Avanzado Relatividad general y universo infinito

[Jaime Rudas]

En el artículo La búsqueda de Einstein de la relatividad general 1907-1920, Michel Janssen plantea (pág. 29):

La relatividad general conserva vestigios de movimiento absoluto a través de las condiciones de contorno en el infinito necesarias para determinar el campo métrico para una distribución de materia determinada.
[...]
Como él [Einstein] le dijo a de Sitter en febrero de 1917: “He abandonado por completo mis puntos de vista, legítimamente cuestionados por usted, sobre la degeneración de $g_{\mu \nu}$. Tengo curiosidad por saber qué tendrá que decir sobre una idea un tanto loca que estoy considerando ahora”. Esta “idea loca” era, en realidad, bastante ingeniosa: si el problema son las condiciones de contorno en el infinito espacial, ¿por qué no eliminar el infinito espacial? Einstein exploró así la posibilidad de que el universo fuera espacialmente cerrado.

Por otra parte, en su artículo de 1917 Consideraciones cosmológicas de la teoría de la relatividad general, Einstein plantea:

De lo dicho hasta ahora se verá que no he logrado formular condiciones de contorno para el infinito espacial. Sin embargo, todavía existe una posible salida, sin resignar como se sugiere en (b). Porque si fuera posible considerar el universo como un continuo finito (cerrado) con respecto a sus dimensiones espaciales, no necesitaríamos en absoluto tales condiciones de contorno. Procederemos a mostrar que tanto el postulado general de la relatividad como el hecho de las pequeñas velocidades estelares son compatibles con la hipótesis de un universo espacialmente finito; aunque ciertamente, para llevar a cabo esta idea, necesitamos una modificación generalizadora de las ecuaciones de campo de la gravitación.

De lo anterior, yo entiendo que la aplicación de la relatividad general a un universo infinito era, en ese momento, considerada por Einstein problemática.

¿Por qué actualmente no la consideramos problemática?

[javisot20]

Esperando respuestas cualificadas, entiendo que es importante el manejo de condiciones de contorno asintóticas y tomar por cierta la conjetura de masa positiva https://es.m.wikipedia.org/wiki/Conj..._masa_positiva

[carroza]

Hola.

Ciertamente, no tengo la respuesta a la pregunta de Jaime Rudas , y me resulta buna pregunta interesante. Voy a aportar algo de lo que sé de condiciones de contorno.

Cualquier ley física, que se manifieste en ecuaciones diferenciales, necesita unas condiciones de contorno determinadas para poder aportar predicciones observables concretas. El movimuento de un cometa, según las leyes de Newton, necesitaría tales condiciones. Si el cometa describe una orbita elíptica, no necesitamos ver qué le sucede en el infinito, ya que nunca llega allí. Si el cometa describe una órbita hiperbólica, necesitamos unas "condiciones de contorno" en el infinito, que corresponden a un movimiento rectilineo y unifrome, con una velocidad dada, a distancias grandes.

Parece, que en ese contexto, Einstein tiene dificultados en imaginar cómo es el tensor métrico a distancias muy grandes de las hipotéticas masas, con lo que hace una suposición de que el universo es finito. Sería lo equivalente a exogir que todas las trayectorias fueran elípticas en una gravedad Newtoniana. Entiendo que la solución actual es que el tensor métrico es básicamente el tensor de Minkowski a distancias grandes de las masas, lo que permite describir las trayectorias hiperbólicas que aparecen en la gravedad Newtoniana.

Seguro que Einstein tenía en la cabeza algo más profundo que esto, pero espero que esta contribución ayude a contextualizar la pregunta de Jaime Rudas


Un saludo

[Fortuna]

Poco más abajo lo explica:

De Sitter había hecho sus cálculos. Le habían llevado a una solución alternativa de las ecuaciones de campo modificadas de Einstein. (El universo de Einstein trata el tiempo como dimensión a parte de las tres espaciales)

Siguiendo una sugerencia de Ehrenfest, De Sitter consideró un análogo natural del universo cilíndrico en el que el tiempo se trata de manera similar a los tres dimensiones espaciales.

Este universo de De Sitter tiene la geometría espacio-temporal de la hipersuperficie 3+1D de un hiperhiperboloide en el espacio-tiempo de Minkowski 4+1D. Por eso también se le conoce como universo hiperboloide. Todos los puntos del hiperboloide tienen la misma distancia espacio-temporal a su centro en el espacio de incrustación (el origen de los ejes de coordenadas que se muestran en la figura). Un hiperboloide en el espacio-tiempo de Minkowski 2+1D es, por tanto, el análogo de una esfera en el espacio euclidiano.

[teclado]

Curioso y enriquecedor comentario. ¿Esto sugiere imponer unas condiciones de contorno, no de x,t -> infinito, sino de x -> infinito y t -> -infinito (menos infinito)?

[Jaime Rudas]

Poco más abajo lo explica:

De Sitter había hecho sus cálculos. Le habían llevado a una solución alternativa de las ecuaciones de campo modificadas de Einstein. (El universo de Einstein trata el tiempo como dimensión a parte de las tres espaciales)

Siguiendo una sugerencia de Ehrenfest, De Sitter consideró un análogo natural del universo cilíndrico en el que el tiempo se trata de manera similar a los tres dimensiones espaciales.

Este universo de De Sitter tiene la geometría espacio-temporal de la hipersuperficie 3+1D de un hiperhiperboloide en el espacio-tiempo de Minkowski 4+1D. Por eso también se le conoce como universo hiperboloide. Todos los puntos del hiperboloide tienen la misma distancia espacio-temporal a su centro en el espacio de incrustación (el origen de los ejes de coordenadas que se muestran en la figura). Un hiperboloide en el espacio-tiempo de Minkowski 2+1D es, por tanto, el análogo de una esfera en el espacio euclidiano.

No logro ver qué es lo que explica esa cita.

[javisot20]

No logro ver qué es lo que explica esa cita.

Einstein entendía las condiciones de contorno de espacios finitos pero no entendía las condiciones de contorno en el infinito espacial, tampoco valoraba la ídea de condiciones de contorno asintóticas y los ET's asociados a las mismas, llega incluso a proponerle a De Sitter "¿por qué no eliminamos el infinito espacial?".

La cita que señala Fortuna hace referencia a que De Sitter en lugar de eliminar el infinito espacial lo que hizo fue explorar tales espacios con condiciones de contorno asintóticas. Dichas soluciones sortean los dos problemas comentados por Einstein,

1-no se infiere en ellos la existencia de un sistema de referencia privilegiado
2-la inercia permanece condicionada y no simplemente influenciada por la materia

Pero además, De Sitter demuestra que existen correspondencias entre el espacio euclidiano y espacios con condiciones de contorno asintóticas, abriendo una vía para poder compartir predicciones observables concretas entre ambos espacios.

[Fortuna]

No logro ver qué es lo que explica esa cita.

A ver si lo pongo más claro, o si lo he entendido bien. En tu post se cita a Einstein

si el problema son las condiciones de contorno en el infinito espacial, ¿por qué no eliminar el infinito espacial? Einstein exploró así la posibilidad de que el universo fuera espacialmente cerrado.

Es decir, para evitar la degeneración de la métrica al imponer límites en el infinito espacial, Einstein acierta a decir que el universo puede ser curvo, cerrándose sobre sí mismo. He entendido que aunque habla de forma cilíndrica, lo sería sólo para las coordenadas espaciales, mientras que la coordenada temporal permanece sin curvatura. Figura 8.

Ello permite a Einstein conectar los extremos espaciales sobre sí mismo, eliminando las condiciones de contorno en la parte espacial. (eso lleva a otros problemas y a la constante cosmológica que se discute en el texto, pero ahora no viene a cuento).

La solución de De Sitter es hacer lo mismo, pero tratando al tiempo como una coordenada más de forma que todos los puntos del universo con la métrica de Minkowki son el centro del universo, y al igual que la idea de Einstein no necesita condiciones de contorno. Figura 9.

Al menos eso he entendido yo.

[Chacaritamanda]

No soy fisico, me encanta la fisica y la astronomia. Pero tengo una analogia del universo finito-infinito. Si en t=0 empezamos a inflar un globo durante 14 mil millones de años, este es finito o infinito? Sin principio el universo seria infinito y eterno. Pero eso no es posible, todo tiene un comienzo y un final en la vida, por lo menos lo material. El mismo universo sufrira un big bounce, un big crunch, etc.
Por lo tanto no puede ser infinito, al menos que ya este expandido, lo que implica que no tuvo principio.

Saludos

[Jaime Rudas]

Si en t=0 empezamos a inflar un globo durante 14 mil millones de años, este es finito o infinito? Sin principio el universo seria infinito y eterno.

¿Por qué supones que un universo sin principio tendría que ser infinito?

Por lo tanto no puede ser infinito, al menos que ya este expandido, lo que implica que no tuvo principio.

¿Por qué supones que un universo con principio no puede ser infinito?

[Chacaritamanda]

¿Por qué supones que un universo sin principio tendría que ser infinito?

Bueno, lo primero que tengo que decir es que un universo sin principio es una anomalia. El tamaño seria correspondiente a su duracion expandida, se supone que si no tiene principio es eterno.

¿Por qué supones que un universo con principio no puede ser infinito?

"¿Por qué supones que un universo sin principio tendría que ser infinito?"

Bueno, lo primero que tengo que decir es que un universo sin principio es una anomalia. El tamaño seria correspondiente a su duracion expandida, se supone que si no tiene principio es eterno.

"¿Por qué supones que un universo con principio no puede ser infinito?"

Imagina un sujeto con un cronometro en el momento inicial del Big Bang, lo activa hasta el presente, octubre del 2023, desde t=0. Ahi se podria deducir los años luz del universo, su tamaño.

Saludos

[Jaime Rudas]

Imagina un sujeto con un cronometro en el momento inicial del Big Bang, lo activa hasta el presente, octubre del 2023, desde t=0. Ahi se podria deducir los años luz del universo, su tamaño.

Lo siento, pero no es así: el tamaño del universo no es proporcional a su edad. O sea, el que el universo tenga 13.800 millones de años no significa que su tamaño sea de 13.800 millones de años luz. De hecho, el universo puede ser infinito y haberlo sido desde su inicio.

[Chacaritamanda]

Lo siento, pero no es así: el tamaño del universo no es proporcional a su edad. O sea, el que el universo tenga 13.800 millones de años no significa que su tamaño sea de 13.800 millones de años luz. De hecho, el universo puede ser infinito y haberlo sido desde su inicio.

Buenas, si sabia que el radio del universo podia ser mayor a la edad del universo. Pero lo que planteas es algo dificil de que suceda, me estarias diciendo que de t=0 a t=1 segundo el universo se expandio trillones de trillones de años luz en un segundo, hasta hablar de una extension infinita de forma instantanea despues del big bang?

Te doy otra anaologia, en t=0 hay un sujeto con una cinta metrica midiendo como avanza con la expancion del universo, esta cinta tendria que estar en x punto en este presente. Eso seria lo mas logico.

Saludos

[Jaime Rudas]

me estarias diciendo que de t=0 a t=1 segundo el universo se expandio trillones de trillones de años luz en un segundo, hasta hablar de una extension infinita de forma instantanea despues del big bang?

No, no es eso. Lo que dije es que, si el universo es infinito, entonces lo fue desde su inicio, o sea, desde t=0.

[Jaime Rudas]

Te doy otra anaologia, en t=0 hay un sujeto con una cinta metrica midiendo como avanza con la expancion del universo, esta cinta tendria que estar en x punto en este presente.

Esta analogía me hace sospechar que no tienes claro lo que significa la expansión del universo. Lo digo porque una forma de medir la expansión del universo con una 'cinta métrica' podría ser la siguiente: mides la distancia hasta una galaxia lejana y, una hora después, la vuelves a medir. Esto te dará una idea de la tasa de expansión en ese momento y, como ves, es independiente de que el universo haya o no tenido un inicio o de que sea finito o infinito.

[Chacaritamanda]

No, no es eso. Lo que dije es que, si el universo es infinito, entonces lo fue desde su inicio, o sea, desde t=0.

Pero como explicas algo asi? Entonces no hay big bang? t=0 tambien tiene su no-tiempo.
Hablas de un universo ya expandido desde tiempos indefinidos? ya es infinito a raiz de que etapa y como? Y que solucion le das al final del universo? Big Crunch? Big Bounce? Big Rip? Big Freeze?

Saludos