Transformaciones de Lorentz pasivas y activas en Teoría Cuántica de Campos

[Vitor]

Sí, en la demostración del teorema se calcula la parte $e^{\pm 2i\phi j}\langle p', \pm j|J_{\mu}| p, \pm j\rangle$ mediante una rotación. Por otro lado tienes la hipótesis que $J_{\mu}$ es covariante Lorentz, esto significa que $J_\mu \rightarrow \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_{\nu}$ y por tanto $e^{\pm 2i\phi j}\langle p', \pm j|J_{\mu}| p, \pm j\rangle = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}\langle p', \pm j|J_{\nu}| p, \pm j\rangle$ como bien has dicho. Esta igualdad la podemos imponer porque es una implicación directa de la hipótesis del teorema. Si no se cumpliera la igualdad, significaría que $J_{\mu}$ no es covariante Lorentz.

Muchas gracias Weip por la claridad en todas tus respuestas. He releído todo y ya lo he entendido completamente, así que te agradezco de nuevo todas tus explicaciones y tu tiempo.

¡Un saludo y nos vemos por el foro!

[Weip]

Eso no se ve directamente tan claro que sea como la transformación de un vector, ¿así que lo que quieres decir es que debe serlo y por eso se igualan las dos expresiones?

Sí, en la demostración del teorema se calcula la parte $e^{\pm 2i\phi j}\langle p', \pm j|J_{\mu}| p, \pm j\rangle$ mediante una rotación. Por otro lado tienes la hipótesis que $J_{\mu}$ es covariante Lorentz, esto significa que $J_\mu \rightarrow \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_{\nu}$ y por tanto $e^{\pm 2i\phi j}\langle p', \pm j|J_{\mu}| p, \pm j\rangle = \Lambda^{\nu}{}_{\mu}\langle p', \pm j|J_{\nu}| p, \pm j\rangle$ como bien has dicho. Esta igualdad la podemos imponer porque es una implicación directa de la hipótesis del teorema. Si no se cumpliera la igualdad, significaría que $J_{\mu}$ no es covariante Lorentz.

[Vitor]

Hola Vitor.


Ciertamente hemos abusado demasiado de la notación, en la pregunta inicial tratábamos con $U^{\dagger}(\Lambda)J_{\mu}(x)U(\Lambda)=\Lambda^{\nu}_{\mu}J_{\nu}(\Lambda^{-1}x)$ pero en el teorema de Weinberg-Witten en concreto hay sutilezas en la ecuación (41) del tutorial que sigues. En este punto se impone la igualdad entre izquierda y derecha porque ya sabemos a priori que $\langle p'|J_{\mu}| p\rangle$ se transforma como un vector (tiene un índice de Lorentz), entonces o bien las dos transformaciones a izquierda y derecha tienen los mismos valores propios, o bien $\langle p'|J_{\mu}| p\rangle=0$. Así que un poco lo que comentas en el fragmento que he citado, deben dar lo mismo ambos miembros de la igualdad por covarianza Lorentz de $J_{\mu}$. Al final es la idea aquella de que es lo mismo rotar vectores y mantener ejes fijos, que rotar ejes y mantener fijos los vectores.

Hola Weip, he estado pensando un tiempo en tu respuesta pero todavía no llego a entenderla del todo.

Haciendo la transformación de Lorentz $J_\mu \rightarrow \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_{\nu}$ sobre la corriente, es directo que $\langle p', \pm j|J_{\mu}| p, \pm j\rangle$ (añado ahora $\pm j$ en los estados como al principio) se transforma como $\Lambda^{\nu}{}_{\mu}\langle p', \pm j|J_{\nu}| p, \pm j\rangle$, es decir, como un vector.

En cambio, haciendo la transformación de Lorentz $| p\rangle \rightarrow e^{\pm i\phi j}| p\rangle$ y $| p'\rangle \rightarrow e^{\mp i\phi j}| p'\rangle$ sobre los estados, queda $e^{\pm 2i\phi j}\langle p', \pm j|J_{\mu}| p, \pm j\rangle$. Eso no se ve directamente tan claro que sea como la transformación de un vector, ¿así que lo que quieres decir es que debe serlo y por eso se igualan las dos expresiones?

PD: Disculpas si a veces tardo en responder, pero no quiero hacerlo sin antes intentar entenderlo todo y no liar más el tema con una respuesta más confusa.

[Weip]

Hola Vitor.

¿Supongo que realmente el paso que decías no se da como tal, sino que ambas transformaciones independientes (la que actúa sobre los estados y la que actúa sobre la corriente) deben dar la misma función de correlación transformada y nada más?

Ciertamente hemos abusado demasiado de la notación, en la pregunta inicial tratábamos con $U^{\dagger}(\Lambda)J_{\mu}(x)U(\Lambda)=\Lambda^{\nu}_{\mu}J_{\nu}(\Lambda^{-1}x)$ pero en el teorema de Weinberg-Witten en concreto hay sutilezas en la ecuación (41) del tutorial que sigues. En este punto se impone la igualdad entre izquierda y derecha porque ya sabemos a priori que $\langle p'|J_{\mu}| p\rangle$ se transforma como un vector (tiene un índice de Lorentz), entonces o bien las dos transformaciones a izquierda y derecha tienen los mismos valores propios, o bien $\langle p'|J_{\mu}| p\rangle=0$. Así que un poco lo que comentas en el fragmento que he citado, deben dar lo mismo ambos miembros de la igualdad por covarianza Lorentz de $J_{\mu}$. Al final es la idea aquella de que es lo mismo rotar vectores y mantener ejes fijos, que rotar ejes y mantener fijos los vectores.

[Vitor]

Sí, tal cual lo has dicho. El momento magnético del electrón se estudia a través de la interacción entre el electrón y un campo magnético externo. En términos de teoría cuántica de campos, sería la dispersión de un electrón con un fotón externo, el electrón inicialmente tendría momento $p$ y finalmente después de la interacción con el fotón, momento $p'$.

Muchas gracias Weip, me has aclarado muchísimo todos estos temas y gracias a ti ahora sé un poco más de Teoría Cuántica de Campos.

Ya he preguntado muchas cosas y no quiero abusar más, pero releyendo estos días todo lo que dijiste he visto que en la parte en la que explicaste que después de rotar los estados como $|p\rangle \rightarrow U(\Lambda)|p\rangle$ y $\langle p'| \rightarrow \langle p'| U'^{\dagger}(\Lambda)$ el objeto inicial $\langle p'| J_\mu|p \rangle$ queda como $\langle p'|U^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)|p \rangle$ (tras lo cual simplemente se agrupan la parte $U^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)$ como $\Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_\nu$), pero repasando esto he visto que el objeto inicial $\langle p'| J_\mu|p \rangle$ no queda como $\langle p'|U^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)|p \rangle$ sino como $\langle p'|U(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)|p \rangle$, porque los momentos se toman en un sistema de referencia que da lugar a esa transformación cuando se rotan simultáneamente, así que eso no podría agruparse de la forma $U^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)=\Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_\nu$ ya que la combinación que queda es $U(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)$ y no $U^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)$.

¿Supongo que realmente el paso que decías no se da como tal, sino que ambas transformaciones independientes (la que actúa sobre los estados y la que actúa sobre la corriente) deben dar la misma función de correlación transformada y nada más?

Muchas gracias por tus respuestas y perdona si se me pasó esto por alto, pero releyendo diría que ese paso no era del todo correcto.

[Weip]

Entiendo. Sólo para confirmar: para el caso por ejemplo del momento magnético del electrón que mencionaste en la página anterior, ¿$| p \rangle$ sería el estado inicial del electrón (antes de llevar a cabo la interacción con la corriente $J_\mu$) y $| p' \rangle$ el estado final tras esa interacción?

Sí, tal cual lo has dicho. El momento magnético del electrón se estudia a través de la interacción entre el electrón y un campo magnético externo. En términos de teoría cuántica de campos, sería la dispersión de un electrón con un fotón externo, el electrón inicialmente tendría momento $p$ y finalmente después de la interacción con el fotón, momento $p'$.

[Vitor]

La matriz $S$ es el operador que te pasa del estado inicial $|i\rangle$ al estado final $|f\rangle$, y se construye a partir del operador de evolución temporal. De esta manera $\langle f|S| i\rangle$ contiene toda la información sobre la interacción entre campos que se está llevando a cabo por enmedio. A la práctica es imposible calcularlo, así que tomamos una aproximación perturbativa en la cual descomponemos la matriz $S$ en distintas contribuciones (infinitas) que simbolizamos a través de los diagramas de Feynman. Si coges uno de estos diagramas de Feynman, la interacción sucederá de una manera en concreto. En particular en $\langle p' | J_\mu | p \rangle$ la interación se está llevando a cabo a través de una corriente vectorial $J_{\mu}$. Pasa que hay infinitos diagramas contribuyendo a la matriz S, por tanto habrán diagramas con contribuciones más complicadas que $\langle p' | J_\mu | p \rangle$, son los elementos que puse con más corrientes (dos, tres, cuatro...). Si el parámetro en el cual estamos expandiendo es pequeño (por ejemplo en QED este parámetro de expansión es la constante de estructura fina $\alpha=e^2/(4\pi)\simeq 1/137$), entonces estas contribuciones más complicadas se pueden obviar (aquí me estoy tomando alguna licencia pero bueno, se entiende la idea).

En resumen, puedes ver $\langle p' | J_\mu | p \rangle$ como una contribución concreta a la matriz S, por tanto tiene información parcial del proceso de pasar del estado $| p \rangle$ al estado $| p' \rangle$.

Entiendo. Sólo para confirmar: para el caso por ejemplo del momento magnético del electrón que mencionaste en la página anterior, ¿$| p \rangle$ sería el estado inicial del electrón (antes de llevar a cabo la interacción con la corriente $J_\mu$) y $| p' \rangle$ el estado final tras esa interacción?

[Weip]

Estuve pensando igualmente en todo lo que explicaste sobre la relación del objeto $\langle p' | J_\mu | p \rangle$ con los blops de los diagramas de Feynman que se daban por ejemplo en casos de la estructura interna del protón o de los momentos magnéticos del electrón. ¿Esto es equivalente o puede verse también de manera alternativa en la matriz S? ¿O la matriz S es independiente de esto y entonces todo lo relacionado con este tipo de objetos como lo que se hace en el tutorial no está directamente conectado con la matriz S?

La matriz $S$ es el operador que te pasa del estado inicial $|i\rangle$ al estado final $|f\rangle$, y se construye a partir del operador de evolución temporal. De esta manera $\langle f|S| i\rangle$ contiene toda la información sobre la interacción entre campos que se está llevando a cabo por enmedio. A la práctica es imposible calcularlo, así que tomamos una aproximación perturbativa en la cual descomponemos la matriz $S$ en distintas contribuciones (infinitas) que simbolizamos a través de los diagramas de Feynman. Si coges uno de estos diagramas de Feynman, la interacción sucederá de una manera en concreto. En particular en $\langle p' | J_\mu | p \rangle$ la interación se está llevando a cabo a través de una corriente vectorial $J_{\mu}$. Pasa que hay infinitos diagramas contribuyendo a la matriz S, por tanto habrán diagramas con contribuciones más complicadas que $\langle p' | J_\mu | p \rangle$, son los elementos que puse con más corrientes (dos, tres, cuatro...). Si el parámetro en el cual estamos expandiendo es pequeño (por ejemplo en QED este parámetro de expansión es la constante de estructura fina $\alpha=e^2/(4\pi)\simeq 1/137$), entonces estas contribuciones más complicadas se pueden obviar (aquí me estoy tomando alguna licencia pero bueno, se entiende la idea).

En resumen, puedes ver $\langle p' | J_\mu | p \rangle$ como una contribución concreta a la matriz S, por tanto tiene información parcial del proceso de pasar del estado $| p \rangle$ al estado $| p' \rangle$.

[Vitor]

Hola Vitor.

Sí, es una forma más compacta de escribir un boost. De hecho es exactamente igual a la matriz de Lorentz que sale en wikipedia para los boosts en una dirección arbitraria (en el apartado Physical formulation for Lorentz boosts), que entiendo que es la forma en la que más lo conoces. O quizás conoces estas otras que son las matrices de los boosts para las direcciones $x$, $y$ y $z$, son casos particulares de la anterior.

Hola Weip. Sí, los había visto siempre en función de la velocidad y el factor $\gamma$, pero no sabía que al reexpresar estas magnitudes en función de la energía y momento quedaban exactamente así, así que muchas gracias por el dato.

En Relatividad General las transformaciones de Lorentz solo son válidas localmente porque no existen observadores globales. Es decir, si estás en un entorno pequeño del espaciotiempo puedes puedes trabajar con un boost igual como lo haces en Relatividad Especial, sea con la fórmula compacta que estamos comentando, con las matrices, o con el cambio de coordenadas (local) directamente.

Entonces entiendo que al menos localmente en Relatividad General también podría usarse el mismo tipo de expresión, muchas gracias por esta respuesta también.

Estuve pensando igualmente en todo lo que explicaste sobre la relación del objeto $\langle p' | J_\mu | p \rangle$ con los blops de los diagramas de Feynman que se daban por ejemplo en casos de la estructura interna del protón o de los momentos magnéticos del electrón. ¿Esto es equivalente o puede verse también de manera alternativa en la matriz S? ¿O la matriz S es independiente de esto y entonces todo lo relacionado con este tipo de objetos como lo que se hace en el tutorial no está directamente conectado con la matriz S?

Muchas gracias por tus respuestas.

[Weip]

Hola Vitor.

Vaya, no sabía que la expresión general de un boost era $\Lambda^{\mu}_0=(p^{\mu}/E)$, no lo había visto así escrito nunca. ¿Sabes si esa expresión se cumple siempre?

Sí, es una forma más compacta de escribir un boost. De hecho es exactamente igual a la matriz de Lorentz que sale en wikipedia para los boosts en una dirección arbitraria (en el apartado Physical formulation for Lorentz boosts), que entiendo que es la forma en la que más lo conoces. O quizás conoces estas otras que son las matrices de los boosts para las direcciones $x$, $y$ y $z$, son casos particulares de la anterior.

¿O quizás no sea válida en algún sistema de coordenadas o al pasar a Relatividad General?

En Relatividad General las transformaciones de Lorentz solo son válidas localmente porque no existen observadores globales. Es decir, si estás en un entorno pequeño del espaciotiempo puedes puedes trabajar con un boost igual como lo haces en Relatividad Especial, sea con la fórmula compacta que estamos comentando, con las matrices, o con el cambio de coordenadas (local) directamente.

[Vitor]

Entiendo que te refieres a pasar de la ecuación (34) a la ecuación (35). Lo que está haciendo es un boost en la dirección $\mu$, es decir, $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_0J^{0}=(p^{\mu}/E)J^{0}$. De ahí que salga el factor $p^{\mu}/E$.

Por lo que he podido ver la mayor parte del tutorial está sacado directamente del artículo original de Weinberg y Witten, y en este tipo de artículos no se suelen explicitar los razonamientos con demasiado detalle. De hecho habiendo leído otros artículos de ellos, es muy posible que originalmente lo sacaran por intuición. Es decir, tu tienes el resultado $q/(2\pi)^3$ para $J^{0}$. ¿Cómo debería ser el resultado para $J^{\mu}$? Dado que tiene un índice de Lorentz, el resultado será proporcional a un cuadrivector $a^{\mu}$ desconocido. ¿Qué variables tengo en el problema que tengan un índice de Lorentz? $p^{\mu}$. Por tanto el resultado será proporcional a $p^{\mu}$. Finalmente nos hace falta una energía para que las unidades cuadren, eso significa que el resultado para $J^{\mu}$ es $qp^{\mu}/(E(2\pi)^3)$. O quizás simplemente consideraron que hacer un boost era algo trivial y lo escribieron así (aunque si no dices que estás haciendo un boost, trivial trivial no acaba de ser).

Vaya, no sabía que la expresión general de un boost era $\Lambda^{\mu}_0=(p^{\mu}/E)$, no lo había visto así escrito nunca. ¿Sabes si esa expresión se cumple siempre? ¿O quizás no sea válida en algún sistema de coordenadas o al pasar a Relatividad General?

Muchas gracias por el nuevo apunte.

[Weip]

No quiero abusar porque ya has escrito un montón de respuestas a todas las preguntas que tenía, pero estoy repasando el tutorial y he visto que hay un último punto que sigo sin entender en todo esto, que es cuando se dice que después de calcular el límite del objeto $\langle p'| J^\mu |p \rangle$ que decíamos cuando $\mu=0$, es trivial pasar de $\langle p'| J^0 |p \rangle$ a $\langle p'| J^\mu |p \rangle$ con el índice $\mu$ general "por invariancia Lorentz". ¿Tú sabes cómo pasar de ese caso $\mu=0$ al general usando simplemente invariancia Lorentz como se dice en el tutorial? Lo he estado pensando mucho y lo único que se me ocurre es que se añada una especie de factor $\frac{p^\mu}{p^{0}}$ al resultado del límite de $\langle p'| J^0 |p \rangle$ (porque $\frac{p^\mu}{p^{0}}$ cuando $\mu=0$ es trivialmente 1) y que eso dé directamente el resultado esperado con $\mu$ general, pero no lo veo en absoluto riguroso.

Entiendo que te refieres a pasar de la ecuación (34) a la ecuación (35). Lo que está haciendo es un boost en la dirección $\mu$, es decir, $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_0J^{0}=(p^{\mu}/E)J^{0}$. De ahí que salga el factor $p^{\mu}/E$.

Por lo que he podido ver la mayor parte del tutorial está sacado directamente del artículo original de Weinberg y Witten, y en este tipo de artículos no se suelen explicitar los razonamientos con demasiado detalle. De hecho habiendo leído otros artículos de ellos, es muy posible que originalmente lo sacaran por intuición. Es decir, tu tienes el resultado $q/(2\pi)^3$ para $J^{0}$. ¿Cómo debería ser el resultado para $J^{\mu}$? Dado que tiene un índice de Lorentz, el resultado será proporcional a un cuadrivector $a^{\mu}$ desconocido. ¿Qué variables tengo en el problema que tengan un índice de Lorentz? $p^{\mu}$. Por tanto el resultado será proporcional a $p^{\mu}$. Finalmente nos hace falta una energía para que las unidades cuadren, eso significa que el resultado para $J^{\mu}$ es $qp^{\mu}/(E(2\pi)^3)$. O quizás simplemente consideraron que hacer un boost era algo trivial y lo escribieron así (aunque si no dices que estás haciendo un boost, trivial trivial no acaba de ser).

[Vitor]

Hola de nuevo.

Nosotros ya sabemos que las corrientes son cuadrivectores de un inicio, es decir, que se transforman como $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$. Sabiendo esto, cuando hemos de definir cómo se transforma un estado, hemos de tener en cuenta que esa definición ha de ser consistente con $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$. Es decir, no serviría de nada una definición de rotación de los estados tal que al rotar los valores esperados $\langle J_{\mu}\rangle$ llegáramos a la conclusión de que $J_{\mu}$ no se transforma bajo el grupo de Lorentz como un cuadrivector. Matemáticamente, si rotáramos estados y corriente, obtendríamos $\langle p'|J_{\mu}'|p'\rangle=\langle p|U^{\dagger}(\Lambda)U(\Lambda)J_{\mu} U^{\dagger}(\Lambda)U(\Lambda)|p\rangle=\langle p|J_{\mu}|p \rangle$, es decir, la corriente sería un escalar, cosa que no puede ser, porque tiene un índice de Lorentz.


Cuando rotamos un vector en mecánica clásica pasa lo mismo. Rotamos el vector, pero mantenemos los ejes de coordenadas fijos. O también podemos mantener fijo el vector, y rotar los ejes. Si hacemos las dos cosas a la vez, sería como si no hubiésemos aplicado la rotación ya para empezar, porque la rotación del vector y la rotación de los ejes se cancelan entre sí.

Hola Weip. De acuerdo, me quedo entonces con que cualquier otra forma de transformar como la que pensé va a conducir a resultados erróneos para los valores esperados y brackets en general, muchas gracias por tu explicación.

No quiero abusar porque ya has escrito un montón de respuestas a todas las preguntas que tenía, pero estoy repasando el tutorial y he visto que hay un último punto que sigo sin entender en todo esto, que es cuando se dice que después de calcular el límite del objeto $\langle p'| J^\mu |p \rangle$ que decíamos cuando $\mu=0$, es trivial pasar de $\langle p'| J^0 |p \rangle$ a $\langle p'| J^\mu |p \rangle$ con el índice $\mu$ general "por invariancia Lorentz". ¿Tú sabes cómo pasar de ese caso $\mu=0$ al general usando simplemente invariancia Lorentz como se dice en el tutorial? Lo he estado pensando mucho y lo único que se me ocurre es que se añada una especie de factor $\frac{p^\mu}{p^{0}}$ al resultado del límite de $\langle p'| J^0 |p \rangle$ (porque $\frac{p^\mu}{p^{0}}$ cuando $\mu=0$ es trivialmente 1) y que eso dé directamente el resultado esperado con $\mu$ general, pero no lo veo en absoluto riguroso.

[Weip]

Hola de nuevo.

Nosotros ya sabemos que las corrientes son cuadrivectores de un inicio, es decir, que se transforman como $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$. Sabiendo esto, cuando hemos de definir cómo se transforma un estado, hemos de tener en cuenta que esa definición ha de ser consistente con $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$. Es decir, no serviría de nada una definición de rotación de los estados tal que al rotar los valores esperados $\langle J_{\mu}\rangle$ llegáramos a la conclusión de que $J_{\mu}$ no se transforma bajo el grupo de Lorentz como un cuadrivector. Matemáticamente, si rotáramos estados y corriente, obtendríamos $\langle p'|J_{\mu}'|p'\rangle=\langle p|U^{\dagger}(\Lambda)U(\Lambda)J_{\mu} U^{\dagger}(\Lambda)U(\Lambda)|p\rangle=\langle p|J_{\mu}|p \rangle$, es decir, la corriente sería un escalar, cosa que no puede ser, porque tiene un índice de Lorentz.


Cuando rotamos un vector en mecánica clásica pasa lo mismo. Rotamos el vector, pero mantenemos los ejes de coordenadas fijos. O también podemos mantener fijo el vector, y rotar los ejes. Si hacemos las dos cosas a la vez, sería como si no hubiésemos aplicado la rotación ya para empezar, porque la rotación del vector y la rotación de los ejes se cancelan entre sí.

[Vitor]

Esto es una cuestión más de mecánica cuántica no relativista. En mecánica clásica cuando rotamos un vector hacemos $V^{\mu}=R^{\mu}_{\nu}V^{\nu}$. En mecánica cuántica los análogos de $V^{\mu}$ son los estados $|\alpha\rangle$, por lo que definimos las rotaciones de manera que actuen sobre los estados $|\alpha\rangle_R=D(R)|\alpha\rangle$. Así pues si queremos calcular la rotación del valor esperado $\langle \mathcal{O}\rangle:=\langle \alpha|\mathcal{O}|\alpha\rangle$, calcularemos $\langle \mathcal{O}\rangle_R =\langle \alpha|D(R)^{-1}\mathcal{O}D(R)|\alpha\rangle$.

Aplicado a nuestro caso, para calcular $\langle J^{\mu}\rangle:=\langle p',\pm j|J^{\mu}|p,\pm j\rangle$ hemos de rotar los estados (uso la misma notación que un valor esperado aunque no lo sea). Esto hará que, dada la corriente clásica $J^{\mu}$ que se transforma bajo rotaciones como $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$, esta tenga como análogo cuántico $\langle J^{\mu}\rangle$ que se transformará de la misma manera, tal como debe ser. Porque si rotamos los estados y la corriente a la vez, esta corriente ya no se transformará bajo la representación fundamental del grupo de Lorentz, es decir, $J^{\mu}\neq\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$, y no queremos eso.

Por supuesto, transformar los estados dejando la corriente sin transformar es lo mismo que no transformar los estados pero transformar las corrientes: las probabilidades quedarán intactas, luego es legal hacerlo. El teorema de Weinberg-Witten se aprovecha de esta propiedad para ver que el valor esperado que calculan se anula para según qué espines concretos.

¿Quieres decir que esta manera de transformar es también una especie de axioma o algo que se impone para que valores esperados o brackets se transformen como se esperaría?

Cuando tú tienes cualquier tensor y aplicas una rotación de coordenadas entonces todos los tensores se transforman bajo la rotación (y eso es completamente normal porque se trata de un cambio de base que como tal afecta a todos los tensores, al margen de que los escalares permanezcan invariantes), pero aquí es como si hubiese que transformar solamente estados u operadores (no los dos a la vez). ¿No puede esto entenderse también como un cambio de base pero en un espacio de Hilbert? Supongo que la base de estados no es la misma que la base de operadores en general...