Geometría del Universo

[Nedwer]

Re: Sobre la luz.

Para el que esté interesado en eso del "toro bidimensional" ya sea porque no lo entiende o porque le gustaría encontrar más acerca del mismo, hay un libro de Brian Greene llamado "El Universo Elegante" en el que se habla mucho acerca de la física cuántica y de estos "toros".Yo lo he leído, y habla de una manera muy sencilla y extensa del tema(comienza desde un "tubo" o "manguera" hasta llegar a los toros y sus "formas o "propiedades"

EL capítulo del libro es el 8(página 224)

[Alriga]

Re: Sobre la luz.

Para el que esté interesado en eso del "toro bidimensional" ya sea porque no lo entiende o porque le gustaría encontrar más acerca del mismo, hay un libro de Brian Greene llamado "El Universo Elegante" en el que se habla mucho acerca de la física cuántica y de estos "toros".Yo lo he leído, y habla de una manera muy sencilla y extensa del tema(comienza desde un "tubo" o "manguera" hasta llegar a los toros y sus "formas o "propiedades"
EL capítulo del libro es el 8 (página 224)

Tengo el libro, y te has confundido de "toros" El capítulo que mencionas intenta explicar como se "enrollan" las hipotéticas dimensiones espaciales adicionales de las supercuerdas que no podemos ver. Y para ello usa analogías de tubos, toros, etc.

Pero no tiene nada que ver con lo que estamos hablando ahora en el hilo, que es la geometría global de todo el Universo. Aquí se está hablando de lo más grande que existe, y en ese capítulo del libro de algo más pequeño que las propias partículas, (las supercuerdas que teóricamente las forman)

Saludos.

[Nedwer]

Re: Sobre la luz.

Tengo el libro, y te has confundido de "toros" El capítulo que mencionas intenta explicar como se "enrollan" las hipotéticas dimensiones espaciales adicionales de las supercuerdas que no podemos ver. Y para ello usa analogías de tubos, toros, etc.

Pero no tiene nada que ver con lo que estamos hablando ahora en el hilo, que es la geometría global de todo el Universo. Aquí se está hablando de lo más grande que existe, y en ese capítulo del libro de algo más pequeño que las propias partículas, (las supercuerdas que teóricamente las forman)

Saludos.

Mil disculpas. Al leer "toros" me surgió la idea del libro, en el cual había leído de los mismos,pero no creí(no los he visto nunca en geometría) que sirviesen para "algo mas" en el mismo campo(como he dicho, no tenía noción de que era una superficie geométrica).
Si asi gustan,pueden eliminar el comentario para evitar confusiones o dejarlo.
Acerca de los enlaces,he olvidado el copyright del Sr. Greene. Solo voy a decir que el libro está distribuyéndose "gratuitamente" en Internet,en PDF.
Saludos.

[skynet]

Re: Sobre la luz.

-Viajando siempre en línea recta, acabarías volviendo al punto de partida. (Análogamente a una superficie esférica, no habría fronteras, pero la cantidad de espacio sería finita)

sí, pero en esta analogía, utilizas una propiedad 2D (superficie) de una figura 3D (esfera).....consecuentemente para una propiedad 3D (volumen) será necesario una figura 4D.....esto implicaría que el universo tiene 4 dimensiones espaciales, ¿no es así?........en caso contrario no veo cómo puede confinarse un volumen finito de un universo tridimensional sin que exista límites.

[Weip]

Re: Sobre la luz.

sí, pero en esta analogía, utilizas una propiedad 2D (superficie) de una figura 3D (esfera).....consecuentemente para una propiedad 3D (volumen) será necesario una figura 4D.....esto implicaría que el universo tiene 4 dimensiones espaciales, ¿no es así?........en caso contrario no veo cómo puede confinarse un volumen finito de un universo tridimensional sin que exista límites.

No, de hecho podríamos decir que es un descubrimiento clásico, y es que estas propiedades geométricas son intrínsecas. No necesitas meter la esfera en espacios de dimensión superior para estudiar estas cosas. Algo parecido nos pasa a nosotros con la Tierra: sin necesidad de ir al espacio podemos saber que es esférica, simplemente recorriendo su superfície, en ningún momento usamos una "propiedad 3D". La analogía tiene sus límites pues el espacio exterior existe pero no se me ha ocurrido otra mejor.

[Jaime Rudas]

Re: Tri-Toro

El toro bidimensional al que me refería es la superficie 2D de un donut en nuestro espacio normal 3D. Si me hubiese querido referir a algo diferente hubiese precisado más. Y es evidente que esa superficie 2D no es isótropa.

Ya veo: me confundió el hecho de que lo mencionaras como respuesta a mi duda sobre la isotropía de los toros planos.

Entiendo que dices que en cambio, el tri-toro sí es isótropo,

El realidad, tanto el 2-toro como el 3-toro pueden ser planos (o sea, de curvatura nula). Mi duda es precisamente si ese tipo de toros son o no isótropos.

[Alriga]

Re: Sobre la luz.

... El realidad, ... el 2-toro ... puede(_n) ser plano(_s) (o sea, de curvatura nula) ...

Si mis muy lejanos y brumosos recuerdos de la poca geometría diferencial que di en la carrera no me fallan la superficie del donut, (supongo que a eso nos referimos cuando decimos 2-toro) no puede ser plana porque no tiene ningún punto plano. El donut (ver figura) tiene:




- Puntos elípticos: las dos curvaturas principales $k_1$ y $k_2$ tienen el mismo signo. La curvatura de Gauss $K=k_1 \cdot k_2>0$ es positiva

- Puntos hiperbólicos: las dos curvaturas principales tienen distinto signo. La curvatura de Gauss $K=k_1 \cdot k_2<0$ es negativa

- Puntos parabólicos: una de las curvaturas principales es cero y la otra es distinta de cero. La curvatura de Gauss $K=k_1 \cdot 0=0$ es nula

Y no tiene ningún punto plano, que por definición es aquel en el que las dos curvaturas principales son cero $K=0 \cdot 0=0$

Ahora especulo de donde podría venir la frase (para mí completamente errónea) de que el 2-toro puede ser plano:

La curvatura de Gauss de un punto de una superficie es el producto de sus dos curvaturas principales:

$K=k_1 \cdot k_2$

Como los puntos parabólicos del donut tienen $k_2=0$ su curvatura de Gauss es nula

$K=k_1 \cdot 0=0$

Si en el texto que has leído le llamasen “puntos planos” a los que tienen la curvatura de Gauss nula, estarían hablando de los puntos parabólicos de la línea azul del dibujo (y de sus homólogos de la parte inferior del toro). Pero observa que incluso así, sobre el toro completo solo habría 2 círculos que aglutinarían todos esos “puntos planos” Esta interpretación permitiría decir que el 2-toro “tiene puntos planos” pero nunca que “el 2-toro puede ser plano”

... el 2-toro ... Mi duda es precisamente si ese tipo de toros son o no isótropos ...

Si no ves que el 2-toro, (donut) no es isótropo no sé si voy a poder ayudarte, ¿por qué crees que no lo es? Para mi es absolutamente evidente que escojas el punto que escojas, mirando en direcciones diferentes verás cosas diferentes. Sitúate por ejemplo en el punto intersección de la geodésica roja con la geodésica azul. Claramente, se ve un universo 2D diferente si se mira en la dirección roja que si se mira en la dirección azul.

Y sobre si el Tri-Toro es isótropo o no, no tengo ni idea ni sé como demostrarlo. El texto que aportaste ayer del "Gravitation" parece que da a entender que sí lo es, pero me gustaría ver una demostración sin paliativos, (aunque no sé si la entendería).

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Sobre la luz.

la superficie del donut, (supongo que a eso nos referimos cuando decimos 2-toro) no puede ser plana porque no tiene ningún punto plano.

Creo que aquí está la confusión: resulta que, aunque la superficie de una rosquilla es un 2-toro, no todos los 2-toros son como la superficie de una rosquilla. O, más precisamente, un 2-toro plano es topológicamente igual a la superficie de la rosquilla, pero son geométricamente diferentes por lo de la curvatura que mencionabas. Algo de esto se explica aquí:
http://www.science4all.org/article/flat-torus/

[skynet]

Re: Sobre la luz.

pero Weip,

para que una superficie 2D se curve es necesario que exista una tercera dimensión para curvarse sobre ella.......análogamente un volumen 3D debe de necesitar una cuarta dimensión espacial para curvarse ¿no crees?....

a lo que quiero llegar es a aclarar si la curvatura del universo, en caso de existir, implica necesariamente la existencia de una cuarta dimensión espacial o no.....¿Qué opináis?

[Jaime Rudas]

Re: Sobre la luz.

para que una superficie 2D se curve es necesario que exista una tercera dimensión para curvarse sobre ella.......análogamente un volumen 3D debe de necesitar una cuarta dimensión espacial para curvarse ¿no crees?....

a lo que quiero llegar es a aclarar si la curvatura del universo, en caso de existir, implica necesariamente la existencia de una cuarta dimensión espacial o no.....¿Qué opináis?

En realidad, no. Creo que la fuente de la confusión está en que el concepto de curvatura que se utiliza es diferente al que intuitivamente uno se imagina. Puedes visualizarlo de esta forma: si en un determinado espacio se cumple el teorema de Pitágoras, decimos que es plano; si no se cumple, es curvo. O de esta otra forma: si en un determinado espacio la suma de los ángulos internos de los triángulos es pi, es plano; si es mayor que pi, tiene curvatura positiva, y si es menor que pi, tiene curvatura negativa.

[Weip]

Re: Sobre la luz.

pero Weip,

para que una superficie 2D se curve es necesario que exista una tercera dimensión para curvarse sobre ella.......análogamente un volumen 3D debe de necesitar una cuarta dimensión espacial para curvarse ¿no crees?....

a lo que quiero llegar es a aclarar si la curvatura del universo, en caso de existir, implica necesariamente la existencia de una cuarta dimensión espacial o no.....¿Qué opináis?

Como dice Jaime, no. Busca por internet "Teorema Egregium de Gauss", es un teorema famoso del que hay mucha información. Su enunciado intuitivamente es la explicación que ha dado Jaime: la curvatura (de Gauss) solo depende de las propiedades métricas de la superfície en cuestión y no hace falta hacer referencia al espacio ambiente: exista o no exista, la curvatura en todos los puntos de la esfera está bien definida y es la misma. El mensaje #50 de Alriga te puede ayudar en la clasificación de puntos. ¡Saludos!

[Alriga]

Re: Sobre la luz.

sí, pero en esta analogía, utilizas una propiedad 2D (superficie) de una figura 3D (esfera).....consecuentemente para una propiedad 3D (volumen) será necesario una figura 4D.....esto implicaría que el universo tiene 4 dimensiones espaciales, ¿no es así?........en caso contrario no veo cómo puede confinarse un volumen finito de un universo tridimensional sin que exista límites.

Como dice Jaime, no. Busca por internet "Teorema Egregium de Gauss", es un teorema famoso del que hay mucha información. Su enunciado intuitivamente es la explicación que ha dado Jaime: la curvatura (de Gauss) solo depende de las propiedades métricas de la superfície en cuestión y no hace falta hacer referencia al espacio ambiente: exista o no exista, la curvatura en todos los puntos de la esfera está bien definida y es la misma. El mensaje #50 de Alriga te puede ayudar en la clasificación de puntos. ¡Saludos!

Hola Weip, gracias por responder a supernena. Yo no me he atrevido a contestarle porque aunque conozco la respuesta correcta, (“de libro”), que es la que tú has dado y resumo, corrígeme si me equivoco:

1. Una superficie se caracteriza por su curvatura

2. La curvatura solo depende de la Primera Forma Fundamental (Teorema Egregio)

3. La Primera Forma Fundamental es intrínseca de la Superficie

4. Por lo tanto una superficie se puede caracterizar con medidas intrínsecas en ella.

NO sé defender matemáticamente el argumento. Entiendo que el quid de la cuestión está en calcular la 1ª forma fundamental con medidas intrínsecas en mi superficie, pero ¿Cómo se hace?

Yo sé calcular la 1ª forma fundamental mediante derivadas parciales de la manera habitual si me dan una parametrización de la superficie, es decir si me dan una expresión

$\vec r(u, \ v)=( \ x(u, \ v), \ y(u, \ v), \ z(u, \ v) \ )$

Pero en esa expresión no hay medidas intrínsecas. Mas bien parece todo lo contrario. "Parece" que estás usando un espacio (x, y, z) de dimensión 3 para estudiar la superficie de dimensión 2.

¿Qué “medidas intrínsecas” necesito hacer en mi superficie y qué ecuaciones a partir de ellas permiten obtener la 1ª forma fundamental?

Gracias y saludos.

[skynet]

Re: Geometría del Universo

no me parece que el teorema egregium de gauss responda a la cuestion que plateo.....el teorema dice que puedes medir la curvatura de una supeficie sin necesidad de salir de ella.....pero lo que está claro es que una superficie curva necesita la existencia de una tercera dimension espacial para poder curvarse sobre ella por lo que sigo pensando que si el universo es curvo es necesario que exista una cuarta dimensión espacial para que pueda curvarse sobre ella.

[Weip]

Re: Sobre la luz.

Hola Alriga.

1. Una superficie se caracteriza por su curvatura

Curvatura... ¿de Gauss? Si así fuera no podrías distinguir un plano de un cilindro puesto que sus curvaturas de Gauss son nulas en todos los puntos.

2. La curvatura solo depende de la Primera Forma Fundamental (Teorema Egregio)

La curvatura de Gauss sí.

3. La Primera Forma Fundamental es intrínseca de la Superficie

Una noción es intrínseca si se puede calcular con la Primera Forma Fundamental. Esto no es una definición. Es una forma de hablar. Digamos que la Primera Forma Fundamental es intrínseca porque nos parece natural que sea así.

4. Por lo tanto una superficie se puede caracterizar con medidas intrínsecas en ella.

Esto no lo sé. Conozco algunos teoremas relativos al tema pero todos hacen uso de nociones extrínsecas o nociones topológicas (y en esto ultimo no creo que tenga sentido decir si son intrínsecas o extrínsecas).

Entiendo que el quid de la cuestión está en calcular la 1ª forma fundamental con medidas intrínsecas en mi superficie, pero ¿Cómo se hace?

La Primera Forma Fundamental siempre se puede ver como una aplicación $I_p: T_pS \times T_pS \to \mathbb{R}$. El tema es ¿de dónde cogemos el producto escalar? De $T_pS$. ¿Y cuál es el producto escalar de $T_pS$? Pues... tiene que venir de antemano. Si te pregunto en $\mathbb{R}^2$ cuál es el producto escalar entre $(1,0)$ y $(2,7)$ ¿que contestarías? Yo no he especificado ningún producto escalar y hay infinitos. Si no te lo doy, no tiene sentido hablar de las propiedades métricas de $\mathbb{R}^2$ tal como las entendemos en geometría afín. Con la Primera Forma Fundamental pasa lo mismo. Lo primero que podríamos intentar sería dar un producto escalar natural en $T_pS$. El problema es que lo que nosotros entendemos por producto escalar natural no es más que el producto escalar euclídeo. Algo parecido pasa con las topologías en el espacio de Minkowski en el que la topología natural de $\mathbb{R}^4$ no tiene interés físico y realmente no hay ninguna topología prioritaria sobre otras "interesantes" en algún sentido.

No sé si habré resultado convincente. Supongo que no. Por si te sirve de consuelo el ir creando nociones intrínsecas más fundamentales solo lleva a un descenso infinito de propiedades fundamentales definidas en términos de otras aún más fundamentales. Nunca acabaríamos. Hay que decidir cuál es la más fundamental según lo que nos parezca natural como seres humanos encerrados en tres dimensiones espaciales. La Primera Forma Fundamental es la elegida. Aún así decir que igual hay argumentos más convincentes recordando que la Primera Forma Fundamental la puedes ver como una métrica riemanniana. Pero si existen no los conozco. En resumen: La Primera Forma Fundamental de una superficie que no has embedido en ningún sitio tiene que ser dada de antemano al igual que pasa con los productos escalares en álgebra lineal y en geometría afín con la diferencia que la elección más natural no es la más útil en el caso de las superficies.

no me parece que el teorema egregium de gauss responda a la cuestion que plateo.....el teorema dice que puedes medir la curvatura de una supeficie sin necesidad de salir de ella.....pero lo que está claro es que una superficie curva necesita la existencia de una tercera dimension espacial para poder curvarse sobre ella por lo que sigo pensando que si el universo es curvo es necesario que exista una cuarta dimensión espacial para que pueda curvarse sobre ella.

Al principio lo dices bien y luego mal. El teorema Egregium de Gauss efectivamente te dice que el espacio ambiente puede existir (en cuyo caso creo que no tienes problema para imaginarlo) o no (y entonces la curvatura tiene sentido de igual forma). No es obligatorio tener la superficie embedida en algún espacio de dimensión superior para hablar de curvatura. Por necesitar terceras dimensiones, no las necesitas. Y si te es más cómodo suponer un espacio ambiente pues hazlo. El teorema de Nash te permite hacerlo. Pero que lo hagas o no a Gauss le da igual.

[Alriga]

Re: Geometría del Universo

Gracias por tu esfuerzo Weip. Igual me he liado demasiado.

Hago preguntas de otra manera. Yo soy un planohabitante, habitante de una Planilandia. Hago triángulos en muchas zonas de mi mundo. Y en ellas:

1. La suma de los ángulos internos siempre suma más de dos rectos. Entonces sé que mi mundo solo tiene puntos elípticos: podría ser una esfera un elipsoide, un paraboloide,... Pero si además todos los triángulos de lados iguales me dan el mismo exceso, deduzco que mi mundo es isótropo y solo puede ser una esfera.

2. La suma de los ángulos internos siempre suma menos de dos rectos. Entonces sé que mi mundo solo tiene puntos hiperbólicos ... bla, bla, bla, ... mi mundo es un paraboloide hiperbólico.

3. La suma de los ángulos internos siempre suma dos rectos. Entonces sé que mi mundo solo tiene puntos parabólicos. Puedo estar en un plano, un cilindro parabólico, un cilindro hiperbólico,... Si trazo paralelas no se cortan nunca y tampoco puedo distinguir entre el plano y uno de esos cilindros. Si miro el área de triángulos creo que tampoco. Si los cilindros son isométricos con el plano, ¿hay alguna manera en que el planohabitante pueda de distinguir si vive en un plano o en un cilindro parabólico?

Saludos.