Otra vez la duda de E=mc2

[pod]

Re: Otra vez la duda de E=mc2

Pod, te acabas de cargar de un plumazo la invariancia de Lorentz de la naturaleza.

Vamos a ver. Un objeto aislado, sea una particula, un fluido, un campo, un planeta, o una patata frita, tiene una energía total y un momento total. La energía total y el momento total del sistema dependen del sistema de referencia del observador. No obstante, el sistema tiene una propiedad intrínseca, invariante de lorentz, que es la masa en reposo, o la masa si lo prefieres, dada por

$$(E)^2 = m^2 c^4 + m^2 p^2 \ .$$

Luego, uno puede hacer el ejercicio de intentar separar la energía total E en distintas componentes cinéticas y potenciales, pero lo que está claro es la expresión anterior.

Siento que no te guste el principio de acoplamiento mínimo. Pero no me lo he inventado yo. Te pondré un ejemplo: una partícula en el si de un campo electromagnético. El lagrangiano es

$$L = - m c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} + q (\vec v \times \vec A) - q \phi \ .$$

Copiado directamente de mis apuntes de la carrera, que no me lo sé de memoria Los momentos serán

$$\pi_i = m \gamma v_i + q A_i = p_i + q A_i \ ,$$

con lo que nos queda el siguiente hamiltoniano

$$H = \sqrt{m^2c^4 + c^2(\vec \pi -q\vec A)^2} + q\phi \ .$$

Ahora bien, si el hamiltoniano es la energía, esto nos da

$$(E - q \phi )^2 = m^2 c^4 + c^2(\vec \pi -q\vec A)^2 \ .$$

Lo cual, si nos emperramos en poner el momento "normal", $\vec p = m \gamma \vec v$

$$(E - q \phi )^2 = m^2 c^4 + c^2 p^2 \ ,$$

que extrañamente se parece mucho a lo que puse en mi mensaje anterior, si la energía potencial fuera $q \phi$, donde esa $\phi$ es el potencial eléctrico.

Por lo tanto, según tú, ¿la electrodinámica clásica no es una teoría invariante Lorentz? La verdad es que esa ecuación será invariante siempre que $\phi$ se comporte como la componente cero de un cuadrivector. Y sabemos que ese es el caso, ya que es la componente cero del potencial cuadri-vector electromagnético.

Por otro lado, la relatividad que yo conozco y amo, no es sólo una teoría de partículas. Vale para partículas, campos (electromagnéticos o de otro tipo), fluidos, sistemas cuánticos y cualquier cosa que existe en la naturaleza, y funciona divinamente.

Las leyes fundamentales siempre son para las partículas fundamentales. Luego uno puede ir aplicándolas a agregaciones de partículas, y sacar leyes efectivas para cuerpos macroscópicos.

Ocurre exactamente lo mismo en la teoría newtoniana: los tres principios de Newton son para partículas. Luego, uno las aplica al sólido rígido, por ejemplo, y acaba deduciendo leyes que nos permiten encontrar leyes para tratarlos. No te olvides que si podemos utilizar las leyes de Newton a cuerpos macroscopicos es por que existe un teorema que nos asegura que podemos tratar de forma independiente el movimiento del centro de masas y el movimiento particular a su al rededor (y si es un sólido rígido, ese movimiento particular se puede estudiar como una sola rotación).

Un mundo formado por partículas puntuales no interactuantes, en el que toda forma de energía se deba a la energía cinética de dichas partículas, puede ser una introducción pedagógica para el gas ideal, pero no es el mundo en el que vivimos.

¿Quien ha hablado de no interactuantes? Precisamente te hablé del principio de acoplamiento minimo para poder introducir la interacción.

[carroza]

Re: Otra vez la duda de E=mc2

Para cambiar el origen no haga cambiar el origen no haga variar el momento pero si la energía, parece claro que la única solucion es generalizar la relación entre energía y momento tal que

$$(E-V)^2 = m^2 c^4 + m^2 p^2 \ .$$

Pod, te acabas de cargar de un plumazo la invariancia de Lorentz de la naturaleza.

Vamos a ver. Un objeto aislado, sea una particula, un fluido, un campo, un planeta, o una patata frita, tiene una energía total y un momento total. La energía total y el momento total del sistema dependen del sistema de referencia del observador. No obstante, el sistema tiene una propiedad intrínseca, invariante de lorentz, que es la masa en reposo, o la masa si lo prefieres, dada por

$$(E)^2 = m^2 c^4 + m^2 p^2 \ .$$

Luego, uno puede hacer el ejercicio de intentar separar la energía total E en distintas componentes cinéticas y potenciales, pero lo que está claro es la expresión anterior.

Por otro lado, la relatividad que yo conozco y amo, no es sólo una teoría de partículas. Vale para partículas, campos (electromagnéticos o de otro tipo), fluidos, sistemas cuánticos y cualquier cosa que existe en la naturaleza, y funciona divinamente.

Un mundo formado por partículas puntuales no interactuantes, en el que toda forma de energía se deba a la energía cinética de dichas partículas, puede ser una introducción pedagógica para el gas ideal, pero no es el mundo en el que vivimos.

[pod]

Re: Otra vez la duda de E=mc2

Si a un sistema, en reposo, se le da energía no cinética (en forma de calor, compresión elástica, excitación de grados de libertad internos, etc), su momento sigue siendo cero. Por tanto, su masa en reposo varía:

$m c^2 = (E_0+Q)$.

Por tanto, no es correcto decir que cambios de la energia no modifican la masa (en reposo o no en reposo).

La relatividad es una teoría de partículas; como sabes el sólido rígido está mal definido en ella (las aceleraciones granes los desmiembran, ya que la interacción entre partículas no puede transmitirse a velocidad infinita). Si pensamos en partículas fundamentales, está claro que el calor, la excitación de grados de libertad internos, etc. se traducen en energía cinética. I.e, no afectan la masa en reposo.

Las energías potenciales (elásticas, eléctricas, etc) son algo más sutiles. El principal problema es que uno tiene la libertad de poner el origen de energías donde uno quiera. La forma más general de poner una energía elástica sería de la forma $V = \frac12 k (x - x_0)^2$, siempre tendremos el $x_0$ para "tunear" a nuestro gusto el origen de potenciales. Para cambiar el origen no haga cambiar el origen no haga variar el momento pero si la energía, parece claro que la única solucion es generalizar la relación entre energía y momento tal que

$$(E-V)^2 = m^2 c^4 + m^2 p^2 \ .$$

Está claro que una partícula fundamental no se puede deformar, pero si deformamos un sólido, en las partículas constituyentes se traduce en un desplazamiento respecto del pozo de potencial que las mantiene en el sitio. Y ya sabemos que cualquier potencial confinante puede aproximarse por $k = U''(x_0)$.

[carroza]

Re: Otra vez la duda de E=mc2

Pod:

Para esta discusión vamos a tomar $m$ como la masa en reposo, o masa a secas, si lo prefieres.

Imaginemos un sistema en reposo

$m c^2 = E_0$

A un sistema se le puede dar energía cinética, o energía no cinética.
Sea Q esta energía

Si a un sistema, en reposo, de masa m, se le da sólo energía cinética, entonces estamos de acuerdo que su masa en reposo no varía.

$m c^2 = \sqrt{(E_0+Q)^2 - c^2 p^2} = E_0$


Si a un sistema, en reposo, se le da energía no cinética (en forma de calor, compresión elástica, excitación de grados de libertad internos, etc), su momento sigue siendo cero. Por tanto, su masa en reposo varía:

$m c^2 = (E_0+Q)$.

Por tanto, no es correcto decir que cambios de la energia no modifican la masa (en reposo o no en reposo).

PS: la IUPAP quiere definir la masa en términos de constantes fundamentales.
No hace falta G. Basta medir con precisión suficiente h, que pasaría a tener un valor exacto por definición, lo mismo que c.

PS: Me gustaría que los mensajes relevantes volvieran al hilo calor vs masa.

[pod]

Re: calor vs masa

Esta afirmación no es correcta. La masa aumenta si se aumenta la energia. Un átomo en un estado excitado tiene más masa que un átomo en su estado fundamental. Un núcleo en un estado excitado tiene más masa que un núcleo en su estado fundamental. Estas diferencias de masas se miden, con gran precisión, en trampas magnéticas.

Todo eso se puede decir de otra forma y ser observacionalmente igual en la interpretación nueva, donde en vez de hablar de "variaciones de masa", diríamos que se observa que la definición correcta de momento es $\vec p = m\gamma \vec v$.

La masa, según el diccionario, es la cantidad de materia, y puede medirse bien a partir de la inercia, o bien (más fácil) a partir del peso.

¿Ahora hacemos Física con el diccionario? Bueno... Lo de que se puede medir a partir de la inercia o del peso no lo veo en el diccionario. Sólo dice lo primero, y en cualquier caso dependería de cómo define la materia y su cantidad. No se cual de las 9 acepciones tomar (supongo que no será la tres, ya que supondría que "cuanto menos espíritu más materia, y por lo tanto más masa" ).

Lo de que se puede medir por la inercia y por el peso... pues no acaba de cuadrarme. La inercia es un objeto muy complejo (c = 1):

$$\vec F = \frac{\dd}{\dd t} (m_0 \gamma \vec v) = m _0\gamma^3 (\vec v \cdot \vec a) \vec v + m_0 \gamma \vec a \ .$$

Es decir, si la inercia es la masa, tendríamos

$$m_? = m_0 \ \dfrac{\gamma^3 (\vec v \cdot \vec a) \vec v + \gamma \vec a}{\vec F}\ .$$

Lo cual es preocupante, por que yo no se dividir vectores que no sean paralelos... Y si por casualidad son paralelos (es decir, la fuerza se ejerce en la dirección de la velocidad) da

$$m_? = m_0 \gamma^3 \neq m_0 \gamma \ .$$

La parte del peso, aún es más difícil. No quiero ni pensar la pinta que tienen las ecuaciones de Einstein en general (me ha tocado meter ansatzes ahí más de una vez y no se lo deseo a nadie ).

Sin embargo, estoy seguro que tanto la inercia como esas complicadas ecuaciones de Einstein para el "peso" coinciden en condiciones no relativistas. Ya que esa forma de definir la masa es precisamente eso: no relativista. Y en condiciones no relativista, todas las masas (con cualquier apellido que se nos ocurra) da lo mismo, ahí estamos todo de acuerdo.

Si tenemos que definir la masa en no-relatividad nos pondremos de acuerdo en seguida, de eso no hay duda. El problema es definirla en relatividad: decir "la cantidad que, cuando estamos en condiciones no relativistas se reduce a la masa de siempre" no es útil por que la cumplen las diversas definiciones que hemos ido discutiendo.

Por lo tanto, tenemos la opción de llamar masa a: 1) la cantidad que vamos a necesitar siempre que hagamos un cálculo, que es un invariante Lorentz (y sabemos que eso es todo un tesoro); o 2) una cantidad que es enteramente equivalente a otra (con la confusión de terminología que eso lleva), obligandonos además a añadir apellidos para poder seguir teniendo el invariante Lorentz dentro de nuestra teoria.

Al final, como estamos hablando de una interpretación, la ciencia se puede hacer igualmente con las dos. Es cuestión de gustos, nada más.

El patrón de masa (kg) es el cilindro de platino iridiado de París. http://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramo
Cualquier cosa que tenga de masa un kg, pesa igual que el cilindro de Paris. Si tomo un kg de agua (una cantidad de agua que pesa igual que el cilindro de parís), y lo caliento, entonces pesará más que el cilindro de París, y por tanto, tendrá más masa.

Hombre, dicho así un cilíndro idéntico en la cima del Everest tiene menos masa por que en ese momento está pesando menos que el cilindro de París

Bueno, a parte de bromas chorras (sí, reconozco que lo era). Esa es una definición no-relativista. Por lo tanto, se tiene que poner a prueba en condiciones no relativistas. No hay problema, ya hemos visto que todas las definiciones están de acuerdo en condiciones no relativsitas.

Como se ha hecho con las otras, la definición de masa acabará cambiando en un futuro próximo. Probablemente a partir de la masa de Planck (es decir, el valor de la constante de Planck pasará a ser una definición, igual que ahora lo es el valor de c). No se por qué aún no se ha hecho, probablemente por que ello involucraría también fijar el valor de G; o al menos, definir el valor de la combinación h/G.

[pod]

Re: Otra vez la duda de E=mc2

Pod:

¿Cómo determinas la masa de un objeto de composición desconocida?

¿Y su energía?

[carroza]

Re: calor vs masa

En cambio, la masa sin apellidos (o con el apellido "en reposo", si nos apetece ser vetustos ) no es la energía total, sino la "energía de formación", y por lo tanto la energía cinética no la hace aumentar. Ni ningún otro tipo de energía que adquiera el objeto una vez formado.

Lo que importa, en cualquier caso, es que los observables vayan igual sea cual sea la interpretación que uno cosa. En el ejemplo de Gamow, el observable sería el peso, y estamos de acuerdos que aumenta.

Esta afirmación no es correcta. La masa aumenta si se aumenta la energia. Un átomo en un estado excitado tiene más masa que un átomo en su estado fundamental. Un núcleo en un estado excitado tiene más masa que un núcleo en su estado fundamental. Estas diferencias de masas se miden, con gran precisión, en trampas magnéticas.

La masa, según el diccionario, es la cantidad de materia, y puede medirse bien a partir de la inercia, o bien (más fácil) a partir del peso.

El patrón de masa (kg) es el cilindro de platino iridiado de París. http://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramo
Cualquier cosa que tenga de masa un kg, pesa igual que el cilindro de Paris. Si tomo un kg de agua (una cantidad de agua que pesa igual que el cilindro de parís), y lo caliento, entonces pesará más que el cilindro de París, y por tanto, tendrá más masa.

[carroza]

Re: Otra vez la duda de E=mc2

Pod:

¿Cómo determinas la masa de un objeto de composición desconocida?

[pod]

Re: calor vs masa

No quiero resucitar una discusión que ya tuvimos en otro hilo, pero definir la masa como "energía de formación" no es muy operativo.

Pues tengámosla en el mismo hilo

Imagina que quiero saber la masa del portátil en el que escribo esto. ¿Tendría que conocer todos y cada uno de los átomos que lo forman, la energía de todos y cada uno de los enlaces entre ellos, las energías eléctricas y mecánicas de cada uno de los componentes?

Igual de operativo que medir la energía de todas esas partículas.

¿Por qué no definimos la masa de toda la vida, la que se mide comparando el peso del portatil con el del un patrón conocido?

Por:

1) La cantidad así definida no sirve para nada. Al final, siempre que se hace algún cálculo se acaba utilizando la masa en reposo. Así que si en vez de definir 20mil conceptos (que, además, son repetidos... ya que la "otra" masa es lo mismo que la energía), definimos uno, el que nos será útil, estamos simplificando la Física, y de paso ahorramos tinta al no tener que escribir tanto "sub cero".

2) Tengo dudas que esa definición siempre dé $m\gamma$. Si no recuerdo mal, para reducir las ecuaciones de Einstein a las de la gravedad Newtoniana no sólo hay que hacer la aproximación de campo débil, sino que también hay que considerar $v \ll c$, así que parece una definición inválida incluso en relatividad general.

3) Esa "masa inercial" ni siquiera es la inercia (i.e, la relación entra fuerza y aceleración), ya que en una dimensión se tiene $F = m \gamma^3 a$ (en más dimensiones, la cosa es más complicada, la aceleración no tiene por qué ser paralela a la fuerza). ¿Que hacemos? ¿Definimos una masa inercial que dependa de la dirección relativa entre la fuerza y la velocidad de la partícula?

[carroza]

Re: calor vs masa

En cambio, la masa sin apellidos (o con el apellido "en reposo", si nos apetece ser vetustos ) no es la energía total, sino la "energía de formación", y por lo tanto la energía cinética no la hace aumentar. Ni ningún otro tipo de energía que adquiera el objeto una vez formado.

Hola.

No quiero resucitar una discusión que ya tuvimos en otro hilo, pero definir la masa como "energía de formación" no es muy operativo.

Imagina que quiero saber la masa del portátil en el que escribo esto. ¿Tendría que conocer todos y cada uno de los átomos que lo forman, la energía de todos y cada uno de los enlaces entre ellos, las energías eléctricas y mecánicas de cada uno de los componentes?

¿Por qué no definimos la masa de toda la vida, la que se mide comparando el peso del portatil con el del un patrón conocido?

Ya se que eso da la energía, y que eso es antiguo y vetusto, pero, qué le vamos a hacer.

[petruxx]

Re: Otra vez la duda de E=mc2

Ya sabia yo que la pregunta era muy sencillita e inocente.
La repuesta es lo que me parecia que no lo seria tanto.

[Entro]

Re: Otra vez la duda de E=mc2

Liais un poco a la gente. No queda claro si la ecuacion E=mc2 es semejante a aquella que relacionan los julios con las calorias, es decir, la equivalencia entre el calor y trabajo o por contra relaciona dos cosas distintas y diferenciables.

Voy a poner un ejemplo:

- Tenemos un recipiente sin masa, peso, aislante y con todas las idealizaciones que se nos ocurran.
- No sabemos que hay dentro del recipintente.
- Desde fuera, si abrirlo hacemos todas las medidas o experimentos que queramos. Lo pesamos, lo sometemos a fuerzas para ver su depedencia con la acelaracion y medimos el campo gravitatorio que produce.

La pregunta entonces es sencilla:

" ¿ Sin abrir el recipiente, podemos saber si se trata de:

-Una unica particulade cierta masa en reposo respecto de las paredes.
- Un gas de Maxwell a cierta temperatura.
- Un gas de fotones, tambien a cierta temperatura.
- Materia oscura, de esa que es tan oscura que no se sabe que es.
- Energia oscura, de esa tan oscura que no se sabe que es.
- El boson de Gibbs.
... ?

La pregunta es sencillita. Pero la respuesta ... ¿cual es?

Poniendo ejemplos no tienes precio...

Lo que pasa es que el ejemplo no tiene mucho que ver con el tema, ahí lo único que dices es que si tienes un sistema que se comporta de una determinada manera a nivel dinámico (en el más estricto sentido Newtoniano) nos importa poco de que esté constituido por aquello de que F=ma, donde la inercia viene codificada en m y no se habla de la constitución del sistema en cuestión.

Es lo mismo que decir que acelera lo mismo un kilo de madera, que uno de hierro, que uno de leche, que uno de paja en ausencia de rozamiento,empuje etc...

Buen ejemplo, pero para otra cosa...

E=mc^2 es única y simplemente una relación de equivalencia y es válida para partículas en reposo, si las partículas no están en reposo además aparece una contribución de su momento, y creo que eso está fuera de toda discusión.

Ahora podríamos pelearnos en vez de por la expresión:

$E^2-p^2=m^2$

por la expresión:

$t^2-x^2-y^2-z^2=0$ indicando el módulo de un cuadrivector de genero nulo o de genero luz...

Es que si siempre discutís por lo mismo aburre... es mejor diversificar.

El módulo de un vector de tipo luz es nulo, y por eso se llaman vectores nulos. Eso significa que dicho vector es ortogonal a sí mismo...

¿empezamos?

[polonio]

Re: Otra vez la duda de E=mc2

Pues respondo, para empezar, que el que lías eres tú.

Cambiar de julios a calorías no es cambiar de trabajo a calor, sino cambiar de unidades de una misma magnitud (la energía, se manifieste de la forma que se manifieste). Son sólo dos unidades, pues, de energía, aunque la caloría se definió a partir de la energía calorífica necesaria para elevar la temperatura de un gramo de agua a presión atmosférica de 14.5 ºC a 15.5 ºC. Yo puedo medir el trabajo mecánico en calorías, si quiero. Y puedo medir el calor absorbido por un sistema en julios (de hecho, es lo que se recomienda: trabajar en julios).

Por otra parte, tu "experimento " no tiene nada que ver con el tema del hilo. De lo que va tu experimento es de la equivalencia masa inercial - masa gravitatoria. Y este hilo va de masa-energía.

Si quieres, abre un hilo nuevo para esta cuestión o busca lo que ya haya por el foro sobre el tema.

[petruxx]

Re: Otra vez la duda de E=mc2

Otro ejemplo: la anchura y la altura también se miden en la misma unidad (de longitud), pero no son lo mismo. Pero girando el objeto, podemos pasar de una a otra. Igual que podemos pasar masa a (otras formas de) energía.

Liais un poco a la gente. No queda claro si la ecuacion E=mc2 es semejante a aquella que relacionan los julios con las calorias, es decir, la equivalencia entre el calor y trabajo o por contra relaciona dos cosas distintas y diferenciables.

Voy a poner un ejemplo:

- Tenemos un recipiente sin masa, peso, aislante y con todas las idealizaciones que se nos ocurran.
- No sabemos que hay dentro del recipintente.
- Desde fuera, si abrirlo hacemos todas las medidas o experimentos que queramos. Lo pesamos, lo sometemos a fuerzas para ver su depedencia con la acelaracion y medimos el campo gravitatorio que produce.

La pregunta entonces es sencilla:

" ¿ Sin abrir el recipiente, podemos saber si se trata de:

-Una unica particulade cierta masa en reposo respecto de las paredes.
- Un gas de Maxwell a cierta temperatura.
- Un gas de fotones, tambien a cierta temperatura.
- Materia oscura, de esa que es tan oscura que no se sabe que es.
- Energia oscura, de esa tan oscura que no se sabe que es.
- El boson de Gibbs.
... ?

La pregunta es sencillita. Pero la respuesta ... ¿cual es?

[pod]

Re: Otra vez la duda de E=mc2

Hola, ésta es mi primera intervención en este foro y no soy experto en esto, pero quiero comentar sobre esta ecuación que existen libros y cálculos en los que la masa ya se mide en unidades de energía, lo que nos sugiere que la energía en realidad si es masa.

Otro ejemplo: la anchura y la altura también se miden en la misma unidad (de longitud), pero no son lo mismo. Pero girando el objeto, podemos pasar de una a otra. Igual que podemos pasar masa a (otras formas de) energía.