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Desde un punto de vista dinámico, una simetría se puede entender como lo que tiende a ser igual, repetitivo o reiterativo, bajo ciertos cambios en un determinado objeto. Así pues, para poder definir una simetría que está asociada a un determinado cambio en un cuerpo, es necesario definir un cambio, una transformación, sobre él. Si dicha transformación es tal que no se produce variación aparente en el objeto, se dirá que ese posee una simetría respecto a esa transformación.
La Mecánica Newtoniana, que posteriormente fue desarrollada por Lagrange, Hamilton entre otros, descansa implícitamente sobre ciertas simetrías del espacio y el tiempo, las cuales pueden ser postuladas y así a partir de ellas construir las leyes de la Física. Estas simetrías son las que llamamos homegeneidad e isotropía del espacio, es decir, que las layes físicas son las mismas en todos los puntos y en todas las direcciones (no existen puntos ni direcciones privilegiados donde las leyes sean diferentes); y la uniformidad en el tiempo, lo que quiere decir que las leyes físicas son las mismas en todos los instantes del tiempo (el transcurso del tiempo no modifica las leyes físicas).
Estudiar las leyes mecánicas de esa manera resulta interesante, pues los principios de los que se parte son muy sencillos de comprender y asimilar de una forma bastante intuitiva. Además, de este modo puede apreciarse de forma clara la belleza intrínseca de nuestro universo. Por decirlo de alguna manera, al combinar la matemática con ciertos ingredientes meramente estéticos se logra describir de forma bastante efectiva las leyes del mundo en el que vivimos.
Antes de empezar a explicar como se relacionan esas simetrías con las leyes físicas, resulta importante mencionar a la responsable, Emy Noether (1882-1935), una matemática Alemana de origen judío, quien además es considerada como la creadora del álgebra moderna. Estudió con un permiso especial en la Universidad de Erlangen, pues en aquellos años estaba prohibida la admisión de mujeres, siendo la única entre más de mil alumnos. En 1915 fue invitada por David Hilbert (1862-1943) y Félix Klein (1849-1925) a trabajar con ellos en la Universidad de Göttingen, que en ese entonces posiblemente era el principal centro matemático Europeo. Durante ese periodo de su vida tuvo una intensa producción científica, realizando sus aportaciones principales tanto a la Matemática como a la Física. En este artículo hacemos referencia al Teorema de Noether, o Klein-Noether para no quitarle mérito a sus compañeros de trabajo.
Este teorema asocia a [FONT=verdana][FONT=verdana]cada simetría (en el sentido definido más arriba: una transformación que no produce cambio apreciable), una cantidad conservada. O, mejor dicho, en el sentido del Teorema de Noether, cada una de esas simetrías origina una cantidad conservada.[/FONT][/FONT] De esta forma, el teorema de Noether hace uso de una de las propiedades más potentes de la integral de acción , sus simetrías, y se puede enunciar de la siguiente forma.
Si , es invariante respecto a las transformaciones continuas:
Entonces:
es una constante de movimiento, donde es el lagrangiano del sistema.
Probar el teorema no es el objetivo de este artículo, pero hacerlo es relativamente sencillo, pues basta con definir usando las transformaciones de Klein-Noether, ec. (1), y considerar que . Ahora veamos que ocurre si tomamos las simetrías asociadas al espacio-tiempo:
Dijimos que el tiempo es uniforme, lo cual matemáticamente en las transformaciones de Klein-Noether se traduciría en y , lo cual tomando en cuenta (2), quiere decir que
Esta expresión coincide con el hamiltoniano, que representa la energía del sistema. Es decir, la uniformidad del tiempo implica que la energía del sistema se conserva.
Por otra parte, si el espacio es homogéneo, es decir hay invariancia bajo traslaciones, entonces y , lo que nos da
es decir el momento generalizado para la coordenada se conserva.
Y si el espacio es isotrópico, es decir invariante bajo rotaciones entonces y , luego la cantidad conservada será
es decir , que viene a ser la componente en la dirección del momento angular.
Es así que ,a partir del teorema de Noether y las simetrías asociadas al universo (en este caso clásicas), se pueden obtener los teoremas de conservación de la energía, momento lineal y angular.
Para finalizar es importante mencionar que el teorema de Emy Noether, además de ser aplicado en el ámbito de la Física Clásica, también puede sirve en campos como la mecánica cuántica y la física de partículas, siempre y cuando esas transformaciones que se definan sean continuas, pues el modelo actual de la física de partículas esta descrito por un gran número de simetrías, pero dejaremos ese tema para otro artículo.
