Consulta sobre Lagrangiano en Relatividad especial y en relatividad General

[inakigarber]

Buenas noches;

Leyendo este foro, encuentro que en Relatividad especial el Lagrangiano de un sistema puede ser expresado como $L=ck\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$, quizá me estoy precipitando un poco, y estoy preguntando una sandez, pero me estoy planteando si partiendo de un tensor métrico, por ejemplo el de Scwarszchild, conociendo los componentes de dicho tensor ¿podría determinar cual es el Lagrangiano que debería aplicar a dicho sistema?

Saludos y gracias.

[guibix]

Hola!

Buenas noches;
pero me estoy planteando si partiendo de un tensor métrico, por ejemplo el de Scwarszchild, conociendo los componentes de dicho tensor ¿podría determinar cual es el Lagrangiano que debería aplicar a dicho sistema?

Bueno, supongo que aquí hay gente mucho más cualificada que yo para responder a eso. Pero me jugaría un garbanzo (de los gordos) a que si tienes la métrica tienes el lagrangiano. No recuerdo muy bien mi mecánica teórica pero lo recuerdo así: el Lagrangiano se suele obtener de la métrica (y para según qué, no hace falta cálculo tensorial).

Recuerdo que el proceso es muy metódico y relativamente fácil de obtener si las integrales tienen solución analítica. En el canal de youtube de la universidad de Stanford hay unas lecturas de Leonad Susskind. Ahora no puedo decirte en donde explica esto muy bien pero tanto en las lecturas de RE y RG como en las de mecánica teórica, mecánica cuántica e incluso teoría de cuerdas, repite el mismo proceso de obtener Lagrangianos a partir de métricas..

Siento no poder ayudar más pero sé de buena fuente que por aquí hay gente que domina muy bien esto, jeje.

Un saludo!!

[Weip]

pero me estoy planteando si partiendo de un tensor métrico, por ejemplo el de Scwarszchild, conociendo los componentes de dicho tensor ¿podría determinar cual es el Lagrangiano que debería aplicar a dicho sistema?

Por poder se puede, pero la línea de razonamiento suele ir al revés, resolver ecuaciones de Einstein para obtener la métrica y luego sabiendo esta métrica, determinar las ecuaciones del movimiento de una partícula. En todo caso primero debes calcular los símbolos de Christoffel de la métrica y plantear la ecuación de las geodésicas:

$\ddot{x}^{\rho}+\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}=0$

Esta es la ecuación del movimiento del lagrangiano:

$L=\dst\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$

Observa que es la generalización directa del lagrangiano que has puesto en tu mensaje: el interior de la raíz es $\eta_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$ donde $\eta_{\mu\nu}$ es la métrica de Minkowski (estamos en Relatividad Especial). El porqué no hay raíz en el lagrangiano que he escrito es porque $\sqrt{L}$ y $L$ llevan a las mismas ecuaciones del movimiento, pero los ćalculos con $\sqrt{L}$ son más largos así que es habitual suprimir la raíz. Es un poco técnico pero es cuestión de usar las ecuaciones de Euler-Lagrange con los dos lagrangianos:

$\dst\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}-\dst\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}=0$

Por tanto el lagrangiano

$L_{RE}=ck\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}=k\sqrt{\eta_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}$

Es un caso particular del lagrangiano de Relatividad General poniendo la métrica de Minkowski, teniendo en cuenta lo que he dicho de la raíz, que la puedes poner si quieres porque es indiferente.

[carroza]

Gracias, Weip

Tu respuesta me ha servido para resolver un problema que tenía en otro hilo. Según lo que indicas, si $L(x, \dot x)$, es un lagrangiano que describe unas ecuaciones de movimiento,
$L'(x, \dot x) = \sqrt{L(x, \dot x)}$ también produce las mismas ecuaciones de movimiento. No sólo eso, sino que $L''(x, \dot x) = G(L(x, \dot x))$, donde G es una función arbitraria, también vale como un lagrangiano diferente que produce las mismas ecuaciones de movimiento. Esto puede verse en las ecuaciones de Euler Lagrange, sin más que usar la regla de la cadena.

Esto, por ejemplo, implica que, para una partícvula libre, cuyo lagrangiano es $L(x, \dot x)= 1/2 m_0 {\dot x}^2$, podemos aplicarle una función $G(z) = m_0 c^2 \sqrt{ 1 - {2 z \over m_0 c^2}}$, con lo que obtenemos un nuevo lagrangiano $L''(x, \dot x) = m_0 c^2 \sqrt{ 1 - {\dot x}^2 / c^2}$, Con esto, se conectan de forma grácil las expresiones clásicas y relativistas.

Un saludo, y gracias de nuevo

[Weip]

Inesperado que haya servido también para otro hilo, pero me alegro. Últimamente hay varios hilos de relatividad que parecen muy interesantes pero no he tenido tiempo de leerlos aún.

[inakigarber]

Por poder se puede, pero la línea de razonamiento suele ir al revés, resolver ecuaciones de Einstein para obtener la métrica y luego sabiendo esta métrica, determinar las ecuaciones del movimiento de una partícula. En todo caso primero debes calcular los símbolos de Christoffel de la métrica y plantear la ecuación de las geodésicas:

$\ddot{x}^{\rho}+\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}=0$

Esta es la ecuación del movimiento del lagrangiano:

$L=\dst\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$

Estoy un poco perdido;

Por lo referente a las ecuaciones de las geodésicas no veo problema.

En la ecuación del movimiento los puntos sobre las x entiendo que se refieren a derivadas con respecto al tiempo, bien, pero en el tensor métrico de Minkowski todos los elementos son constantes, por lo que todas las derivadas son nulas. En el tensor métrico de Schwarszchild, por poner otro ejemplo ya en la relatividad General, si bien los elementos del tensor no son variables, son invariantes con respecto al tiempo por lo que también debería dar un valor nulo.

[Weip]

Hola inakigarber.

En la ecuación del movimiento los puntos sobre las x entiendo que se refieren a derivadas con respecto al tiempo, bien, pero en el tensor métrico de Minkowski todos los elementos son constantes, por lo que todas las derivadas son nulas. En el tensor métrico de Schwarszchild, por poner otro ejemplo ya en la relatividad General, si bien los elementos del tensor no son variables, son invariantes con respecto al tiempo por lo que también debería dar un valor nulo.

Observa que no hay ninguna derivada de la métrica (ningún punto). Cuando escribo $g_{\mu\nu}$ es tal cual la métrica, $\eta_{\mu\nu}$ tal cual la métrica de Minkowski, y cuando escribo $\dot{x}^{\mu}$ es la derivada de las coordenadas $x^{\mu}$ respecto $\lambda$. Si quisiera hacer una derivada de la métrica lo haría respecto a las coordenadas y escribiría algo como:

$\dst\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\rho}}$, $\partial_{\rho}g_{\mu\nu}$

En todo caso cualquier derivada de la métrica respecto las coordenadas está dentro de los símbolos de Christoffel $\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}$, ningún punto afecta a esa parte.

Espero que haya aclarado un poco el panorama, sino ya nos dices.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta,

Hola inakigarber.

Observa que no hay ninguna derivada de la métrica (ningún punto). Cuando escribo $g_{\mu\nu}$ es tal cual la métrica, $\eta_{\mu\nu}$ tal cual la métrica de Minkowski, y cuando escribo $\dot{x}^{\mu}$ es la derivada de las coordenadas $x^{\mu}$ respecto $\lambda$. Si quisiera hacer una derivada de la métrica lo haría respecto a las coordenadas y escribiría algo como:

$\dst\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\rho}}$, $\partial_{\rho}g_{\mu\nu}$

En todo caso cualquier derivada de la métrica respecto las coordenadas está dentro de los símbolos de Christoffel $\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}$, ningún punto afecta a esa parte.

Espero que haya aclarado un poco el panorama, sino ya nos dices.

Entonces, ¿Cuál sería el parámetro $\lambda$? ¿La velocidad?

No lo tengo muy claro.

Saludos y gracias.

[Weip]

Entonces, ¿Cuál sería el parámetro $\lambda$? ¿La velocidad?

No no, estamos describiendo una partícula en un espaciotiempo curvo, por tanto $\lambda$ es un parámetro afín. Si la partícula tiene masa, puedes pensar que $\lambda$ es el tiempo propio $\tau$. Más en general $\lambda=a\tau+b$, porque puedes coger cualquier transformación afín de $\tau$ para describir la misma geodésica.

El punto $\dot{x}^{\mu}$ significa derivada respecto el parámetro afín (tiempo propio si quieres) $dx^{\mu}/d\lambda$. Aparece en la ecuación de las geodésicas $\ddot{x}^{\rho}+\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}=0$ y también en el lagrangiano que has puesto en tu primer mensaje implícitamente, pues $v^2=\dot{x}_i\dot{x}^i$.

[inakigarber]

Buenas noches;

Gracias por tu resupesta.

Vamos a ver si he entendido algo. Supongamos que parto del tensor métrico de Scwarszchild, por poner un ejemplo concreto;
$G_{ab}=\begin{pmatrix}c^2(1-a/r) & 0&;0&0 \\0 &-(1-a/r)^{-1}&0&0\\0&0&-r^2&0\\0&0&0&-r^2 Sen^2(\theta)\end{pmatrix}$, siendo $a=\dfrac{2GM}{c^2}$.

Si utilizo como parámetro afin $\tau$, ninguno de los elementos del tensor es dependiente del tiempo, por lo que todos los elementos de la expresión $L=\dfrac{1}{2}g_{u\nu}\dot x^\mu \dot x^v$ serían nulos, lo cual me causa mucha confusión.

¿Sería esto correcto?

[Weip]

Buenas noches;

Gracias por tu resupesta.

Vamos a ver si he entendido algo. Supongamos que parto del tensor métrico de Scwarszchild, por poner un ejemplo concreto;
$G_{ab}=\begin{pmatrix}c^2(1-a/r) & 0&;0&0 \\0 &-(1-a/r)^{-1}&0&0\\0&0&-r^2&0\\0&0&0&-r^2 Sen^2(\theta)\end{pmatrix}$, siendo $a=\dfrac{2GM}{c^2}$.

Si utilizo como parámetro afin $\tau$, ninguno de los elementos del tensor es dependiente del tiempo, por lo que todos los elementos de la expresión $L=\dfrac{1}{2}g_{u\nu}\dot x^\mu \dot x^v$ serían nulos.

¿Sería esto correcto?

No no, insisto, no hay ninguna derivada del tensor métrico respecto $\tau$. Todas las derivadas son de las coordenadas $x^{\mu}$. Voy a desgranar la notación de Einstein porque quizás es lo que despista:

$L=\dst\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}=\frac{1}{2}\left(g_{00} \dot{t}\dot{t}+g_{11}\dot{x}\dot{x}+...\right)=\frac{1}{2}\left(c^2\left(1-\frac{a}{r}\right) \dot{t}^2-\left(1-\frac{a}{r}\right)^{-1}\dot{x}^2-...\right)$

Los puntos suspensivos es para los términos $y$ y $z$. Esta es una forma incómoda de poner el lagrangiano, pero es más explícita así que espero que aclare más la cosa.

[inakigarber]

No no, insisto, no hay ninguna derivada del tensor métrico respecto $\tau$. Todas las derivadas son de las coordenadas $x^{\mu}$. Voy a desgranar la notación de Einstein porque quizás es lo que despista:

$L=\dst\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}=\frac{1}{2}\left(g_{00} \dot{t}\dot{t}+g_{11}\dot{x}\dot{x}+...\right)=\frac{1}{2}\left(c^2\left(1-\frac{a}{r}\right) \dot{t}^2-\left(1-\frac{a}{r}\right)^{-1}\dot{x}^2-...\right)$

Los puntos suspensivos es para los términos $y$ y $z$. Esta es una forma incómoda de poner el lagrangiano, pero es más explícita así que espero que aclare más la cosa.

Creo que esto me aclara las cosas, en este caso sería;
$L=\dfrac{1}{2}\left [\left(c^2\left(1-\dfrac{a}{r}\right)\left (\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2\right)-\left (1-\dfrac{a}{r}\right)^{-1}\left (\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2-r^2\left(\dfrac{d\theta}{d\tau}\right)^2-r^2 Sen^2 (\theta)\left(\dfrac{d\varphi}{d\tau}\right)^2\right]$

Bien, con esto ya puedo manejarme. Gracias por el ejemplo.

[Richard R Richard]

Hola Weip con este caso particular y similares nos hemos encontrado en otros hilos , yo entiendo que esto quedaría en vez de así

$L=\dfrac{1}{2}\left [\left(c^2\left(1-\dfrac{a}{r}\right)\left (\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2\right)-\left (1-\dfrac{a}{r}\right)^{-1}\left (\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2-r^2\left(\dfrac{d\theta}{d\tau}\right)^2-r^2 Sen^2 (\theta)\left(\dfrac{d\varphi}{d\tau}\right)^2\right]$

así (que no es mucho cambio)

$L=\dfrac{1}{2}\left [\left(c^2\left(1-\dfrac{a}{r}\right)\left (\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2\right)-\left (1-\dfrac{a}{r}\right)^{-1}\left (\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2-r^2\left(\dfrac{d\theta}{d\lambda}\right)^2-r^2 Sen^2 (\theta)\left(\dfrac{d\varphi}{d\lambda}\right)^2\right]$

para ser mas exacto, en otros hilos, hemos supuesto que $\theta=cte$ y $\phi=cte$ luego $\dfrac{d\theta}{d\lambda}=\dfrac{d\phi}{d\lambda}=0$ y no hay términos no diagonales el metrica

quedando mas sencillo

$L=\dfrac{1}{2}\left [\left(c^2\left(1-\dfrac{a}{r}\right)\left (\dfrac{dt}{d\lambda}\right)^2\right)-\left (1-\dfrac{a}{r}\right)^{-1}\left (\dfrac{dr}{d\lambda}\right)^2\right]$

si lambda lo reemplazas diciendo que es un parámetro afín del tiempo propio

$L=\dfrac{1}{2}\left [\left(c^2\left(1-\dfrac{a}{r}\right)\left (\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2\right)-\left (1-\dfrac{a}{r}\right)^{-1}\left (\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2\right]$

pero ahora viene la salsa para mí , escribo

$L=\dfrac{1}{2}\left [\left(c^2\left(1-\dfrac{a}{r}\right)\dot{t}^2\right)-\left (1-\dfrac{a}{r}\right)^{-1}\dot r^2\right]$

para luego hacer

$\dst\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}-\dst\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}=0$

entonces tienes dos ecuaciones no triviales

$\dst\frac{d}{d \tau}\frac{\partial L}{\partial \dot{t}}-\dst\frac{\partial L}{\partial t}=0$

$\dst\frac{d}{d \tau}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-\dst\frac{\partial L}{\partial r}=0$

para resolver las derivadas me tengo que preguntar lo siguiente...

es $r$ una función de $\dot{t}$, es decir $\dfrac{\partial r}{\partial \dot t}=0$ o no? y lo inverso es $\dot{t}$ una función de $r$, es decir $\dfrac{\partial \dot t}{\partial r}=0$ o no?

es $r$ una función de $\dot{r}$, es decir $\dfrac{\partial r}{\partial \dot r}=0$ o no ?y lo inverso es $\dot r$ una función de $r$, es decir $\dfrac{\partial \dot r}{\partial r}=0$ o no?

si se aplica la regla de la cadena en esas derivadas es necesario conocer esos cuatro resultados, en que me equivoco o como se hace realmente.

Sería genial que las 4 fueran 0, todo sería mas sencillo, pero es así?

Gracias

Saludos

[Weip]

Sería genial que las 4 fueran 0, todo sería mas sencillo, pero es así?

Son cero sí, las coordenadas solo dependen de $\tau$. El resultado tiene que ser las ecuaciones de las geodésicas así que si te sale algún término extra será que se ha traspapelado.

[inakigarber]

He seguido el razonamiento hasta cuando se dice $\dst\frac{d}{d \tau}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-\dst\frac{\partial L}{\partial r}=0$, pero me he perdido en los pasos posteriores.

[Richard R Richard]

para luego hacer

$\dst\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}-\dst\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}=0$

entonces tienes dos ecuaciones no triviales

$\dst\frac{d}{d \tau}\frac{\partial L}{\partial \dot{t}}-\dst\frac{\partial L}{\partial t}=0$

$\dst\frac{d}{d \tau}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-\dst\frac{\partial L}{\partial r}=0$

He seguido el razonamiento hasta cuando se dice $\dst\frac{d}{d \tau}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-\dst\frac{\partial L}{\partial r}=0$, pero me he perdido en los pasos posteriores.

Cuando planteas las derivadas del lagrangiano respecto a $\dot{t}$ o $\dot{r}$ tienes a r multiplicando o dentro del denominador de algún sumando, entonces es válido preguntarse si es el radio r una función o una constante para esas variables, en caso de ser una constante solo pasa multiplicando a las derivadas, pero si hubiese dependencia funcional, tal derivada no es cero y es un engorre que me tenía de hace 2 dias pensando... Si tengo tiempo mas tarde pongo el desarrollo de este caso puntual.