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Curvatura y tamaño del universo

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  • #31
    Gracias carroza , ¿cómo cambiaría el argumento si en vez de decir:

    Escrito por carroza Ver mensaje

    ...El valor de , que mide la curvatura del universo, está entre entre 0,9988 y 1.0026, con una probabilidad del 68%. Por tanto, con esta probabilidad, tendría una desviación de la planitud de menos de 0,26 partes en 100...
    Dijésemos lo que a mí me parece más real:

    ...El valor de , que es proporcional al cuadrado de la medida de la curvatura del universo de la curvatura del círculo máximo, está entre entre -0.0012 y 0.0026, con una probabilidad del 68% Por lo tanto con esta probabilidad....

    Lo de "proporcional al cuadrado" lo digo porque si llamamos K a la curvatura del universo a la curvatura del cículo máximo de este universo, se cumple:





    O lo que es lo mismo, el radio de curvatura es





    Saludos.
    Última edición por Alriga; 06/03/2023, 09:37:30. Motivo: Correcciones
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

    Comentario


    • carroza
      carroza comentado
      Editando un comentario
      Bueno, la idea de tomar para caracterizar la curvatura en lugar de es para sacarle algún sentido a la expresión de que la desviación de la curvatura con respecto al caso plano es un 0.2 %.

      Si usamos el concepto de , que es cero en el caso plano, no hay manera de definir porcentajes.

  • #32
    Hola Alriga, solo un apunte rápido.
    Escrito por Alriga Ver mensaje
    Lo de "proporcional al cuadrado" lo digo porque si llamamos K a la curvatura del universo se cumple:



    O lo que es lo mismo, el radio de curvatura es

    Este cambio de lenguaje que propones es peligroso porque es proporcional al parámetro de curvatura que sale en la métrica FLRW. Tal cual has definido no se puede interpretar como una curvatura de ninguna forma y creo podría ser una fuente de confusión para vuestro debate. Como recordatorio, la curvatura de una esfera es y no , sé que no es exactamente lo que estáis comentando pero la idea de fondo es la misma.

    Comentario


    • #33
      Escrito por Weip Ver mensaje

      Este cambio de lenguaje que propones es peligroso porque es proporcional al parámetro de curvatura que sale en la métrica FLRW...
      Gracias por comentar Weip , tienes razón no he estado acertado al decir "si llamamos K a la curvatura del universo se cumple"

      Por otro lado puntualizar, que la "k" que sale en la expresión del enlace que adjuntas:



      Para un universo esférico es la curvatura adimensional normalizada de la métrica, que toma el valor



      Y despejando R se obtiene la expresión que hemos estado manejando en todo el hilo:



      Escrito por Weip Ver mensaje

      ...Tal cual has definido no se puede interpretar como una curvatura de ninguna forma y creo podría ser una fuente de confusión para vuestro debate...
      Entiendo que sí se puede interpretar como una curvatura, es la curvatura de la circunferencia máxima del universo 3-esférico de radio R





      De todas maneras, esta si no gusta es obviable, olvidémoslo, lo que a mi me parece importante es el resultado de los cálculos del post#24 en donde se deduce que, si partimos de que la constante de Hubble es (km/s)/Mpc y el ratio de densidad de curvatura es se obtiene:

      = 417 Gal para el radio de ese universo 3-esférico

      = 2 621 Gal para la longitud de la circunferencia máxima de ese universo 3-esférico

      = 1 433 486 966 para el volumen de ese universo 3-esférico

      Espero que esto esté bien, saludos.
      Última edición por Alriga; 06/03/2023, 12:42:35.
      "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

      Comentario


      • Weip
        Weip comentado
        Editando un comentario
        Sobre el análisis en sí coincido contigo, no he sacado la calculadora para comprobar los números pero vamos que no he participado antes en el hilo porque estoy de acuerdo con lo dicho. Aunque he podido comprobar que de estadística voy un poco mal.

    • #34
      Escrito por javisot20 Ver mensaje

      ...Saludos, para entender el hilo debo preguntar,...
      Hola javisot20 perdona, me había olvidado de ti. Resolviendo las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General con las condiciones de que todo el universo sea a gran escala homogéneo e isótropo se obtiene como solución:
      1. Que el universo todo, debe estar en expansión o contracción
      2. Y que el universo todo, debe ser geométricamente de una de estas 3 maneras
      • Hiperbólico Dos rayos de luz que parten inicialmente paralelos se irían separando al avanzar grandes distancias, como las geodésicas de un paraboloide hiperbólico. El universo hiperbólico en su topología sencilla, es infinito en tamaño.
      • Plano. Dos rayos de luz que parten inicialmente paralelos mantendrán siempre la misma separación al avanzar grandes distancias, como dos rectas paralelas en un plano. El universo plano en su topología sencilla, es infinito en tamaño.
      • Esférico. Dos rayos de luz que parten inicialmente paralelos van disminuyendo su separación al avanzar grandes distancias y finalmente se cortan, como dos meridianos que parten paralelos del ecuador, pero se cortan en el polo de una esfera. El universo esférico en su topología sencilla, es finito en tamaño.
      El parámetro es el cociente entre la densidad real del universo y una densidad llamada “crítica”. La densidad del universo solo podemos medirla dentro del universo observable, pero por la premisa de homogeneidad e isotropía, la densidad será la misma en el universo observable que en el universo completo.

      Si midiésemos la densidad del universo y nos saliese que es mayor que la crítica, por ejemplo, nos saliese sabríamos que el universo es esférico y por lo tanto finito. Entonces es lícito preguntarse ¿Cuán grande es? Y de eso va el hilo. Si miras el post#33 verás que, si esa fuese la densidad, tendría una circunferencia máxima de 2621 Giga años-luz y un volumen de 1433486966 Gal cúbicos.

      Pero como esos números tal cual son muy fríos, los comparamos con el tamaño del universo observable, es eso, una simple comparación. Como el diámetro del universo observable es 92.4 Gal, si miras el post#24 del hilo verás que lo que sale es que la circunferencia del universo completo sería 28.4 veces el diámetro del universo observable y el volumen 3470 veces el del universo observable.

      Saludos.
      Última edición por Alriga; 06/03/2023, 18:16:01.
      "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

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      • #35
        Escrito por Alriga Ver mensaje
        El volumen del universo observable es el del interior de la 2-Esfera centrada en nosotros de radio 46.2 Gal



        La relación de tamaños entre este universo 3-esférico total y el universo observable es:

        Dándole una vuelta más a la tuerca, me hacen caer en cuenta de que el volumen de una esfera de radio R en un espacio de curvatura positiva es menor que el volumen de una esfera de radio R en un espacio de curvatura nula y, dado que el radio de curvatura del universo que estamos analizando es apenas 9 veces el radio del universo observable, supongo que la diferencia debe ser apreciable. ¿Alguien sabe cómo se calcula el volumen de una esfera en un espacio curvo?

        Comentario


        • #36
          Escrito por Jaime Rudas Ver mensaje
          ¿Alguien sabe cómo se calcula el volumen de una esfera en un espacio curvo?
          Te comento para que te orientes sobre que buscar.
          Recuerdas que cuando integras en tres dimensiones en coordenadas esféricas multiplicas por un jacobiano , es decir el resultado de operar con una matriz de transformacion entre el coordenadas cartesianas y las esfericas?
          Bueno, de modo similar ese jaobiano se construye con calculos sobre la metrica del espacio tiempo, hallas el analogo al volumen cartesiano en otras coordenadas... lo he leido pocas veces para recordarlo a la primera sin buscar nada en libros,
          https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz...nte_jacobianos

          Escrito por wikipedia
          Aplicaciones de la matriz Jacobiana


          La matriz Jacobiana establece una relación entre dos sistemas de referencia (espacios vectoriales), de manera que mediante una transformación (el jacobiano o matriz jacobiana), se pueda expresar un vector de un primer sistema, a otro sistema. Algo así como un traductor de un espacio vectorial a otro.
          o mira en https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor...gulo_y_volumen
          Última edición por Richard R Richard; 06/03/2023, 17:40:20.

          Comentario


          • carroza
            carroza comentado
            Editando un comentario
            Para mi, la forma ideal de entender espacios no euclideos es admirar a Escher. Busca, por ejemplo "escher angeles y demonios", y cuenta cuantos ángeles, o demonios, caben en un "circulo" de radio dos ángeles.

        • #37
          Escrito por Alriga Ver mensaje

          , tendría una circunferencia máxima de 2621 Giga años-luz y un volumen de 1433486966 Gal cúbicos.


          Saludos.
          Perdona, ya me mareo más de la cuenta, porqué dices máxima,? no es acaso mínima? Cuando la densidad tienda a ser igual a la crítica no sería más plano el universo? ,pues más me acerco a 1 y más cuando más pequeño el error , más plano es ,
          luego si acaso no fuera plano, tendría un valor absoluto mayor al del error, por lo que el "cero" queda por fuera de las medidas posibles y se sabría con certeza que no es plano.

          Más cerca de 1 mas grande la esfera, por lo tanto el radio debería ser más grande que un mínimo... En que falla ese razonamiento?

          Los posibles juegos de los entiendo de este modo

          Pongo cuatro ejemplos anecdóticos

          Haz clic en la imagen para ampliar  Nombre:	barras.png Vitas:	0 Tamaño:	20,2 KB ID:	361802

          Para el caso A , tendríamos el 68% de probabilidades, si 0.006 representara 1 sigma, para estar dentro de la barra de la izquierda , es decir tendriamos ese grado de seguridad de estar en un universo con curvatura esférica, si seguimos una recta y olvidando adrede lo que ya sabemos sobre la expansión, llegaríamos alguna vez a vernos la nuca. La curvatura mínima (en valor absoluto) será para el extremo inferior de la barra, pero el radio mínimo estará en el extremo superior.

          Para el caso D tendríamos el 68% de probabilidades, para estar dentro de la barra de la derecha , es decir tendriamos ese grado de seguridad de estar en un universo con curvatura hiperbólica, si seguimos una recta jamás llegaríamos alguna vez a vernos la nuca sin importar la curvatura que será mínima para el extremo superior de la barra. Más curvatura más rápido divergen dos rectas paralelas.

          Para el B que podría pero no es el simil a los resultados presentados en el paper, hay más probabilidad de estar en un universo esférico que hiperbólico, puesto que la media de la curvatura es negativa, y no podemos descartar que pudiese ser plano. La curvatura mínima será para el límite acercandose al valor 0 en la escala de y allí el radio del universo tenderá a infinito en el interior de la barra, pero el radio mínimo sigue estando en el extremo superior. La barra por debajo de nos dice la probabilidad que nos queda para una posible curvatura hiperbólica.

          Para el C que es el simil a los resultados presentados en el paper, hay más probabilidad de estar en un universo hiperbólico que esférico, puesto que la media de la curvatura es positiva, y no podemos descartar que pudiese ser plano. La curvatura mínima será para el límite acercandose al valor 0 en la escala de y allí el radio del universo tenderá a infinito en el interior de la barra, pero el radio mínimo continua estando en el extremo superior.

          Es erronea mi interpretación? , reitero para mi , los datos presentados corresponden a un caso tipo C.

          Escrito por Planck Collaboration
          (68%, TT,TE,EE+lowE+lensing+BAO).

          The joint results suggests our Universe is spatially flat to a 1σ accuracy of 0.2 %
          tenemos 68% de certeza que la curvatura esferica no es mayor (en valor absoluto) a |0.0007-0.0019|=|-0.0012| con este dato sacas el radio mínimo, el máximo está dentro del rango cuando la curvatura tiende a 0.

          Saludos
          Última edición por Richard R Richard; 07/03/2023, 03:16:08.

          Comentario


          • #38
            Escrito por Alriga Ver mensaje
            = 417 Gal para el radio de ese universo 3-esférico

            = 2 621 Gal para la longitud de la circunferencia máxima de ese universo 3-esférico
            Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
            Perdona, ya me mareo más de la cuenta, porqué dices máxima,? no es acaso mínima? Cuando la densidad tienda a ser igual a la crítica no sería más plano el universo?
            [...]
            tenemos 68% de certeza que la curvatura esferica no es mayor (en valor absoluto) a |0.0007-0.0019|=|-0.0012| con este dato sacas el radio mínimo, el máximo está dentro del rango cuando la curvatura tiende a 0.
            A ver, el radio mínimo para que el universo sea 3-esférico es de 417 Gal. Ahora bien, para ese universo en particular, hay una circunferencia máxima, o sea, un 'ecuador' con una longitud de = 2 621 Gal.

            Comentario


            • Richard R Richard
              Richard R Richard comentado
              Editando un comentario
              Entiendo que apartir del cálculo de post #33 de Alriga La maxima curvatura en valor absoluto debe darnos el mínimo radio para esa circunferencia, no el máximo, si omega k tiende a cero se tiende a ser mas plano aumentando el radio, osea lo que obtienen es el mínimo radio.

          • #39
            Escrito por Jaime Rudas Ver mensaje

            A ver, el radio mínimo para que el universo sea 3-esférico es de 417 Gal. Ahora bien, para ese universo en particular, hay una circunferencia máxima, o sea, un 'ecuador' con una longitud de = 2 621 Gal.
            Correcto Jaime, es eso. Nota Richard que lo que estoy diciendo, es que si yo tengo un universo particular de densidad exactamente igual a tengo un universo que es una 3-Esfera de R=417 Gal

            En esa 3-esfera particular yo puedo trazar circunferencias, por ejemplo una circunferencia de longitud 1 metro. Otra de longitud 40000 km, otra de longitud 1 año luz, otra de longitud …

            ¿Hay algún límite al tamaño máximo de la circunferencia que yo puedo trazar en esta 3-esfera particular? Sí, el tamaño máximo es la longitud que recorre un rayo de luz que regresa al punto de partida después de dar la vuelta completa a la 3-esfera. La trayectoria circular de ese rayo de luz es una geodésica de la 3-esfera.

            Esa longitud según Weinberg es



            A esa circunferencia de longitud máxima posible en esa 3-esfera particular, se le llama circunferencia máxima.

            Es igual que en la superficie de la Tierra. Tú puedes trazar circunferencias ¿del tamaño que quieras? No, la circunferencia de longitud máxima que puedes trazar es una de 40000 km. Por ejemplo, el ecuador y los meridianos son circunferencias máximas de la Tierra. Un paralelo distinto del paralelo cero=ecuador, por ejemplo el paralelo de latitud 60º, es una circunferencia, pero no es una circunferencia máxima de la Tierra. Si la superficie de la Tierra es una 2-esfera, las circunferencias máximas son las geodésicas.

            Es únicamente en este sentido y no en otro en el que he utilizado la expresión “circunferencia máxima

            Saludos.

            PD

            Escrito por Richard R Richard Ver mensaje

            ...la curvatura esferica el ratio de densidad de curvatura no es mayor (en valor absoluto) a |0.0007-0.0019|=|-0.0012| con este dato sacas el radio mínimo, el máximo está dentro del rango cuando la curvatura tiende a 0...
            Sí, eso es lo que he dicho ya antes en el hilo:

            Escrito por Alriga Ver mensaje

            ...Puntualizo que 417 Gal no es el radio del universo si este es esférico, 417 Gal es el valor mínimo posible con los datos que manejamos. Si realmente el universo es esférico, seguramente su radio no estará en el valor mínimo posible, lo normal es que sea mayor de 417 Gal, es decir que la curvatura real será probablemente menor que la correspondiente a ese radio mínimo posible...
            Última edición por Alriga; 07/03/2023, 18:40:42. Motivo: Sintaxis
            "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

            Comentario


            • #40
              Escrito por Alriga Ver mensaje

              es que si yo tengo un universo particular de densidad exactamente igual a tengo un universo que es una 3-Esfera de R=417 Gal

              En esa 3-esfera particular yo puedo trazar circunferencias, por ejemplo una circunferencia de longitud 1 metro. Otra de longitud 40000 km, otra de longitud 1 año luz, otra de longitud …

              ¿Hay algún límite al tamaño máximo de la circunferencia que yo puedo trazar en esta 3-esfera particular? Sí, el tamaño máximo es la longitud que recorre un rayo de luz que regresa al punto de partida después de dar la vuelta completa a la 3-esfera. La trayectoria circular de ese rayo de luz es una geodésica de la 3-esfera.

              Todo esto que me dices ,no lo he debatido de modo alguno, pero tampoco es a lo que me refería, la circunferencia máxima que puedes trazar en ese espacio es la que me indicas,todo claro, nada más que decir al respecto, solo que creo no se ha comprendido la idea detrás de ese rango que propone experimento Planck.

              El mínimo radio del que te hablo es el que determina justamente ese valor de curvatura, pues cuando tienes la máxima curvatura esférica, tienes el mínimo radio por ser una relación inversamente proporcional, todo hace pensar que si el error en la medida comienza a reducirse a futuro, incluso manteniendo el valor central, el radio necesario del universo crece , osea que hoy no tienes es un máximo , sino el minimo radio de universo y para ese universo de radio mínimo tu le calculaste la circunferencia de máximo radio que puede ser inscrita y lo sacas de los datos actuales.

              Tienes que notar dentro de ese rango de medidas es posible tener a futuro el valor el mismo valor central 0.0007, pero si los instrumentos mejoran y son mas precisos al medir, se tiene una incertidumbre menor , o un error menor , como por ejemplo con en vez de achicas la barra del rango medidas y lo que obtienes es un universo mas plano, pues y tienes un universo exactamente un diámetro 4 veces mas grande, 4 veces el largo de circunferencia y 64 veces mas volumen. Por eso digo que es el mínimo radio que puede tener y aun pertenecer a la barra, con una curvatura mayor estas fuera de la barra, el máximo radio esta en el valor central de curvatura 0, que pertenece a la barra. Si los datos de hoy son coherentes con los de mañana y el valor de curvatura 0 continua dentro del rango seguiremos sin poder confirmar con cierto grado de seguridad que tipo de curvatura tiene el universo.

              Reitero con 0.0012 es un valor extremo del rango donde el universo es lo más pequeño posible y a ese universo tu le calculaste la máxima circunferencia que puedes inscribir en él. Pero cuanto mas se acerque el valor central a 0 y la incertidumbre tienda a 0 , tanto mas grande es el radio del universo, es la misma situación que por analogía se puede aplicar a la masa medida del fotón, si tiene un valor que se acerca a 0, que esta dentro del rango de la barra, mas precisa hacemos la medida, mas pequeño el error, menor la masa limite que tiene el el fotón pretendemos llegue a cero, y en analogía de razonamiento tenemos menor curvatura, y a menor curvatura mayor radio.

              Espero haberme aclarado.

              Pd es la densidad de curvatura pero es la curvatura geométrica del espacio.... los valores centrados en 1 son los que refieren al dato del ratio de densidades, pero los centrados en 0 son los referidos a la geometria <0 esferica, 0 plana y >0 hiperbólica, los valores presentados por la Colaboración Planck son centrados en 0 es decir una medida de no del ratio de densidades.
              Última edición por Richard R Richard; 07/03/2023, 23:33:10. Motivo: Ortografía, mejorar la redaccion

              Comentario


              • #41
                Escrito por Jaime Rudas Ver mensaje

                Dándole una vuelta más a la tuerca, me hacen caer en cuenta de que el volumen de una esfera de radio R en un espacio de curvatura positiva es menor que el volumen de una esfera de radio R en un espacio de curvatura nula y, dado que el radio de curvatura del universo que estamos analizando es apenas 9 veces el radio del universo observable, supongo que la diferencia debe ser apreciable. ¿Alguien sabe cómo se calcula el volumen de una esfera en un espacio curvo?
                No sé demostrar matemáticamente la expresión para el cálculo exacto, pero intuyo que quizás una aproximación válida para ángulos “” pequeños (ver dibujo) tal vez podría ser:


                Haz clic en la imagen para ampliar  Nombre:	radio 2-esfera en 3-esfera 08-03-2023.png Vitas:	7 Tamaño:	7,0 KB ID:	361817

                es el radio del universo 3-esférico

                es el diámetro del universo observable

                es el “radio equivalente” para el cálculo del volumen de la 2-esfera







                Con los números del hilo:

                Gal

                Gal



                Gal





                Con los números de este caso, el error relativo en el cálculo del volumen que se comete si usamos en vez de es muy pequeño:



                Saludos.
                Última edición por Alriga; 08/03/2023, 16:34:34.
                "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

                Comentario


                • #42
                  Escrito por Alriga Ver mensaje
                  No sé demostrar matemáticamente la expresión para el cálculo exacto, pero intuyo que quizás una aproximación válida para ángulos “” pequeños (ver dibujo) tal vez podría ser:
                  Yo estaba pensando en algo parecido, pero en dos dimensiones, o sea, equiparando el área de un casquete con el área de una circunferencia equivalente, y tu idea del radio equivalente me dio la clave para redondear el cálculo:

                  Haz clic en la imagen para ampliar  Nombre:	Casquete.JPG Vitas:	0 Tamaño:	20,2 KB ID:	361820

                  - radio de universo observable (46,2 Gal)

                  - radio del universo 3-esférico (417 Gal)

                  - área del casquete

                  - radio que tendría una circunferencia con un área equivalente











                  De esto yo intuyo que si calculando en una dimensión nos da 46,106 y calculando en dos dimensiones nos da 46,176, cuando calculemos en la tres dimensiones nos dará todavía más cerca a 46,2, o sea, con una diferencia muy por debajo del margen de error de .
                  Última edición por Jaime Rudas; 08/03/2023, 16:53:26. Motivo: Corregí error en la última fórmula

                  Comentario


                  • #43
                    Escrito por Jaime Rudas Ver mensaje

                    ...De esto yo intuyo que si calculando en una dimensión nos da 46,106 y calculando en dos dimensiones nos da 46,176, cuando calculemos en la tres dimensiones nos dará todavía más cerca a 46,2, o sea, con una diferencia muy por debajo del margen de error de .
                    Gal

                    Gal

                    Del hilo Volumen de una esfera en geometría no euclídea nos sale que el volumen correcto es:



                    El "radio equivalente" para este volumen es:

                    Gal

                    Un valor que está comprendido entre los dos anteriores.

                    Saludos.
                    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

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