Transformaciones de Lorentz pasivas y activas en Teoría Cuántica de Campos

[Weip]

La última duda que tengo es por qué al aplicar una transformación de Lorentz para el objeto inicial $\langle p' | J_\mu |p\rangle$ se transforman únicamente los estados $|p \rangle$ y $\langle p'|$, lo cual da $\langle p' | J_\mu |p\rangle \rightarrow \langle p' | U^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda) |p\rangle$ y de ahí se agrupa $U^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)$ como una transformación para la corriente que por tanto da $\Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_{\nu}$. ¿No debería transformarse todo lo que esté dentro del objeto de una sola vez, es decir, $\langle p' | J_\mu |p\rangle \rightarrow \langle p' | U^{\dagger}(\Lambda) \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_{\nu}U(\Lambda) |p\rangle$?.

Esto es una cuestión más de mecánica cuántica no relativista. En mecánica clásica cuando rotamos un vector hacemos $V^{\mu}=R^{\mu}_{\nu}V^{\nu}$. En mecánica cuántica los análogos de $V^{\mu}$ son los estados $|\alpha\rangle$, por lo que definimos las rotaciones de manera que actuen sobre los estados $|\alpha\rangle_R=D(R)|\alpha\rangle$. Así pues si queremos calcular la rotación del valor esperado $\langle \mathcal{O}\rangle:=\langle \alpha|\mathcal{O}|\alpha\rangle$, calcularemos $\langle \mathcal{O}\rangle_R =\langle \alpha|D(R)^{-1}\mathcal{O}D(R)|\alpha\rangle$.

Aplicado a nuestro caso, para calcular $\langle J^{\mu}\rangle:=\langle p',\pm j|J^{\mu}|p,\pm j\rangle$ hemos de rotar los estados (uso la misma notación que un valor esperado aunque no lo sea). Esto hará que, dada la corriente clásica $J^{\mu}$ que se transforma bajo rotaciones como $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$, esta tenga como análogo cuántico $\langle J^{\mu}\rangle$ que se transformará de la misma manera, tal como debe ser. Porque si rotamos los estados y la corriente a la vez, esta corriente ya no se transformará bajo la representación fundamental del grupo de Lorentz, es decir, $J^{\mu}\neq\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$, y no queremos eso.

Por supuesto, transformar los estados dejando la corriente sin transformar es lo mismo que no transformar los estados pero transformar las corrientes: las probabilidades quedarán intactas, luego es legal hacerlo. El teorema de Weinberg-Witten se aprovecha de esta propiedad para ver que el valor esperado que calculan se anula para según qué espines concretos.

[Vitor]

Esto es una cuestión más de mecánica cuántica no relativista. En mecánica clásica cuando rotamos un vector hacemos $V^{\mu}=R^{\mu}_{\nu}V^{\nu}$. En mecánica cuántica los análogos de $V^{\mu}$ son los estados $|\alpha\rangle$, por lo que definimos las rotaciones de manera que actuen sobre los estados $|\alpha\rangle_R=D(R)|\alpha\rangle$. Así pues si queremos calcular la rotación del valor esperado $\langle \mathcal{O}\rangle:=\langle \alpha|\mathcal{O}|\alpha\rangle$, calcularemos $\langle \mathcal{O}\rangle_R =\langle \alpha|D(R)^{-1}\mathcal{O}D(R)|\alpha\rangle$.

Aplicado a nuestro caso, para calcular $\langle J^{\mu}\rangle:=\langle p',\pm j|J^{\mu}|p,\pm j\rangle$ hemos de rotar los estados (uso la misma notación que un valor esperado aunque no lo sea). Esto hará que, dada la corriente clásica $J^{\mu}$ que se transforma bajo rotaciones como $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$, esta tenga como análogo cuántico $\langle J^{\mu}\rangle$ que se transformará de la misma manera, tal como debe ser. Porque si rotamos los estados y la corriente a la vez, esta corriente ya no se transformará bajo la representación fundamental del grupo de Lorentz, es decir, $J^{\mu}\neq\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$, y no queremos eso.

Por supuesto, transformar los estados dejando la corriente sin transformar es lo mismo que no transformar los estados pero transformar las corrientes: las probabilidades quedarán intactas, luego es legal hacerlo. El teorema de Weinberg-Witten se aprovecha de esta propiedad para ver que el valor esperado que calculan se anula para según qué espines concretos.

¿Quieres decir que esta manera de transformar es también una especie de axioma o algo que se impone para que valores esperados o brackets se transformen como se esperaría?

Cuando tú tienes cualquier tensor y aplicas una rotación de coordenadas entonces todos los tensores se transforman bajo la rotación (y eso es completamente normal porque se trata de un cambio de base que como tal afecta a todos los tensores, al margen de que los escalares permanezcan invariantes), pero aquí es como si hubiese que transformar solamente estados u operadores (no los dos a la vez). ¿No puede esto entenderse también como un cambio de base pero en un espacio de Hilbert? Supongo que la base de estados no es la misma que la base de operadores en general...

[Weip]

Hola de nuevo.

Nosotros ya sabemos que las corrientes son cuadrivectores de un inicio, es decir, que se transforman como $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$. Sabiendo esto, cuando hemos de definir cómo se transforma un estado, hemos de tener en cuenta que esa definición ha de ser consistente con $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$. Es decir, no serviría de nada una definición de rotación de los estados tal que al rotar los valores esperados $\langle J_{\mu}\rangle$ llegáramos a la conclusión de que $J_{\mu}$ no se transforma bajo el grupo de Lorentz como un cuadrivector. Matemáticamente, si rotáramos estados y corriente, obtendríamos $\langle p'|J_{\mu}'|p'\rangle=\langle p|U^{\dagger}(\Lambda)U(\Lambda)J_{\mu} U^{\dagger}(\Lambda)U(\Lambda)|p\rangle=\langle p|J_{\mu}|p \rangle$, es decir, la corriente sería un escalar, cosa que no puede ser, porque tiene un índice de Lorentz.


Cuando rotamos un vector en mecánica clásica pasa lo mismo. Rotamos el vector, pero mantenemos los ejes de coordenadas fijos. O también podemos mantener fijo el vector, y rotar los ejes. Si hacemos las dos cosas a la vez, sería como si no hubiésemos aplicado la rotación ya para empezar, porque la rotación del vector y la rotación de los ejes se cancelan entre sí.

[Vitor]

Hola de nuevo.

Nosotros ya sabemos que las corrientes son cuadrivectores de un inicio, es decir, que se transforman como $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$. Sabiendo esto, cuando hemos de definir cómo se transforma un estado, hemos de tener en cuenta que esa definición ha de ser consistente con $J^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}J^{\nu}$. Es decir, no serviría de nada una definición de rotación de los estados tal que al rotar los valores esperados $\langle J_{\mu}\rangle$ llegáramos a la conclusión de que $J_{\mu}$ no se transforma bajo el grupo de Lorentz como un cuadrivector. Matemáticamente, si rotáramos estados y corriente, obtendríamos $\langle p'|J_{\mu}'|p'\rangle=\langle p|U^{\dagger}(\Lambda)U(\Lambda)J_{\mu} U^{\dagger}(\Lambda)U(\Lambda)|p\rangle=\langle p|J_{\mu}|p \rangle$, es decir, la corriente sería un escalar, cosa que no puede ser, porque tiene un índice de Lorentz.


Cuando rotamos un vector en mecánica clásica pasa lo mismo. Rotamos el vector, pero mantenemos los ejes de coordenadas fijos. O también podemos mantener fijo el vector, y rotar los ejes. Si hacemos las dos cosas a la vez, sería como si no hubiésemos aplicado la rotación ya para empezar, porque la rotación del vector y la rotación de los ejes se cancelan entre sí.

Hola Weip. De acuerdo, me quedo entonces con que cualquier otra forma de transformar como la que pensé va a conducir a resultados erróneos para los valores esperados y brackets en general, muchas gracias por tu explicación.

No quiero abusar porque ya has escrito un montón de respuestas a todas las preguntas que tenía, pero estoy repasando el tutorial y he visto que hay un último punto que sigo sin entender en todo esto, que es cuando se dice que después de calcular el límite del objeto $\langle p'| J^\mu |p \rangle$ que decíamos cuando $\mu=0$, es trivial pasar de $\langle p'| J^0 |p \rangle$ a $\langle p'| J^\mu |p \rangle$ con el índice $\mu$ general "por invariancia Lorentz". ¿Tú sabes cómo pasar de ese caso $\mu=0$ al general usando simplemente invariancia Lorentz como se dice en el tutorial? Lo he estado pensando mucho y lo único que se me ocurre es que se añada una especie de factor $\frac{p^\mu}{p^{0}}$ al resultado del límite de $\langle p'| J^0 |p \rangle$ (porque $\frac{p^\mu}{p^{0}}$ cuando $\mu=0$ es trivialmente 1) y que eso dé directamente el resultado esperado con $\mu$ general, pero no lo veo en absoluto riguroso.