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Hilo: Las unidades en un logartimo neperiano

  1. #1
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    Predeterminado Las unidades en un logartimo neperiano

    Tengo entendido que un logaritmo neperiano es siempre adimensional. Mi problema es que tengo una integral de línea que es la de 1/r dr siendo r una distancia. Eso daría ln(r) pero no tiene sentido por lo de las unidades.¿alguien me ayuda?

    gracias

  2. #2
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    Predeterminado Re: Las unidades en un logartimo neperiano

    Léete el hilo Integral definida con logaritmo neperiano ¿negativo?, que debería ser aclaratorio del asunto.

    Saludos,

    \mathcal A \ell
    Don't wrestle with a pig in the mud. You'll both get dirty, but the pig will enjoy it. - Parafraseando a George Bernard Shaw

  3. El siguiente usuario da las gracias a Al2000 por este mensaje tan útil:

    mrmgranada (25/07/2014)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Las unidades en un logartimo neperiano

    A mí me explicaron que, como bien dices, es adimensional, pero en física o química por ejemplo, se hace la vista gorda. Sencillamente es eso. O al menos es lo que me dijo mi profesor de física, la verdad es que yo encuentro esta respuesta bastante insatisfactoria, pero es lo que hay.
    \dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{S}=\dst\frac{Q}{\epsilon_0}

  5. El siguiente usuario da las gracias a Weip por este mensaje tan útil:

    mrmgranada (25/07/2014)

  6. #4
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    Predeterminado Re: Las unidades en un logartimo neperiano

    La integral indefinida de 1/r es ln(r), pero tienes que tener en cuenta que a la hora de usarla tendrás que poner un límite superior y otro inferior en los que evaluarla, de modo que tienes:

    \dst\int_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r}=\left[ln(r_1)-ln(r_0)\right]=ln\left(\frac{r_1}{r_0}\right)

    Que es el ln (adimensional) de algo adimensional. Si te fijas en la integral tienes dr/r, que se mide en m/m, o sea, adimensional.
    Partícipes de vuestra ignorancia, cómplices de vuestra esclavitud

  7. El siguiente usuario da las gracias a teclado por este mensaje tan útil:

    mrmgranada (25/07/2014)

  8. #5
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    Predeterminado Re: Las unidades en un logartimo neperiano

    Cita Escrito por mrmgranada Ver mensaje
    Tengo entendido que un logaritmo neperiano es siempre adimensional. Mi problema es que tengo una integral de línea que es la de 1/r dr siendo r una distancia. Eso daría ln(r) pero no tiene sentido por lo de las unidades.¿alguien me ayuda?

    gracias
    Efectivamente, el argumento de cualquier función matemática (como el logaritmo) debe ser siempre adimensional.

    Ten en cuenta que cualquier integral siempre tiene una constante de integración,

    \int\!\! \dd r \ \frac 1 r = \ln r + K .

    Ahora imagínate que yo, porque me da la gana, quiero cambiar el nombre de la constante. Lo importante es que sea constante, y elijo K = - \ln r_0, donde r_0 es otra constante. Por lo tanto, usando las propiedades de los logaritmos,

    \begin{aligned}\int\!\! \dd r \ \frac 1 r  & = \ln r - \ln r_0 \\ & = \ln \frac{r}{r_0} .\end{ali...

    Esa r_0 sigue siendo una constante de integración, sólo que la hemos podido meter dentro del logaritmo gracias a las propiedades del logaritmo. Ahora, si esta r_0 tiene dimensiones de longitud, entonces el cociente r/r_0 es adimensional y por lo tanto podemos sacar el logaritmo sin más problemas.

    Visto de otra forma, en Física normalmente no nos interesan integrales indefinidas, sino que integramos en un intervalo (por ejemplo, podemos pensar que integramos entre el instante inicial y el instante final). En este caso, tenemos algo como

    \int_{r_0}^r \!\! \dd r \ \frac 1 r = \ln \frac r {r_0} .

    Como ves, en la integral definida sale el resultado adimensional directamente, sin tener que hacer una construcción rara con la constante de integración.
    La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
    @lwdFisica

  9. 2 usuarios dan las gracias a pod por este mensaje tan útil:

    mrmgranada (25/07/2014),Weip (25/07/2014)

  10. #6
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    Predeterminado Re: Las unidades en un logartimo neperiano

    Cita Escrito por pod Ver mensaje
    Efectivamente, el argumento de cualquier función matemática (como el logaritmo) debe ser siempre adimensional.

    Ten en cuenta que cualquier integral siempre tiene una constante de integración,

    \int\!\! \dd r \ \frac 1 r = \ln r + K .

    Ahora imagínate que yo, porque me da la gana, quiero cambiar el nombre de la constante. Lo importante es que sea constante, y elijo K = - \ln r_0, donde r_0 es otra constante. Por lo tanto, usando las propiedades de los logaritmos,

    \begin{aligned}\int\!\! \dd r \ \frac 1 r  & = \ln r - \ln r_0 \\ & = \ln \frac{r}{r_0} .\end{ali...

    Esa r_0 sigue siendo una constante de integración, sólo que la hemos podido meter dentro del logaritmo gracias a las propiedades del logaritmo. Ahora, si esta r_0 tiene dimensiones de longitud, entonces el cociente r/r_0 es adimensional y por lo tanto podemos sacar el logaritmo sin más problemas.

    Visto de otra forma, en Física normalmente no nos interesan integrales indefinidas, sino que integramos en un intervalo (por ejemplo, podemos pensar que integramos entre el instante inicial y el instante final). En este caso, tenemos algo como

    \int_{r_0}^r \!\! \dd r \ \frac 1 r = \ln \frac r {r_0} .

    Como ves, en la integral definida sale el resultado adimensional directamente, sin tener que hacer una construcción rara con la constante de integración.

    Muchas gracias, me has ayudado mucho para resolver el problema que tenía. Creo que lo más apropiado sería utilizar como constante el -ln(1), ya que tampoco modificará el valor del logaritmo ln(r)

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