¿Son los tensores de Ricci y de Einstein una medida de la curvatura del espacio-tiempo?

[inakigarber]

Pienso que sí, pero hay una cuestión que no acabo de entender bien, que es la relativa a la métrica de Schwarszchild, cuyos valores del tensor de Ricci, del tensor de Einstein y del escalar de Ricci son nulos. Todo hace pensar que son correctos, pero eso me parece estar en contradicción con la frase de que donde hay masa energía hay curvatura en el espacio-tiempo.

Supongo que tras esto debe haber alguna mala interpretación por mi parte, pero no acierto a ver por donde y me gustaría averiguarlo.

¿Como podría corregir mi error?

Saludos y gracias

[Richard R Richard]

No se explicarlo con mis palabras si pasarte mis propias dudas o errores.

Matemáticamente, la métrica de Schwarzschild normalmente representa solo una parte del espacio-tiempo más grande posible con simetría esférica, la variedad diferencia máxima que amplía la métrica de Schwarzschild se conoce como métrica de Kruskal-Schwarzschild o solución de Kruskal. Sin embargo, esta solución representa un espacio totalmente vacío (además de algunos rasgos "exóticos"), por lo que no es esencialmente relevante para describir un cuerpo o un agujero negro físico.

El contenido material de un espacio-tiempo viene dado por su tensor de energía-impulso , para el caso de la métrica de Schwarschild para la región con $r > max( 2GM/c 2 , R e )$ resulta estar completamente vacío, ya que el tensor de Ricci asociado a la métrica se anula en esa región. Por tanto, la métrica de Schwarzschild representa una solución de vacío, para la región exterior al cuerpo esférico que produce el campo gravitatorio.

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A..._Schwarzschild

Seguramente confundes tensor de Ricci de la métrica con el tensor energía impulso... o algo así

[javisot20]

Pienso que sí, pero hay una cuestión que no acabo de entender bien, que es la relativa a la métrica de Schwarszchild, cuyos valores del tensor de Ricci, del tensor de Einstein y del escalar de Ricci son nulos. Todo hace pensar que son correctos, pero eso me parece estar en contradicción con la frase de que donde hay masa energía hay curvatura en el espacio-tiempo.

Supongo que tras esto debe haber alguna mala interpretación por mi parte, pero no acierto a ver por donde y me gustaría averiguarlo.

¿Como podría corregir mi error?

Saludos y gracias

Entiendo que te parece contradictorio que siendo tanto Minkowski como Schwarszchild soluciones de vacío, una solución no tenga curvatura y la otra sí. No es extraño, por ejemplo el vacío cercano a un objeto material no contiene materia, pero puede contener campo gravitatorio (generado por el objeto material).


¿Un agujero negro (Schwarszchild) contiene materia?

Sí y no, la singularidad no se considera parte del espacio-tiempo en el sentido de poder decir que contiene materia, pero el resto del espacio-tiempo de Schwarszchild tiene curvatura. La idea de tener espacio-tiempos vacíos con curvatura son las llamadas "vacuum solutions" de las ecuaciones de campo de Einstein, luego puedes tener espacio-tiempo tipo Ads y demás que son llamados "Lambda vacuum solutions", puedes construir muchas soluciones de vacío distintas interesantes.

https://en.wikipedia.org/wiki/Vacuum_solution

[inakigarber]

Entiendo que te parece contradictorio que siendo tanto Minkowski como Schwarszchild soluciones de vacío, una solución no tenga curvatura y la otra sí. No es extraño, por ejemplo el vacío cercano a un objeto material no contiene materia, pero puede contener campo gravitatorio (generado por el objeto material).


¿Un agujero negro (Schwarszchild) contiene materia?

Sí y no, la singularidad no se considera parte del espacio-tiempo en el sentido de poder decir que contiene materia, pero el resto del espacio-tiempo de Schwarszchild tiene curvatura. La idea de tener espacio-tiempos vacíos con curvatura son las llamadas "vacuum solutions" de las ecuaciones de campo de Einstein, luego puedes tener espacio-tiempo tipo Ads y demás que son llamados "Lambda vacuum solutions", puedes construir muchas soluciones de vacío distintas interesantes.

https://en.wikipedia.org/wiki/Vacuum_solution

Gracias por vuestras respuestas;

Creo que sigo estando un tanto confundido.

Siempre había pensado que el hecho de que los tensores de curvatura fueran nulos implicaba que el espacio-tiempo tenía que ser obligatoriamente plano y euclidiano (sin otra solución posible) pero parece que esto no es así. Luego, en las soluciones de vacío puede haber soluciones con curvatura (cómo la de Schwarszchild) y soluciones sin curvatura cómo la de Minkowsky (que sería el caso de un objeto que se mueve a velocidades relativistas a una distancia infinita de la fuente de gravedad) o la de la métrica Euclidiana clásica (que correspondería a un objeto a velocidades no relativistas a una distancia infinita de dicha fuente gravitatoria). Es la única lógica que le veo, pero me resulta incómoda y confusa.

¿Es esto correcto?

[javisot20]

Gracias por vuestras respuestas;

Creo que sigo estando un tanto confundido.

Siempre había pensado que el hecho de que los tensores de curvatura fueran nulos implicaba que el espacio-tiempo tenía que ser obligatoriamente plano y euclidiano (sin otra solución posible) pero parece que esto no es así. Luego, en las soluciones de vacío puede haber soluciones con curvatura (cómo la de Schwarszchild) y soluciones sin curvatura cómo la de Minkowsky (que sería el caso de un objeto que se mueve a velocidades relativistas a una distancia infinita de la fuente de gravedad) o la de la métrica Euclidiana clásica (que correspondería a un objeto a velocidades no relativistas a una distancia infinita de dicha fuente gravitatoria). Es la única lógica que le veo, pero me resulta incómoda y confusa.

¿Es esto correcto?

Correcto.

Tanto en Minkoswki como en Schwarzschild el tensor de Ricci es nulo, pero en Schwarschild el tensor de Riemann no es nulo.

Como ya sabrás las ecuaciones de campo de Einstein relacionan una cierta distribución de energía con una cierta geometría del espaciotiempo. Puedes quitar la matería y quedarte sólo con un "mapa de curvatura", es decir, una solución de vacío que describe curvaturas. De hecho, como una solución de vacío es básicamente una solución de no vacío a la que le hemos quitado la materia, existen tantas soluciones de vacío como soluciones de no vacío.

Imagina que haces trabajar a las ecuaciones de Einstein con materia exótica, lo que generará curvaturas exóticas. En ese punto puedes quitar la materia exótica y quedarte sólo con el mapa de curvatura exótica resultante para estudiar sus propiedades, por ejemplo.