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Si con la expresión "se supone que el espacio debe ser cuántico" te refieres a que el espacio debe ser discreto, entonces rotundamente no. Puede existir energía de punto cero en una teoría del espacio continuo. De hecho, prácticamente todas las teorías cuánticas de campo de hoy en día son así... Así que, como mucho, serían las partículas las que tienen comportamiento cuántico.
Además, es un concepto que depende de las simetrías, y por tanto existe también a nivel clásico. No es necesario tener una teoría cuántica, estrictamente hablando.
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Así es como funciona la ciencia. Alguien tiene una idea, luego otra (o la misma, si se aburre) persona piensa en algún experimento que pueda desmentir o confirmar esa idea. Lo que propones fue testeado hace muchos años, y fracasó. En cambio, el modelo del big bang caliente ha pasado todos los tests experimentales hasta ahora.
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