¿Es la Relatividad Especial compatible con un Universo cerrado o compacto?

[Richard R Richard]

Cuando he visto tu expresión (19) enseguida me ha chirriado algo.

No era el resultado que esperaba obtuvieras por culpa del término cruzado con el $2\omega \sin\phi d\phi dt$ que me sobraba. Había algo mal que estaba introduciendo ese término adicional y, tras revisar el resto de tu desarrollo, creo que he encontrado tu error. El problema está aquí:

ya que un movimiento de rotación debe afectar a al menos dos coordenadas, en este caso la x y la y. Si estás suponiendo un movimiento circular y tienes un $d\phi$ que afecta al dx, ese mismo $d\phi$ debe afectar al dy. Al hacerlo, la métrica que obtendrás será distinta a la tuya.

Hola, habrás visto que escribí que había posteado la misma respuesta previamente, pero la borré, y de hecho fue un error también borrarla totalmente, ya que 1 minuto o menos después me dí cuenta de que no era un error y ese error que pensé que había cometido era justamente el que tu me indicas, que el movimiento debía afectar a dos coordenadas...perdí 1hora al teclado, pero no, no es cierto, piénsalo más tranquilo, fijate que el hecho de "rotar" es asumir la experiencia de un observador en el que en sus inmediaciones todo es estático, pero que todo el resto del universo le pasa a velocidad -v por delante, pero de dónde viene este pensamiento, es la contrapartida a pensar de ir en la con velocidad v en una única dirección en un universo que es curvo, no hay una combinación de direcciones, el observador se mueve a velocidad v respecto de uno estático solo en dirección X (la que elegimos arbitrariamente), por lo que cuando te pones en la piel de ese observador móvil, el universo se mueve solo en la dirección X a velocidad -v.

Es difícil para nosotros con la mente siempre pensando en 3d plano, asimilar que no es una traslación normal puesto que podemos repetir la coordenada y por ello le llamamos "giro". Entonces quedémonos tranquilos es una traslación sobre la superficie de la hiperesfera 4d en una sola dirección y sentido, no una combinación de dos direcciones. El ejemplo de esto en 2d embebida en el 3d es que tu puedes girar por el ecuador recorriendo la superficie de la tierra(esfera) y volver al mismo punto sin nunca haber transitado por un meridiano. El radio de giro está en una dirección que no pertenece a ese espacio superficial.

Volviendo al universo que analizamos y suponiendo le asignamos las tres direcciones principales y sus dos sentidos (como en el nuestro), entonces en cualquier dirección y sentido que tome B siendo $\vec v$ cualquier combinación de ellos siempre volverás al punto de partida luego de haber recorrido $2\pi R$ y aunque R tenga unidades de longitud y lo consideremos un vector, su dirección no pertenece al espacio 3d esta justamente en la cuarta dimensión ortogonal de la hiperesfera.

Me ha encantado que hayas hecho tu análisis porque, independientemente del error, no sabía si ese camino que has tomado era una opción viable que yo pudiera usar. Pero ahora que veo que lo has usado, y parafraseándo un comentario tuyo a javisot20, igual tú mismo te estás metiendo en la ratonera por ese camino ;-) Y si no es así, me valdrá para preguntar y entender varias dudas que tenía con esta parte.

Así que bueno , que así va bien, no hay tal error, pero te aliento a que sigas adelante, los gráficos que tú has hecho, a duras penas los comprendo después de mucho intentarlo y no me atrevo a hacer uno que represente este espacio aún con la métrica ya resuelta, quizá por falta de experiencia...y si allí te da que c es o no es constante, veremos así quién lleva razón.

Saludos

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

Hola, habrás visto que escribí que había posteado la misma respuesta previamente, pero la borré, y de hecho fue un error también borrarla totalmente, ya que 1 minuto o menos después me dí cuenta de que no era un error y ese error que pensé que había cometido era justamente el que tu me indicas, que el movimiento debía afectar a dos coordenadas...perdí 1hora al teclado, pero no, no es cierto, piénsalo más tranquilo, fijate que el hecho de "rotar" es asumir la experiencia de un observador en el que en sus inmediaciones todo es estático, pero que todo el resto del universo le pasa a velocidad -v por delante, pero de dónde viene este pensamiento, es la contrapartida a pensar de ir en la con velocidad v en una única dirección en un universo que es curvo, no hay una combinación de direcciones, el observador se mueve a velocidad v respecto de uno estático solo en dirección X (la que elegimos arbitrariamente), por lo que cuando te pones en la piel de ese observador móvil, el universo se mueve solo en la dirección X a velocidad -v.

Es difícil para nosotros con la mente siempre pensando en 3d plano, asimilar que no es una traslación normal puesto que podemos repetir la coordenada y por ello le llamamos "giro". Entonces quedémonos tranquilos es una traslación sobre la superficie de la hiperesfera 4d en una sola dirección y sentido, no una combinación de dos direcciones. El ejemplo de esto en 2d embebida en el 3d es que tu puedes girar por el ecuador recorriendo la superficie de la tierra(esfera) y volver al mismo punto sin nunca haber transitado por un meridiano. El radio de giro está en una dirección que no pertenece a ese espacio superficial.

Volviendo al universo que analizamos y suponiendo le asignamos las tres direcciones principales y sus dos sentidos (como en el nuestro), entonces en cualquier dirección y sentido que tome B siendo $\vec v$ cualquier combinación de ellos siempre volverás al punto de partida luego de haber recorrido $2\pi R$ y aunque R tenga unidades de longitud y lo consideremos un vector, su dirección no pertenece al espacio 3d esta justamente en la cuarta dimensión ortogonal de la hiperesfera.



Así que bueno , que así va bien, no hay tal error, pero te aliento a que sigas adelante, los gráficos que tú has hecho, a duras penas los comprendo después de mucho intentarlo y no me atrevo a hacer uno que represente este espacio aún con la métrica ya resuelta, quizá por falta de experiencia...y si allí te da que c es o no es constante, veremos así quién lleva razón.

Saludos

Es cierto lo que comentas de que es difícil abstraer un movimiento de la hiperesfera 4D a nuestro mundo 3D. Pero por suerte, las ecuaciones y los modelos matemáticos nos ayudan a conseguirlo, pero para ello dicho modelo debe ser correcto. Y, una vez llegado a un resultado, debemos de ser capaces de preguntarnos si la respuesta que hemos obtenido con nuestro modelo tiene sentido. Y este es el paso que, creo, te ha faltado, quizás porque el resultado que obtienes encaja perfectamente con la solución que esperabas. Ojo, claro, que también se me puede aplicar a mí el argumento contrario ;-)

Vale, intentaré darte varias razones o argumentos para intentar demostrarte o convencerte de que tu deducción tiene un error.

Primero, defines las coordenadas x, y, z usando las coordenadas esféricas normales:

$$x =\sin\theta\cos\phi$$

$$y =\sin\theta\sin\phi$$

$$z =\cos\theta$$

y cuando calculas el dx de la forma:

$$dx=\cos\theta\cos\phi d\theta-\sin\theta\sin\phi d\phi$$

olvidas que si la coordenada x cambia por un cambio en $\phi$ vas a tener automáticamente un dy que valdrá:

$$dy=\cos\theta\sin\phi d\theta+\sin\theta\cos\phi d\phi$$

Por otra parte, haces el cambio de variable:

$$x=x'-\omega t$$

que creo, como comentaba, se corresponde con un movimiento lineal, no con una rotación. En mi opinión, el cambio de variable correcto que deberías haber usado es:

$$\phi=\phi'-\omega t$$

Con ese cambio de variable y operando nuevamente deberías llegar a una métrica con la forma:

$$\boxed{ds^2=-(c^2-\omega^2R^2)dt^2+R^2[ d\phi^2-2\omega d\phi dt] }$$

que era la que yo esperaba hubieras obtenido y que, aunque mantiene un término cruzado $d\phi \cdot dt$ como indicaba carroza (una lástima, por cierto, que no vuelva a participar en el hilo) ya no contiene el $\sin\phi$

¿Y cual es el problema con ese término $\sin\phi$? Pues en tu ecuación final (21) se puede ver más fácilmente:

$$\boxed {ds^2=-\dfrac{c^2}{\gamma^2}dt^2+dX^2+2v \sin\left(\dfrac{v}{R}t\right) dX dt }$$

Si te fijas, has obtenido una métrica que depende del tiempo t, no del dt como es lo esperable, sino del valor de t. Es decir, llegas a una métrica no estática (no sé si es ese el nombre técnico). ¿Y qué significa eso? Que el observador en movimiento obtendrá valores distintos de ella en función del paso del tiempo, lo que creo es algo sin sentido físico para este universo.

Espero que las razones anteriores te ayuden a ver tu error y que, al final, ambos lleguemos al consenso de que la métrica correcta sería de la forma

$$\boxed{ds^2=-(c^2-\omega^2R^2)dt^2+R^2[ d\phi^2-2\omega d\phi dt] }$$

para, a partir de ella, continuar el análisis del problema.

Gracias por tu tiempo, y saludos.

Gabriel

[Richard R Richard]

Hola Richard R Richard:

Vale, intentaré darte varias razones o argumentos para intentar demostrarte o convencerte de que tu deducción tiene un error.

Primero, defines las coordenadas x, y, z usando las coordenadas esféricas normales:

$$x =\sin\theta\cos\phi$$

$$y =\sin\theta\sin\phi$$

$$z =\cos\theta$$

y cuando calculas el dx de la forma:

$$dx=\cos\theta\cos\phi d\theta-\sin\theta\sin\phi d\phi$$

olvidas que si la coordenada x cambia por un cambio en $\phi$ vas a tener automáticamente un dy que valdrá:

$$dy=\cos\theta\sin\phi d\theta+\sin\theta\cos\phi d\phi$$

No JGabrielRE NO estamos describiendo una circunferencia en $\mathbb R^3$ estamos escribiendo una trayectoria rectilínea , luego por la curvatura del espacio, esa "recta"(geodesia) se cierra y repite coordenada, por eso decirnos que gira.

Reitero es una traslación, no pierdas de vista que es el observador B quien esta moviéndose con velocidad v constante tal cual un MRU en la direccion X del espacio $\mathbb R^4$ , de modo que si cursara paralelo a Y también regresaría lo mismo por el Punto A, idéntico también para Z, y lo más difícil de ver es que si cursa por W , el radio de giro tiene componente en alguna o en todas de las X,Y,Z pero tambien regresa por A.


Por ello es cierto que

Por otra parte, haces el cambio de variable:

$$x=x'-\omega t$$

que creo, como comentaba, se corresponde con un movimiento lineal, no con una rotación. En mi opinión, el cambio de variable correcto que deberías haber usado es:

$$\phi=\phi'-\omega t$$

No, porque eso equivale a girar en 3D , donde la trayectoria queda en una superficie plana de $\mathbb R^2$ y no en 4D donde la superficie es $\mathbb R^3$

No es lo mismo la circunferencia en un plano de $\mathbb R^2$ y que girar por el ecuador de una superficie esférica inmersa en $\mathbb R^3$ que puedes describir con coordenadas en $\mathbb R^2$, la primera tiene el radio vector que se puede descomponer en componentes de vectores de la base donde también se puede describir la superficie y la segundo no.

Con ese cambio de variable y operando nuevamente deberías llegar a una métrica con la forma:

$$\boxed{ds^2=-(c^2-\omega^2R^2)dt^2+R^2[ d\phi^2-2\omega d\phi dt] }$$

que era la que yo esperaba hubieras obtenido y que, aunque mantiene un término cruzado $d\phi \cdot dt$ como indicaba carroza (una lástima, por cierto, que no vuelva a participar en el hilo) ya no contiene el $\sin\phi$

Creo que te confundes porque $\phi$ varía también en las traslaciones cuando te mueves por la coordenada x , como en el espacio de la 3 esfera la coordenada x no llega al infinito sino que regresa, en vez de $\phi$ hacerse una constante en el infinito toma un valor cíclico. Pero cambia debido a la curvatura del propio espacio y no por el movimiento de rotación, lo que pasa es que lo aprovechamos a la vez para hacer cálculos proporcionales a la distancia recorrida en x haciendo $x=\phi R$ con R no perteneciendo ni a X, ni a Y, ni A Z, sino a W, fijate en ese detalle en la parametrización de la fórmula número 3 $\vec R =(R\sin\chi \vec {\mathbf r}, R\cos\chi)$ donde $\vec {\mathbf {r}}$ representa los vectores 3d tradicionales y dejamos aparte un parámetro de una 4ta dimensión donde se halla nuestro radio de giro.

¿Y cual es el problema con ese término $\sin\phi$? Pues en tu ecuación final (21) se puede ver más fácilmente:

$$\boxed {ds^2=-\dfrac{c^2}{\gamma^2}dt^2+dX^2+2v \sin\left(\dfrac{v}{R}t\right) dX dt }$$

Si te fijas, has obtenido una métrica que depende del tiempo t, no del dt como es lo esperable, sino del valor de t. Es decir, llegas a una métrica no estática (no sé si es ese el nombre técnico). ¿Y qué significa eso? Que el observador en movimiento obtendrá valores distintos de ella en función del paso del tiempo, lo que creo es algo sin sentido físico para este universo.

Eso es lo que intento advertirte desde el inicio de mi intervención en el hilo, el observador que se mueve con velocidad v en tu universo estático, no lo observa al universo "estático" y no puede sacar conclusiones como si lo fuera.

Pd observa que $\phi$ termina siendo la variable el sistema porque así se lo escogió en la geodésica(ec 17 y 18), pero podría haber resultado otra la propuesta y resultar que la variable que cambia no en tiempo sea $\theta$ o $\chi$ , quizás las métrica descritas con esos parámetros no sean tan fáciles de escribir y comprender , pero se debería llegar a las mismas conclusiones, puesto que un cambio de coordenadas no puede afectar a cómo funciona el universo.

Sería oportuno que alguien más incline la balanza hacia uno u otro punto de vista, o traiga una balanza nueva.

[javisot20]

Eso es lo que intento advertirte desde el inicio de mi intervención en el hilo, el observador que se mueve con velocidad v en tu universo estático, no lo observa al universo "estático" y no puede sacar conclusiones como si lo fuera.

¿Te refieres Richard a que el observador B en movimiento respecto del universo experimentará cambios de longitud y no experimentará un universo estático, al contrario del observador A en reposo?
No existen 2 universos, existe 1 que contiene a los 2 observadores entiendo.

[JGabrielRE]

Hola Richard:

Sería oportuno que alguien más incline la balanza hacia uno u otro punto de vista, o traiga una balanza nueva.

Pues lo veo difícil, porque llegados a estas alturas del hilo, creo que apenas quedamos tú y yo

Dejaré un rato a ver si aparece un alma caritativa (Jaime Rudas Alriga carroza javisot20 ) y nos echa una mano a salir de aquí, y si no, intentaré buscar otros argumentos, aunque dudo que pueda convencerte.

Gracias y saludos.

Gabriel

[Richard R Richard]

¿Te refieres Richard a que el observador B en movimiento respecto del universo experimentará cambios de longitud y no experimentará un universo estático, al contrario del observador A en reposo?

Sí

No existen 2 universos, existe 1 que contiene a los 2 observadores entiendo.

Como puedes diferenciar entre lo que un observador móvil a velocidad v observa en un universo estático, con lo uno estático en un universo móvil?
Según TRG lo podrías ve en cómo está distribuida la energía y el momento. Lo que intento decir es que si se puede demostrar que la métrica que propuse es solución para las ecuaciones de campo de Einstein, entonces las dos situaciones son similares, de otro modo sería yo el equivocado.

intentaré buscar otros argumentos, aunque dudo que pueda convencerte.

No estamos completamente seguros de que topología tiene nuestro universo, pero parece ser bastante plano, si sucediese que tuviera esa particularidad de curvatura, un observador móvil debería según tu criterio experimentar en alguna dirección una velocidad de la luz diferente a c, sabemos desde la época de Maxwell que los cambios de coordenadas galileanos no mantienen invariantes las propiedades electromagnéticas , pero si lo hacen las transformaciones de Lorentz y desde que hizo el experimento de Michelson y Morley sumamos pruebas de que c es constante en todas direcciones y en este principio se basa la Relatividad.
En un universo que no cumpla con las ecuaciones de Einstein es decir RG, bien sería válido que c no sea una constante. Por eso si el universo rotando no cumple con las ecuaciones de Einstein, el observador móvil en un universo estático tendría que experimentar c distinto de una constante, que es lo que propones, pero si en el universo móvil las ecuaciones de Einstein funcionan, entonces el observador móvil debe observar c constante.

Así que todo se limita a hacer la comprobación de que la métrica de la ecuación 16 satisface

$R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g^{\alpha \beta}R = \frac{8\pi G}{c^4} T^{\alpha \beta}$

Una guia de como hacerlo la da J. Garcia a partir del minuto 9:06

La ventaja que me llevas es lo que dice en el minuto 14:00 encontrar valores únicos de $\Lambda$ y $T_{\alpha \beta}$ que satisfagan las 10 ecuaciones independientes que entiendo dice que para un universo en rotación igualmente $T_{11}=T_{22}=T_{33}=0$ es decir no entra momento desde otra parte(de fuera del universo), que si $T_{00}= constante$ no hay aporte de energía externo, o que se conserva en el tiempo y si las componentes no diagonales son distintas de cero , hay flujo de energía y momento entre partes dentro del propio universo (creo que esto si debería suceder).

Esto, o es la mejor respuesta que he dado en RG en el foro, o quizá la mayor metedura de pata, así que aver quien tiene Maxima instalado para resolverlo. (como no se si las páginas donde se puede descargar gratuitamente cumplen o no con las leyes de protección de la propiedad intelectual no recomiendo ninguna)

Saludos

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

Esto, o es la mejor respuesta que he dado en RG en el foro, o quizá la mayor metedura de pata, así que aver quien tiene Maxima instalado para resolverlo. (como no se si las páginas donde se puede descargar gratuitamente cumplen o no con las leyes de protección de la propiedad intelectual no recomiendo ninguna)

Sinceramente, sigo pensando que tu métrica no está bien calculada y seguro que si alguien lo comprueba con Maxima, saldremos de dudas. Aunque igual para eso vas a tener que sacar la cuestión de este hilo y preguntar en otro nuevo.

No creo que una métrica no estacionaria, como la que has obtenido, sea solución válida. No soy nada experto en RG, pero sé que hasta la métrica de Kerr que está calculada para agujeros negros en rotación es estacionaria. Sí contiene términos cruzados $c dt d\phi$ pero es totalmente estacionaria. Lo mismo ocurre con la métrica del espacio de Rindler, también es estacionaria (vale, que Rindler es para observadores acelerados en un espacio-tiempo plano). Es que yo creo que con una métrica así, el observador en movimiento sería incapaz de sincronizar relojes y no podría ni medir c.

No obstante, supongamos que es válida tú métrica obtenida en (21):

$$\boxed {ds^2=-\dfrac{c^2}{\gamma^2}dt^2+dX^2+2v \sin\left(\dfrac{v}{R}t\right) dX dt }$$

Entonces imaginemos que el observador en movimiento quiere medir la velocidad de la luz en su t = 0. Es decir, que se cumplirá

$$ds^2=0=-\dfrac{c^2}{\gamma^2}dt^2+dX^2$$

y si suponemos que dX = c' dt, siendo c' el valor que medirá el observador en movimiento, entonces despejando obtendrá que:

$$\boxed {c'=\dfrac c \gamma}$$

que era justo lo que no querías demostrar.

Además, para cualquier otro t <> 0 se cumplirá que, al tener un término cruzado proporcional a dx dt resulta que obtendrás valores distintos de c' en función del sentido en el que emitas el rayo de luz ya que, ahora, vas a tener un dx = -c' dt si lo emite hacia su izquierda y un dx = c' dt si lo emite hacia su derecha. Con lo cual, vuelves a obtener un resultado contrario al que querías demostrar.

El problema de cualquier métrica que propongas para el observador en movimiento es que dará valores distintos de c, excepto que uses las transformaciones de Lorentz y así se conserve la métrica de Minkowski. Eso es lo que hace Javier en su vídeo en el minuto 46'. Parte de Minkowski para el observador estático y luego usa Lorentz para poder estar dentro de la TRE.

Gracias Richard como siempre por tu tiempo y saludos.

Gabriel

[Weip]

No obstante, supongamos que es válida tú métrica obtenida en (21):

Entonces imaginemos que el observador en movimiento quiere medir la velocidad de la luz en su t = 0. Es decir, que se cumplirá

$$ds^2=0=-\dfrac{c^2}{\gamma^2}dt^2+dX^2$$

y si suponemos que dX = c' dt, siendo c' el valor que medirá el observador en movimiento, entonces despejando obtendrá que:

$$\boxed {c'=\dfrac c \gamma}$$

que era justo lo que no querías demostrar.

Además, para cualquier otro t <> 0 se cumplirá que, al tener un término cruzado proporcional a dx dt resulta que obtendrás valores distintos de c' en función del sentido en el que emitas el rayo de luz ya que, ahora, vas a tener un dx = -c' dt si lo emite hacia su izquierda y un dx = c' dt si lo emite hacia su derecha. Con lo cual, vuelves a obtener un resultado contrario al que querías demostrar.

El problema de cualquier métrica que propongas para el observador en movimiento es que dará valores distintos de c, excepto que uses las transformaciones de Lorentz y así se conserve la métrica de Minkowski. Eso es lo que hace Javier en su vídeo en el minuto 46'. Parte de Minkowski para el observador estático y luego usa Lorentz para poder estar dentro de la TRE.

Más allá de si el procedimiento de Richard es válido o no (no lo he revisado porque es largo, pero tiene buena pinta), esta parte de aquí es a lo que me refería en el mensaje #16 cuando decía que en RG la velocidad de la luz no es constante, ni debe serlo. No sé muy bien donde está el problema porque no he leído el debate (lo siento, son demasiadas páginas), pero la cuestión es que esta velocidad de la luz no es física realmente. La RE sigue siendo válida porque localmente siempre se medirá velocidad de la luz constante, pero en presencia de curvatura ya no existen coordenadas globales para todo el espaciotiempo con lo que esta aceleración de la luz es el truque para que en RG todos los sistemas de coordenadas sean equivalentes. Cuando el espaciotiempo es asintóticamente plano aún hay un resquicio para el debate sobre si el resultado es físico o no, pero en un espaciotiempo como el del hilo (entiendo que es el cilindro del vídeo de Javier) este resquicio no existe.

No sé muy bien en qué punto está el debate pero por si acaso quería remarcarlo, ya que lo que comentaba mensajes atrás salió en forma de ecuación. Espero que haya ayudado aunque sea una contribución perqueña.

[Richard R Richard]

Luego un curso de 15 minutos de Maxima,(es impresionantemente fácil de aprender) me anime a ir por mas y en 1 hora


me sale el escalar de Ricci largo para la EC16, imaginate lo que son las otras cosillas y su tamaño en $Latex$, ahora bien , J Garcia simplificó su métrica fijando una geodésica , hoy ya no tengo tiempo pero iré por la sencilla, y ver si llego a algo mas potable.(osea usar 17 y 18) para simplificar o bien usar 19 o 21 directamente como métrica.

Weip creo que has argumentado algo en mi favor, localmente todos los observadores verán c, aunque yo lo sostenía para todos los que están en la misma geodesia, pero la prueba que buscaba matemáticamente veo se me esfuma por complejidad, no por falta de ganas.

JGabrielRE no tengo claro si así de fácil sale el cálculo de la velocidad de la luz vista por el otro observador, en todo caso en tu diagrama la pendiente de las líneas de luz debería tener una pendiente de 45° sino mayor, pero entiendo que debe ser la misma para los dos observadores, por eso no me convence que pueda ser distinta de 45 o bien la velocidad de la luz c.

Edito : recien probe con la métrica 19 y antes de sacar los tensores de rieman me dice que

(%i147) riemann(all),ratriemann=true$ratsimp(%);

"This spacetime is flat"" "

(%o147) done

y si es plano B debe ver c en la geodesica tanto como A

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

JGabrielRE no tengo claro si así de fácil sale el cálculo de la velocidad de la luz vista por el otro observador, en todo caso en tu diagrama la pendiente de las líneas de luz debería tener una pendiente de 45° sino mayor, pero entiendo que debe ser la misma para los dos observadores, por eso no me convence que pueda ser distinta de 45 o bien la velocidad de la luz c.

Mis diagramas están hechos desde el punto de vista del observador privilegiado para el que su métrica es Minkowski. Por eso obtengo pendientes a 45º.
Para el observador en movimiento, tal y como hace Javier en su vídeo, aplico un cambio de coordenadas usando Lorentz y así obtener la misma métrica también para él, de manera que se mantenga c constante. Tú, sin embargo, aplicas un cambio de coordenadas más tipo Galileo al hacer t= t' y x = x' - wt. Por eso no puedes obtener c con tu métrica.

Gracias y suerte con Maxima.

Gabriel

[Weip]

Para JGabrielRE: No hay ningun observador privilegiado para el que su métrica sea Minkowski. Creo que quieres escoger un observador para el que su métrica sea Minkowski, pero eso es lo habitual, no es privilegiado de ninguna manera. Por si acaso también aclarar que no se pueden coger coordenadas globales que cubran todo el espaciotiempo. Esto es, no existen observadores inerciales de manera global. Lo comento porque leyendo algunos mensajes no sé si es algo que se tiene presente o no. El motivo es el que indica Javier en la parte final del vídeo con las líneas de simultaneidad: la obstrucción a la existencia de un observador global la da el agujero del cilindro.
Por otro lado es cierto que la transformación de Richard debería ser con phi y no con x, pero de todas maneras se llegan a las mismas conclusiones.

Para Richard: Para ver que un observador medirá c localmente lo puedes ver si el observador deja de acelerar. En este límite, la métrica será localmente Minkowski (en las coordenadas que sean).

[Richard R Richard]

Para Richard: Para ver que un observador medirá c localmente lo puedes ver si el observador deja de acelerar. En este límite, la métrica será localmente Minkowski (en las coordenadas que sean).

Eso creo que ocurre cuando la aceleración en la componente $\phi$ es nula ya que las otras dos espaciales las supusimos constante durante el desarrollo. Y como v es una constante mucho más no queda por buscar.

Luego la sigo, hoy tengo trabajo que hacer.

Saludos

[JGabrielRE]

Hola Weip:

Muchas gracias por intervenir en el hilo. Necesitábamos, como bien comentaba Richard, a alguien que desequilibrara o rompiera la balanza.

Para JGabrielRE: No hay ningun observador privilegiado para el que su métrica sea Minkowski. Creo que quieres escoger un observador para el que su métrica sea Minkowski, pero eso es lo habitual, no es privilegiado de ninguna manera.

Sí, me refería con privilegiado al observador supuestamente "estático", y lo llamo privilegiado suponiendo cierta mi hipótesis de que es el único que mide c en ambos sentidos al emitir pulsos que den la vuelta al universo.

Por si acaso también aclarar que no se pueden coger coordenadas globales que cubran todo el espaciotiempo. Esto es, no existen observadores inerciales de manera global. Lo comento porque leyendo algunos mensajes no sé si es algo que se tiene presente o no. El motivo es el que indica Javier en la parte final del vídeo con las líneas de simultaneidad: la obstrucción a la existencia de un observador global la da el agujero del cilindro.

Efectivamente, pero en este caso no intentamos cubrir todo el espacio-tiempo, nos limitamos únicamente a una zona muy restringida del espacio-tiempo, el de una geodésica de máxima longitud (no sé si llamarla geodésica ecuatorial) que rodea el universo. El movimiento de los observadores y la emisión de los rayos de luz se harían únicamente en esa geodésica, por lo que la métrica y el cambio de coordenadas se restringen a ella.

Una duda genérica al respecto fuera de este caso con el universo de Einstein. Perdón, pero mi conocimiento en Relatividad General es mínimo. Supongamos el caso de un espacio-tiempo con la métrica de Schwarzschild. Entiendo que es imposible definir un cambio de coordenadas general en todo ese espacio-tiempo. El hecho de que el tiempo fluya a distintas velocidades dependiendo de la coordenada radial lo evita ya que es imposible sincronizar relojes de manera global. ¿Pero sería posible si se fija el radio constante, R, definir un sistema de cambio de coordenadas entre varios observadores que se movieran en círculos de radio R a diferentes velocidades? Imagino que sí, que sería posible porque eso es lo que ocurre en el caso de la superficie de un planeta, ¿es correcto?

Por otro lado es cierto que la transformación de Richard debería ser con phi y no con x, pero de todas maneras se llegan a las mismas conclusiones.

Sí, coincido en que la transformación correcta debería ser con phi. También la podría haber hecho sobre x pero una vez que, como hace Javier, hubiera llegado a la métrica final de Minkowski

$$ds^2=-c^2dt^2+dx^2$$

con $dx = R d\phi$. Entonces sí podría haber hecho su cambio $x' = x - vt$ que aplicándolo a la métrica anterior le hubiera llevado a una métrica (21) distinta:

$$ds^2=-\dfrac{c^2}{\gamma^2}dt^2+dx^2+2v dx dt$$

ya sin la dependencia con t a través del seno.

Por otra parte, la métrica anterior tiene un problema y es que no es la de Minkowski y, por tanto, el observador que se mueve mediría velocidades de la luz con valores $c+v$ y $c-v$ que era justo lo que quería refutar Richard. Para mantener la constancia de c, Richard debería haber usado las transformaciones de Lorentz como hace Javier en su vídeo. Pero Javier no lo hace por mantener la velocidad de la luz, sino porque está estudiando la paradoja de los gemelos en este universo de Einstein y necesita de las transformaciones de Lorentz para que aparezcan las dilataciones temporales propias de la Relatividad Especial. Richard ha tomado unas transformaciones tipo Galileo y claro, ni c se mantiene constante ni hay dilataciones temporales.

Por otra parte está el tema de las discontinuidades en la simultaneidad. En mi opinión, esa discontinuidad que se representa como las hélices abiertas, es resultado de que en este universo cerrado el observador en movimiento pueda detectar velocidades distintas de la luz de manera global, lo que rompería la TRE y así volvemos al inicio de mi duda, varias páginas atrás.

Gracias nuevamente por tu ayuda y saludos.

Gabriel

[javisot20]

Utilizamos "no respetar la velocidad de la luz" tanto para el caso en el que se hace c+v o c-v como para un caso en el que sumásemos otra velocidad distinta de c.

Ejemplo- ¿Tiene una esfera en geometría euclídea distinto volumen que esa misma esfera en geometría no euclídea?, bueno, se toma el volumen del caso euclídeo y se aplica la curvatura. No se toma un valor distinto al del caso euclídeo, igual para la luz.

En relatividad general al decir que la velocidad de la luz puede no ser constante no estamos diciendo que, teniendo en cuentan un valor distinto de c, este varíe con la curvatura.

[Weip]

Hola JGabrielRE, empiezo por el final para tratar la duda principal del hilo.

Por otra parte está el tema de las discontinuidades en la simultaneidad. En mi opinión, esa discontinuidad que se representa como las hélices abiertas, es resultado de que en este universo cerrado el observador en movimiento pueda detectar velocidades distintas de la luz de manera global, lo que rompería la TRE y así volvemos al inicio de mi duda, varias páginas atrás.

La TRE no es válida a nivel global en un universo cerrado pero tampoco en ningún otro tipo de universo (distinto a Minkowski). Justamente la RG es la teoría que sustituye RE. Ahora bien, RE seguirá siendo válida localmente, porque por mucha curvatura que haya siempre se puede ampliar lo suficiente para que parezca que el universo es plano. Por tanto hablar en términos de "ruptura" creo que es confuso: ya de antemano sabemos que no será válida globalmente. El obtener distintos resultados para la velocidad de la luz no es una sorpresa si no una consecuencia de RG. Aún así, como he querido enfatizar en mis anteriores mensajes, esa velocidad de la luz variable no tiene la misma interpretación física que la velocidad de la luz que mide un observador inercial típico de RE. El que sea distinta a $c$ es un tema de que ya no existen coordenadas globales como en RE.

Respecto a la discontinuidad de las líneas de simultaneidad es un artefacto de la representación que utiliza Javier. En cualquier caso lo que está midiendo esa discontinuidad es que hay un agujero (el "volumen" del cilindro; lo pongo entre comillas porque no hace falta ni que haya volumen realmente porque estaria fuera del universo, pero así nos entendemos). Por tanto, de alguna manera puedes detectar que no estás en un espaciotiempo Minkowski gracias a estas líneas.

Sí, me refería con privilegiado al observador supuestamente "estático", y lo llamo privilegiado suponiendo cierta mi hipótesis de que es el único que mide c en ambos sentidos al emitir pulsos que den la vuelta al universo.

Vale en ese caso no hay mucho problema, pero el término es un poco desafortunado.

¿Pero sería posible si se fija el radio constante, R, definir un sistema de cambio de coordenadas entre varios observadores que se movieran en círculos de radio R a diferentes velocidades? Imagino que sí, que sería posible porque eso es lo que ocurre en el caso de la superficie de un planeta, ¿es correcto?

Sí, claro. Entiendo que están describiendo órbitas, no hay ningún problema en considerar esos cambios.