Integración numérica I

En esta serie de artículos, pretendo introducir los métodos de la integración numérica aproximada, es decir, obtener un valor aproximado de la integral definida $\int_a^b f(x)dx$ (suponiendo algunas hipótesis sobre la función y el intervalo de integración) y dar una cota del error que se comete al usar el valor aproximado en vez del valor exacto.

La primera pregunta que uno podría hacerse es, ¿por qué nos hace falta calcular de forma aproximada el valor de una integral, si ya podemos calcularlo de forma exacta con la Regla de Barrow (Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral)? Lo único que haría falta es calcular una primitiva de $f(x)$, es decir, una función $F(x)$ tal que $F'(x) = f(x)$, sustituir y luego hacer la resta. Si habéis estudiado Cálculo Infinitesimal/Análisis Matemático (como queráis llamarlo), sabréis que buscar primitivas a partir de una función dada es un coñazo. Pero es que no sólo eso... a veces es imposible encontrar una función primitiva en términos de funciones elementales. ¿Qué es eso de función elemental? Sin entrar en demasiados detalles técnicos, una función elemental es aquella que se puede obtener como combinación finita (usando la suma, resta, multiplicación, división y composición) de funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales y las inversas de éstas. Así, por ejemplo, una primitiva de $\sqrt{\tan{x}}$ sí es una función elemental, ya que podemos expresar ésta en función de raíces, tangentes, arcotangentes y neperianos; lo que ocurre es que esta expresión es bastante larga y su obtención a mano es muy laboriosa, y por tanto puede ser la candidata ideal para aplicarle los métodos de la integración numérica. Aparte, muchas integrales que aparecen en las Ciencias Físicas, Ingeniería y otras ramas del saber humano que hacen uso de las matemáticas no responden a poder expresarse en términos de funciones elementales. Ejemplos típicos son las integrales

$$\int \frac{dx}{\ln x},~\int e^{-x^2/2} dx,~ \int \cos(x^2)dx, ~ \int \frac{e^{-x}}{x}dx$$

Lo que se suele hacer es dar un nombre a estas integrales y luego, por ejemplo con los métodos que se van a exponer aquí, se crean tablas con valores aproximados de ciertas integrales definidas. En particular, la segunda integral admite una representación como serie infinita de potencias:

$$\int e^{-x^2/2} dx = C + x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{40} - \frac{x^7}{336} + \frac{x^9}{3456} + o(x^9), ~ C \in \mathbb{R}$$

y se puede demostrar que este desarrollo es válido para todo $x \in \mathbb{R}$; lo que ocurre, no obstante, es que esto no es una combinación finita, como requiere nuestra definición.

Pues bien, presentada la motivación del estudio de la integración numérica, vamos a fijar el objetivo principal:

Hallar valores aproximados de integrales definidas, obteniendo también acotaciones de los errores de dichas aproximaciones.

Para esta finalidad, se suelen usar dos enfoques:

1. La búsqueda de una función $f^*:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, de manera que, sabiendo calcular $\int_a^b f^*(x)dx$, se pueda asegurar que la diferencia entre la integral objetivo $\int_a^b f(x)dx$ y la integral aproximada $\int_a^b f^*(x)dx$ es (en valor absoluto) menor que una cantidad prefijada $\varepsilon$; es decir

$$\left|\int_a^b f(x)dx - \int_a^b f^*(x)dx \right| < \varepsilon$$

2. También podemos buscar dos funciones $f_1(x)$ y $f_2(x)$ tales que, sabiendo calcular $\int_a^b f_1(x)dx$ y $\int_a^b f_2(x)dx$, tengamos que $f_1(x) \leq f(x) \leq f_2(x) ~\forall x\in [a, b]$, por lo que se tiene que $\int_a^b f_1(x)dx \leq \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b f_2(x)dx$. De esta forma, el valor $\frac{1}{2}(\int_a^b f_1(x)dx + \int_a^b f_2(x)dx)$ aproxima a $\int_a^b f(x)dx$, con un error menor que $\frac{1}{2}(\int_a^b f_2(x)dx - \int_a^b f_1(x)dx)$.

En el siguiente artículo, se presentará el primer método basado en el uso de una función $f^*(x)$ para obtener un valor aproximado de una integral definida $\int_a^b f(x)dx$.