estaba en reposo, moverse en en caída libre radialmente?

Disculpa que intente desgranar un poco las preguntas, me encantaría entender el detalle de estos asuntos.

De cara a buscar información por ahí, ¿Qué ámbito específico dentro de la relatividad es el que analiza estos asuntos?

Adicionalmente, me ha surgido una pregunta sobre las geodésicas. Si la masa de un cuerpo no cambia, entiendo que tampoco cambiará la deformación que dicha masa provoca en el espacio-tiempo a su alrededor ¿Esto es así? De ser cierto, podemos afirmar que en el caso de un cuerpo con masa constante, ¿Las geodésicas se mantienen invariables con el tiempo? (Pudiendo entonces ser descritas únicamente a través de una ecuación que relaciona variables espaciales (por ejemplo, X, Y y Z)

Muchas gracias de antemano por vuestro soporte!

Saludos,
Aerodyn

[teclado]

Teclado, me ha gustado mucho este planteamiento, ¿Por casualidad sabes donde puedo encontrar el desarrollo completo? ¿Quizá algún libro o página web que recomiendes? No me ha quedado claro si es cosecha propia o es un planteamiento conocido.

Es muy curioso, que como cada observador mide su espacio y su tiempo en su sistema de referencia, como consecuencia de los cambios de coordenadas espaciales y temporales, puede llegarse a dar el caso de que $\dst \frac{\dd^2 r'}{\dd t'^2} \neq 0$ mientras que $\dst \frac{\dd^2 r}{\dd t^2} = 0$ (o viceversa dependiendo de cuales sean las variables primadas). Esto cuadraría con el hecho de que sintamos aceleración radial, pero "La tierra no se expanda aceleradamente"

Hola de nuevo,

Este planteamiento es una vaga aproximación que se me ocurrió en su momento como justificación de esta cuestión para mis adentros, pero como te digo, no creo que sea la mejor forma de abordar el problema. Para entenderlo bien lo mejor es que consultes la literatura sobre Relatividad General. Por ejemplo, un libro que aunque tengo en la estantería no me he conseguido leer entero por estar en inglés, y que tiene pinta de ser una buena introducción es Notes on General Relativity de Sean M. Carroll.

Saludos.

[Richard R Richard]

¿La componente temporal de un intervalo es el tiempo entre dos sucesos?

La componente temporal de la métrica del espacio tiempo que se trate...


En un espacio euclidiano $\mathbb R^3$ la componente temporal no es tenida en cuenta o bien si supones el espacio como $\mathbb R^4$ la componente de la dimension temporal es nula, luego la distancia entre dos puntos es constante, es decir no varia con el tiempo.

¿Si dicha componente no es nula, por qué ello implica que otros observadores ven una partícula que inicialmente estaba en reposo, moverse en en caída libre radialmente?

Es un poco mas avanzado poder denostarlo, pero cuando partes de la métrica del espacio tiempo para hacer el desarrollo hasta obtener las geodésicas de ese espacio curvo (Schawarzchild por ejemplo)... llegas a las curvas que seguirían las partículas para una posición y velocidad inicial dadas, se observa que las coordenadas de espaciales, quedan en función de la coordenada temporal, eso implica que cambia la posición en función del tiempo es decir el objeto se mueve respecto del origen de coordenadas, y si la velocidad es nula en todas las direcciones, (en la métrica Schawarzchild por ejemplo)..la coordenada radial igualmente queda afectada temporalmente, y en ese caso el objeto disminuye la coordenada radial hacia el origen, es decir, lo interpretaos como que cae, hacia el centro de la tierra como siempre hemos observado.

[/LIST]Disculpa que intente desgranar un poco las preguntas, me encantaría entender el detalle de estos asuntos.

De cara a buscar información por ahí, ¿Qué ámbito específico dentro de la relatividad es el que analiza estos asuntos?

Un buen libro sobre RE y RG, las matemáticas, tienes que buscar algo de geometría analítica.

Yo he aprendido bastante de un apunte que esta accesible via pdf...y mucho mas sacándome dudas aquí en el foro.

http://www.ugr.es/~bjanssen/text/Ber...dadGeneral.pdf

Adicionalmente, me ha surgido una pregunta sobre las geodésicas. Si la masa de un cuerpo no cambia, entiendo que tampoco cambiará la deformación que dicha masa provoca en el espacio-tiempo a su alrededor ¿Esto es así? De ser cierto, podemos afirmar que en el caso de un cuerpo con masa constante, ¿Las geodésicas se mantienen invariables con el tiempo? (Pudiendo entonces ser descritas únicamente a través de una ecuación que relaciona variables espaciales (por ejemplo, X, Y y Z)

Aerodyn

A ver , la geodésica de una superficie curva en un espacio tridimensional, la puedes explorar variando un parámetro y te devuelve las coordenadas de cualquier punto de la trayectoria

$\vec f(\lambda)=(x(\lambda),y(\lambda),z(\lambda))$
.
y en particular las geodésicas del espaciotiempo $\mathbb R^3_1$ que se usan en las métricas que conozco de la RG, se puede usar cualquier parámetro, pero lo utilizado, es el tiempo propio, por lo que así se va definiendo la trayectoria y la velocidad de las partículas, para un observador externo.

$\vec f(\tau)=(t(\tau),x(\tau),y(\tau),z(\tau))$

para calcular la velocidad media en una coordenada, entre dos puntos de la trayectoria

$\hat v=\dfrac{x(\tau+\delta)-x(\tau)}{t(\tau+\delta)-t(\tau)}$

y la velocidad instantánea con el limite cuando delta tiende a 0

del mismo modo se procede a calcular la aceleración respecto del centro de la tierra..

Por lo general se usan sistema de referencia en coordenadas esféricas $(t,r.\theta,\phi)$ en vez de $(t,x,y,z)$

si la partícula de prueba no afecta sensiblemente a la curvatura del espacio tiempo(masas pequeñas), siempre que lances partículas desde la misma posición, con la misma velocidad inicial, la geodésica que siguen es la misma, (todos los cuerpos (pequeños) caen con la misma aceleración) y tardan lo mismo en caer, osea hay una conservación temporal de la trayectoria, pero no se conserva la posición como ya explique.

Cuando las masas son grandes y la gravedad propia respecto de la masa principal pasa a ser relevante, entonces ya es mejor observar como evolucionan respecto de un Centro de masas conjunto, pero definitivamente, no hay soluciones para una métrica que describa la interacción de dos masas, solo se pueden realizar algoritmos y llegar a soluciones numéricas , no a métricas que sean solución exacta para las 10 ecuaciones de campo de Einstein.

Puedes mirar como modelizar esto en

https://forum.lawebdefisica.com/blog...e-schwarzchild