Avanzado Tensor de Ricci

[Visitante]

Hola.

¿Alguien se anima a calcular el tensor de Ricci con esta metrica?

$\dst{ds^2 = -c(a)^2\:dt^2 + a^2\:dr^2 + a^2\: r^2 d \theta^2 + a^2\: r^2 sen^2 \theta\: <br /> d \varphi^2}$

Esto se puede hacer 'a mano' pero hay 64 Christofells y 256 terminos de Riemann y
despues contraer el tensor de Riemann en el tensor de Ricci...Y esto es una labor ingente,
metodica y muy delicada. (Creo que hay algún programa que lo calcula automaticamente).

Esto ya lo hizo Richard en Agosto de 2015 con la metrica FLRW. 'Terminos de las ecuaciones
de Einstein de la Teoria de la Relatividad General'.

$\dst{ds^2 = -c^2\:dt^2 + \frac{a^2}{(1- \varepsilon\: r^2)}dr^2 + a^2\: r^2 d\theta^2 + a^2\: r^2 sen^2 \theta\: d \varphi^2}$

Lo digo porque de las ecuaciones de Friedmann se deduce:

$\dst{H_0^2=\frac{8\:\pi }{3}\:\frac{G}{c^2}\:\delta_{E0}}$

Y veo que la constante de Hubble actual es funcion de la densidad de Energia total actual y de
la constante de gravitacion y de la velocidad de la luz. (Si midiesemos c = 0, entonces H_0 seria
infinita para cualquier valor de la densidad de Energia, y si midiesemos c = infinita, entonces
H_0 seria 0 para cualquier valor de la densidad de Energia. (Un Modelo estatico). Curioso!!!)
Gracias y un saludo.

[Weip]

Re: Tensor de Ricci

Usando este código de Mathematica me ha salido esto:

$R_{tt}=\dst\frac{3\dot{a}^2c'(a)-3c(a)\ddot{a}}{ac(a)}$

$R_{rr}=\dst\frac{-a\dot{a}^2c'(a)+c(a)(2\dot{a}^2+a\ddot{a})}{c(a)^3}$

$R_{\theta\theta}=\dst\frac{r^2(-a\dot{a}^2c'(a)+c(a)(2\dot{a}^2+a\ddot{a}))}{c(a)^3}$

$R_{\phi\phi}=\dst\frac{r^2\sin^2(\theta)(-a\dot{a}^2c'(a)+c(a)(2\dot{a}^2+a\ddot{a}))}{c(a)^3}$

El resto de componentes son cero. Lo he repasado pero revísalo tú también por si me he equivocado al copiar el resultado o por si lo he puesto mal en el ordenador que también podría ser.

[Visitante]

Re: Tensor de Ricci

Gracias Weip.
Una forma que se me ocurre para comprobar estos terminos es hacer:

$\dst{c(a)\:=\:c\:=\:cte}$

Y entonces el resultado debe dar los terminos clasicos del tensor de Ricci para
la metrica FLRW y curvatura = 0.

$\dst{R_{00}=\frac{-3\ddot{a}}{a}}$

$\dst{R_{11}=\frac{\ddot{a}a}{c^2}+\frac{2\dot{a}^2}{c^2}}$

$\dst{R_{22}=(\frac{\ddot{a}a}{c^2}+\frac{2\dot{a}^2}{c^2})r^2}$

$\dst{R_{33}=(\frac{\ddot{a}a}{c^2}+\frac{2\dot{a}^2}{c^2})r^2\:sen^2\theta}$

Y SI, coinciden.
Un saludo.

[Alriga]

Re: Tensor de Ricci

FVPI, sobre este tema, ¿has visto el blog de Richard R. Richard Ecuación de estado en la Metrica FLRW con velocidad de la luz variable?

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Tensor de Ricci

(Si midiesemos c = 0, entonces H_0 seria
infinita para cualquier valor de la densidad de Energia, y si midiesemos c = infinita, entonces
H_0 seria 0 para cualquier valor de la densidad de Energia. (Un Modelo estatico). Curioso!!!)

Se me ocurren tres pegas:
1) Opino que no hay forma de medir que un parámetro sea cero o infinito: a lo sumo podremos determinar que es menor que el mínimo de detectabilidad de nuestro instrumento de medida o que es mayor que el máximo.
2) Si c es cero o infinito, creo, pierde sentido la teoría de la relatividad.
3) Ho=0 no implica necesariamente un modelo estático: podría tratarse de uno dinámico en, por ejemplo, el preciso momento en que pasa de expansión a contracción.

Saludos,

[Visitante]

Re: Tensor de Ricci

Gracias Alriga y Jaime.
Pues...NO. No habia visto el blog de Richard...
Voy a leerlo detenidamente pero tiene toda la apariencia de lo que yo pretendia hacer...
Si lo que escribe Richard es correcto...
Un problema es determinar cual es la funcion c(a) porque no parece que 'c'
haya variado mucho entre la epoca del CMB y la actual...
(Quizas en las transiciones de fase...)
Y SI Jaime, c = 0 no tiene mucho sentido pero c = infinito es lo que presupone
la Mecanica Clasica. Y SI...H = 0 no supone un modelo estatico...
Lo que si me parece claro es que tanto H, G, c y $\dst{\delta_{E0}$
deben estár ligadas por una teoría subyacente a la RG.
Un saludo.

[Jaime Rudas]

Re: Tensor de Ricci

Y SI Jaime, c = 0 no tiene mucho sentido pero c = infinito es lo que presupone la Mecanica Clasica.

Sí, pero, para el caso de la mecánica clásica, Ho y, en general, H no dependen de c, por lo que, aun siendo c infinito, Ho no es necesariamente cero, como puedes ver aquí.

[Richard R Richard]

Re: Tensor de Ricci

Usando este código de Mathematica me ha salido esto:

Nahhh....me esta cachando y yo al estilo 1906....

Gracias Weip.
Una forma que se me ocurre para comprobar estos terminos es hacer:

$\dst{c(a)\:=\:c\:=\:cte}$

Con respecto a lo que calcule hace tiempo en mi blog hay una inversión de signos, que no influye en nada al significado físico.

Cuando haces $c=cte$ hay sumandos que dependen de $\dot c$ que se vuelven nulos, y observando las ecuaciones de Friedmann entonces

$-8\:\pi\:G\:\delta = 3 \dfrac{\dot{a}^2}{a^2} + 3 \dfrac {k\:c^2}{a^2} \mathbf{+4 \dfrac{\dot{a}\dot{c}}{ac}}+ \Lambda c^2$

y

$\dfrac{8\:\pi\:G\:p}{c^2} = 2 \dfrac{\ddot{a}}{a}\mathbf{+ 2 \dfrac{\dot a \dot c}{ac}}+\dfrac{\dot{a}^2 }{a^2}+\dfrac{ k\:c^2}{a^2} + \Lambda\:c^2$

lo que esta en negritas se vuelve 0 y obtienes las ecuaciones de Friedmann originales

Sí, pero, para el caso de la mecánica clásica, Ho y, en general, H no dependen de c, por lo que, aun siendo c infinito, Ho no es necesariamente cero, como puedes ver aquí.

Pues claro tienes razón Jaime si $c=\infty$ si hubiera una una función $H=f(c,t)$ es evidente que H en definitiva converge a un único valor para cada $t$ y esto es significa que es independiente de $c$.




En definitiva lo que altera el modelo de velocidad de la luz variable, es una función de $\dfrac{\dot{a}\dot{c}}{ac}$

es decir una función de las tasas de variación del factor de escala y la velocidad de la luz con respecto a los valores actuales.

Un problema es determinar cual es la funcion c(a) porque no parece que 'c'
haya variado mucho entre la epoca del CMB y la actual...
(Quizas en las transiciones de fase...)

En realidad te refieres a determinar como es $c(t$) y con los datos experimentales se podría especular sobre $c(a)$, si $a$ es $a=f(t)$ puede existir su inversa $t =f^{-1}(a)$ y entonces $c(t)=c(f^{-1}(a))=g(a)\cong c(a)$

ya que en el modelo matemático $a$ y $c$ son funciones independientes de la misma variable $t$.

Y como tu dices , se ha visto aparentemente que $\dot c$ es muy pequeña y entonces este termino quiza influya sobre las predicciones del modelo a velocidad constante.

[Visitante]

Re: Tensor de Ricci

Hola Weip y Richard.
He comparado vuestros 2 terminos de Ricci y he visto diferencias:
Disculpad si me equivoco.

1.- En cuanto a R_00:
Yo creo que el termino correcto debe ser:

$\dst{R_{00}=\frac{3\dot{a}\dot{c}}{ac}-\frac{3\ddot{a}}{a}}$

(El R_00 de Weip creo que no es dimensionalmente correcto y el R_00 de
Richard tiene un problema de signos y probablemente le falta un '3')

2.- Y en cuanto al factor comun de R_11, R_22 y R_33:
Yo creo que el factor correcto debe ser:

$\dst{\frac{-a\dot{a}\dot{c}+2c\dot{a}^2+ac\ddot{a}}{c^3}}$

(El factor de Weip creo que no es dimensionalmente correcto y el factor
de Richard tiene un problema de signos)

3.- Si fuese asi, cuadraria tambien con el tensor de Ricci clasico FLRW haciendo
c(a) = c = cte.

Gracias y un saludo.

P.S. Yo creo que es mejor plantear c(a) en vez de c(t) porque al final me voy a encontrar con
una integral dt = f(a) da, que tendrá fácil solución, en vez de una integral f(t) dt = f(a) da,
que puede tener una solución complicada...

[Visitante]

Re: Tensor de Ricci

Hola Richard.
Creo que en tu blog que menciona Alriga tienes 1 error...(En un momento
escribes el termino de Ricci (R_00) de una forma y mas abajo, cuando planteas
la ecuacion de Einstein, la escribes y la calculas de otra...)
Y seguramente debe haber algún problema con los signos...
Esto hace que ese termino extra que te aparece en la primera ecuacion de
Friedmann tenga un coeficiente de 4...Cuando en realidad deberia ser 6...ó 0...
A mi, me sale 0...O sea, que el termino geometrico de la primera ecuacion
de Friedmann es independiente de la funcion c = f(a)...
(Esto me parece logico).
No pasa lo mismo con el termino de Energia, porque aquí si interviene la
funcion c(a)...
(Ten en cuenta que yo considero curvatura = 0 e integro la constante cosmologica
dentro del termino sumatorio de densidades de Energia).
Al final, a mi, me sale:

$\dst{H^2=H_0^2\frac{c_0^2}{c(a)^2}(\sum_{i}\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})}$

Gracias y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Tensor de Ricci

Hola FVPI en base a los errores que marcaste he revisado el Blog, que he hecho a mano y algo de excel para que la memoria no falle, pero falla...
las derivaciones de los errores, cambian otros resultados, y me llevo tiempo revisar y mas que nada me llevo tiempo encontrar los apuntes para ver donde meti la pata.

Revisa a ver si coincidimos Gracias

Saludos

[Visitante]

Re: Tensor de Ricci

Hola Richard.
Si hacemos:

$\dst{g_{00}=-c^2\:;\:g_{11}=a^2\:;\:g_{22}=a^2r^2\:;\:g_{33}=a^2r^2sen^2\theta}$

$\dst{R_{00}=-\frac{3\ddot{a}}{a}+\frac{3\dot{a}c'}{ac}}$

$\dst{R_{11}=-\frac{a\dot{a}c'}{c^3}+\frac{2\dot{a}^2}{c^2}+\frac{a\ddot{a}}{c^2}}$

$\dst{R_{22}=R_{11}\:r^2\:;R_{33}=R_{11}\:r^2\:sen^2\theta}$

Me sale un escalar de Ricci:

$\dst{R=+\frac{6}{a^2c^2}(\ddot{a}a-\frac{a\dot{a}c'}{c}+\dot{a}^2)}$

Y aplicando las ecuaciones de Einstein:

$\dst{R_{00}-\frac{1}{2}R\:g_{00}=T_{00}\:g_{00}}$

$\dst{R_{11}-\frac{1}{2}R\:g_{11}=T_{11}\:g_{11}}$

Y:

$\dst{T_{00}=-\frac{8\pi G}{c^4}\:\delta_{E}}$

$\dst{T_{11}=\frac{8\pi G}{c^4}\:p}$

Me salen las 2 ecuaciones de Friedmann modificadas:

(Conservacion de la Energia)

$\dst{(\frac{\dot{a}}{a})^2=\frac{8\pi}{3}\:\frac{G}{c^2}\:\delta_E}$

(Equilibrio de Fuerzas)

$\dst{(\frac{\dot{a}}{a})^2+\frac{2\ddot{a}}{a}-\frac{2\dot{a}c'}{ac}=-\frac{8\pi\:G}{c^2}\:p}$

(El hecho que considere curvatura = 0 y constante cosmologica = 0, para mi, no tiene
importancia porque luego las puedo incluir cuando cambie estas ecuaciones con las
ecuaciones de estado. (w = - 1/3 para la curvatura y w = -1 para la cte cosmologica))

Repasalo si tienes un momento.
Gracias y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Tensor de Ricci

Hola FVPI no he revisado todo pero las componentes 11,22,33 del tensor dependen de k , factor que no inclyes en tu formula.

[Visitante]

Re: Tensor de Ricci

Hola.

1.- Hago k = 0 y constante cosmológica = 0 porque solo quiero trabajar con modelos
planos. De cualquier forma, no tiene importancia porque luego las incluiré cuando cambie las
ecuaciones de Friedmann con las ecuaciones de estado. (w = - 1/3 para la curvatura y
w = -1 para la cte cosmologica))

2.- Con Richard tenemos R_00, R y las 2 ecuaciones de Friedmann invertidas en signos.
Y R_11 que difiere en 2 signos...

3.- Estoy haciendo una prueba con un modelo que me ha parecido interesante.

He hecho:

$\dst{c=\frac{c_0}{a^\frac{1}{4}}}$

$\dst{\Omega_{masa}=0.3088244\:;w=0}$

$\dst{\Omega_{radiacion}=0.0000756\:;w=\frac{1}{3}}$

$\dst{\Omega_{curvatura}=0.6911\:;w=-\frac{1}{3}}$

Y anulo:

$\dst{\Omega_{\Lambda }=0.0\:;w=-1}$

Y obteniendo de la 1ª de Friedmann:

$\dst{H^2=H_0^2\frac{c_0^2}{c(a)^2}(\sum_{i}\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})}$

Y de la 2ª de Friedmann:

$\dst{\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{1}{2}H^2-\frac{3}{2}H_0^2(\sum_{i}w_i\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})+H\frac{\dot{c}(t)}{c}}$

Y calculando...

Pero no me funciona !!!

Por ejemplo:

a = 0.9999
t = 14340.23 (Ma) = 0.4522334E+18 seg
H=0.2195499E-17 (1/ seg)
c=1.000025 x c0 (cm/seg)
H0 = 2.1953E-18 (1/seg)

$\dst{\dot{a}=0.2195279E-17\:\:(1/seg)}$

$\dst{\ddot{a}=-0.5280472E-35\:\:(1/seg^2)\:\:(desacelerando)}$

$\dst{\frac{d\dot{a}}{dt}=+0.4602918E-36\:\:(1/seg^2)\:\:(acelerando)}$

Y:

a = 1.0000
t = 14341.67 (Ma) = 0.4522790E+18 seg
H=0.2195300E-17 (1/ seg)
c=1.000000 x c0 (cm/seg)
H0 = 2.1953E-18 (1/seg)

$\dst{\dot{a}=0.2195300E-17\:\:(1/seg)}$

$\dst{\ddot{a}=-0.5280012E-35\:\:(1/seg^2)\:\:(desacelerando)}$

$\dst{\frac{d\dot{a}}{dt}=+0.4603058E-36\:\:(1/seg^2)\:\:(acelerando)}$

Un mismo parámetro, calculado de 2 formas diferentes, con diferentes valores...???
No sé porque ni encuentro el error...

Gracias y un saludo.

[CharlesMcAndrew]

Re: Tensor de Ricci

Simplemente dejo constancia de que para el cálculo tensorial habitual aparte de mathematica se puede usar máxima, que lo lleva de serie y no necesita pacakages externos. En particular Ctensor permite cálcular el tensor de Ricci de manera muy directa.

http://maxima.sourceforge.net/docs/m...maxima_26.html

Una gran ventaja de máxima sobre mathematica (aparte de ser software gratuito) es que está disponible para android y lo puedes usra en el tablet o móvil. https://play.google.com/store/apps/d...p.yhonda&hl=es