Demostraciones

[Saplaya]

Me siento ignorado

Y un poco cegato, un poco más arriba tienes tu respuesta

[ser humano]

jaja, ultimamente estoy bastante despistado aparentemente

Esto te ocurre por que consideras una orbita circular de radio por un lado y por otro consideras . Ten en cuenta que si la orbita es circular

Creo estar tomando una orbita circular de radio $r=a+c$, siendo los valores $a$ y $c$ los correspondientes a la orbita eliptica. No noto donde supongo $r=a=b$. Tal vez no te estoy entendiendo del todo, o tal vez no se entiende bien lo que propongo porque lo expuse muy superficialmente. Tu me diras

[ser humano]

Para poder verlo mejor:


ambos, en el apoastro de la orbita roja tienen la misma velocidad, la cual permanece constante en la orbita circular

[Saplaya]

En tu resultado aparece $a^2$ que deduzco que sale de $ab\pi=....$, con $a=b$, pero una elipse de semiejes iguales es una circunferencia de radio $r=a=b$, es decir por un lado utilizas una circunferencia de radio $r=a$ e igualas por otro a los resultados de una de radio $r=a+c$. En la primera ecuación tendrías que sustituir $ab$ por $(a+c)(a+c)$, con lo cual ya obtienes el resultado correcto. Lo que me parece es que esto no te conduce a lo que buscas.

[ser humano]

Por la segunda ley:

, entonces , siendo el semieje mayor, c la distancia focal, v la velocidad en el apoastro y T el periodo.

Esto esta planteado para la elipse roja, ya que la segunda ley quedo demostrada para toda elipse

Supongamos un obejeto de igual masa que tiene una orbita circular con el mismo objeto central que el anterior de radio (a+c) y velocidad constante (pues se conserva el momento angular) v. Como ya fue demostrado, se cumple para el astro:



al ser una orbita circular se cumple:

despejando y sustituyendo:

Luego, aqui, busco un valor para v, y para eso imagino una orbita (esta vez circular) que tiene un radio de $a+c$ (valor que me conviene que tenga) y una velocidad v (para que de esta forma la pueda despejar para, a partir de las cosas que ya se demostraron que valen para una orbita circular, encontrar un valor para v).
Todo este planteo esta hecho para la circunferencia, pero esta tiene la misma velocidad que tiene el objeto en el periastro de la orbita eliptica roja, que es el valor que quiero hallar para seguir con la demostracion.

Por ultimo, sustituyo este valor en la ecuacion que valia para la elipse (la primera) y queda lo que puse en el mensaje:
lo hago por pasos

$ab\pi=\frac {(a+c)v}2 T$ con $v^2=\frac {GM}{a+c}$

elevo al cuadrado en la primera igualdad a ambos lados:

$a^2b^2{\pi}^2=\frac {(a+c)^2v^2}4T^2$

sustituimos $v^2$:

$a^2b^2{\pi}^2=\frac {(a+c)^2\frac {GM}{a+c}}4T^2$

$4{\pi}^2 a^2b^2=(a+c) {GM}T^2$

Por el teorema de Pitagoras : $a^2=b^2 + c^2$ entonces $b^2=a^2-c^2$

$\frac{4{\pi}^2 a^2(a^2-c^2)}{(a+c) {GM}}=T^2$

factorizando:
$\frac{4{\pi}^2 a^2(a-c)(a+c)}{(a+c) {GM}}=T^2$

y queda la expresion que ya habia expuesto:

$\frac{4{\pi}^2 a^2(a-c)}{{GM}}=T^2$

[Saplaya]

Bueno, esto que has hecho es casi un acertijo, veamos primero estas consideraciones
1- La energía del cuerpo es siempre la misma en toda su orbita
2- Al establecer los valores de $a+c$ (que no de $a$ y $c$ por separado) y de $L$, si consideras la ecuación de la energía en el periastro, veras que la energía depende exclusivamente de estos valores
3- Como los coeficientes $q$ y $e$ que definen la elipse en polares dependen de $L$ y de $E$, también has establecido unos valores concretos para estos coeficientes
4- Consecuentemente solo hay una elipse que cumpla los $a+c$ y $L$ exigidos y esta es precisamente la circunferencia de la que partiste

En definitiva la expresión que obtienes es correcta, lo que sucede es que el único valor posible para $c$ en este caso es $c=0$. Yo no lo he hecho, pero si operas con las expresiones de $q$ y $e$ tienes que llegar a $q=a$ y $c=0$

[ser humano]

Ah, esta bien, gracias. Espero que se me ocurra alguna otra forma, voy a seguir intentando

[ser humano]

Una genialidad de demostracion Saplaya.

Voy a cambiar algunos detalles de la demostracion de la segunda ley, para que sea mas general y que sirva de sustento para la primera ley (sino esta ultima, que quiere demostrar que las orbitas son elipticas, se estaria basando en una demostracion que en principio solo esta demostrado que vale para orbitas elipticas). ¿Vos podrias dibujar una curva cerrada que no sea una figura reconocible? asi es notorio que mas alla de la trayectoria, la demostracion es igual de valida.
En la demostracion dice

expresiones estas que utilizaremos más adelante.

¿estas expresiones que utilizaremos mas adelante?

[Saplaya]

Voy a cambiar algunos detalles de la demostracion de la segunda ley, para que sea mas general y que sirva de sustento para la primera ley (sino esta ultima, que quiere demostrar que las orbitas son elipticas, se estaria basando en una demostracion que en principio solo esta demostrado que vale para orbitas elipticas).

Hola. Tienes razón, si cambias lo de “orbitas elípticas", por "sistema de fuerzas centrales" creo que ya valdría. También estaría bien que iniciaras con la expresión vectorial de $M$

¿estas expresiones que utilizaremos mas adelante?

Me refiero a las que obtengo antes, la (3.2) y (3.3). de todas formas, como veo que no se acaba de entender voy a modificarlo un poco. Gracias

¿Vos podrias dibujar una curva cerrada que no sea una figura reconocible?

Tienes la de la demostración de la 1ª Ley. Está en http://img175.imageshack.us/img175/9423/1kepler1contraida.jpg

[Saplaya]

Estaba pensando que el dibujo que te he puesto en el mensaje anterior no se adaptará muy bien a tu demostración, así que te he preparado este

http://img91.imageshack.us/img91/535...lcontraida.jpg

[ser humano]

Excelente!

edito:

Edite un poco la imagen (con todas las utilidades que paint me ofrece ), para que complemente un poco mas la explicacion

[ser humano]

Despues de mucho (mucho) intentarlo, creo que logre demostrar la tercera ley de kepler para orbitas elipticas en general. La demostracion es relativamente sencilla, lo que pasa es que las otras maneras que se me habian ocurrido antes llevaban a calculos muy grandes, que intente resolver y nunca llegue a la expresion buscada. Bueno, cualquien observacion sera bienvenida.

[Saplaya]

De nota ser humano, no cabe duda de que has agudizado tu ingenio en esta demostración, enhorabuena. Comentarios respecto al procedimiento que has seguido para la demostración.........ninguno, ya que lo veo todo correcto.
En cuanto al contenido, un par de comentarios sobre dos errores de transcripción que he visto. En la expresión que viene después de donde dices “despejando $v^2$” aparece $(a+c)$ en el numerador y $(a-c)$ en el denominador, esto debe ir al revés. Esto lo arrastras hasta la última expresión que obtienes de $v^2$, en ella el error permanece en el termino central de la igualdad pero en el término de la derecha ya aparece bien.
Otra a cosa que veo es que después de donde dices "Simplificando y haciendo la división" en la ecuación de $T^2$ incluyes dos veces $b^2$ y lo arrastras hasta el final, con lo cual aparece en la última ecuación de $T^2$ en la cual solo tiene que aparecer $a^3$. Es lo que tiene transcribir a Latex.
Respecto a la de la energía potencial, lo veo todo bien. Cuando tenga un rato haré alguna de las subdemostraciones de la 3ª Ley.

Un saludo

[ser humano]

Gracias por las observaciones. Ahora me dispongo a corregirlas .

[Ulises7]

ser humano , aunque debo confesar que alegrarias mi vista si utlizaras \displaystyle y \dd