Problema en cálculo de la curvatura K en un espacio bidimensional con una métrica dada.

[Richard R Richard]

Hola Weip, como va, lo primero y único que quería era no crear discordia


si la métrica es $ds^2=\dst\frac{1}{x^2}dx^2+\dst\frac{1}{x^2}dy^2$

tenemos

$g_{uv}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{x^2}& 0\\ 0&\dfrac{1}{x^2}\end{pmatrix}$

$g^{uv}=\begin{pmatrix}x^2 & 0\\ 0&x^2\end{pmatrix}$

$g_{uv,u}=\begin{pmatrix}\dfrac{-2}{x^3}& 0\\ 0&\dfrac{-2}{x^3}\end{pmatrix}$

$g_{uv,v}=\begin{pmatrix}0& 0\\ 0&0\end{pmatrix}$


$g^{11}=x^2$
$g^{12}=0$

con $\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}=\dst\frac{1}{2}g^{\alpha \beta}(g_{\mu\beta,\nu}+g_{\nu\beta,\mu}-g_{\mu\nu,\beta})$

$\Gamma_{2 2}^{1}=\dst\frac{1}{2}g^{11}(g_{21,2}+g_{21,2}-g_{22,1})+\frac{1}{2}g^{12}(g_{22,2}+g_{22,2}-g_{22,2})$

$\Gamma_{2 2}^{1}=\dst\frac{1}{2}x^2(0+0-\dfrac{-2}{x^3})+\frac{1}{2}0(...+...-...) =+\dfrac{1}{x}$

Así que llevas razón , me he comido un signo, todo cambia

$\Gamma^1_{22,1}=-\dfrac{1}{x^2}$ es negativa por lo que

$\Gamma^{2}_{21}=\Gamma^{2}_{12}=-\Gamma^{1}_{22}=\Gamma^{1}_{11}=-1/x<br />$

es correcto, luego


$R_{1212}=-\dfrac{1}{x^4}$


$|g|=\dfrac{1}{x^4}$


y $K=-1$

cualquier conclusión que haya sacado no es válida

Perdón la intromisión, gracias, y disculpen la molestia.

[Weip]

Hola Weip, como va, lo primero y único que quería era no crear discordia

Tranquilo, no creas discordia. Parece mentira pero si hay algo más puñetero que cosas difíciles de física o de matemáticas son los signos menos.

Lo que sí me gustaria añadir es lo siguiente. Más allá de de los cálculos, que son importantes y por supuesto fundamentales para saber manejarnos en estos temas, es también importante ganar intuición en lo que estamos haciendo. Esta métrica pertenece al modelo del semiplano de Poincaré, que es un plano hiperbólico. Es lo contrario a una esfera en el sentido de que su curvatura es constante pero con signo menos, y cuenta con una geometría opuesta también a la geometría esférica. Por ejemplo, aquí a la derecha hay dibujado un triángulo:

Estudiar con detalle esto tampoco tendría mucho sentido porque inakigarber se desviaría de sus objetivos, pero sí es útil visualizar las cosas con ejemplos sencillos porque después habrá que hacer física en espaciotiempos curvados de 3+1 dimensiones y ahí es complicado visualizar e incluso hacer algunos cálculos como los del tensor de Riemann.

[inakigarber]

Gracias a ambos por vuestra ayuda.

El enunciado del problema era bastante enrevesado y me ha costado bastante entender lo que se pretendía buscar. Entiendo que la curvatura Gaussiana en todas las superficies bidimensionales viene dada por $K=\dfrac{R_{1212}}{|g|}$ para todas las superficies bidimensionales. En este caso nos sale un valor de $K=-1$ que correspondería a una superficie en forma de "silla de montar" en la cual las rectas paralelas se separan hasta el infinito y la suma de los ángulos de un triángulo suman menos de 180º.

¿Es así?

Saludos.

[Weip]

Entiendo que la curvatura Gaussiana en todas las superficies bidimensionales viene dada por $K=\dfrac{R_{1212}}{|g|}$ para todas las superficies bidimensionales.

Sí, y no sólo eso: este procedimiento es idéntico en cualquier dimensión para calcular el escalar de Ricci, que es el doble de la curvatura gaussiana: $R=2K$. En dimensiones más elevadas se trata con $R$ y no con $K$ (aunque contienen la misma información geométrica). De todas formas en dimensiones superiores $R$ no es la curvatura completa, sólo una parte. La idea intuitiva de curvatura la contiene el tensor de Ricci en dimensión 3 y el tensor de Riemann en dimensiones más altas.

En este caso nos sale un valor de $K=-1$ que correspondería a una superficie en forma de "silla de montar" en la cual las rectas paralelas se separan hasta el infinito y la suma de los ángulos de un triángulo suman menos de 180º.

No bien bien. La silla de montar que relatas es la imagen típica de una región o porción del plano hiperbólico metida en un espacio euclídeo de tres dimensiones pero aquí en el ejercicio tienes un modelo distinto de plano hiperbólico: el semiplano de Poincaré. El plano hiperbólico tiene el problema que no lo puedes meter entero en un espacio euclídeo de tres dimensiones por lo que al principio puede parecer difícil de visualizar. Pero existen modelos como el del ejercicio con los que hacer geometría de manera intuitiva (aunque los triángulos y las rectas son rarísimos, tal como enseñé en la imagen del mensaje anterior).

Resumiendo: Tenemos un plano hiperbólico entre manos pero la visualización que propones no es la que corresponde con el ejercicio. En todo caso lo de las rectas paralelas y ángulos interiores de triángulos es cierto sí.