Física y matemática necesaria para lanzar un cohete.-1) El modelo sencillo: un sistema de masa variable.

[Richard R Richard]

1) El modelo sencillo: un sistema de masa variable.

Cuando queremos describir el movimiento de los cohetes por medio de la mecánica Newtoniana, lo hacemos en primera medida por medio de un '''sistema de masa variable'''.

Un sistema de masa variable, justamente es aquel en el que la masa total del conjunto de materiales que lo componen varía con el tiempo. Los cohetes pierden una cantidad significativa de masa a medida que queman el combustible, son por supuesto un sistema de masa variable. En estos modelos la segunda ley de Newton $\sum F= m a$ no se puede aplicar directamente dado que sólo es válida para sistemas de masa constante, por lo tanto, la dependencia de la masa $m$ respecto del tiempo $t$, se puede calcular reescribiendo la segunda ley de Newton añadiendo un término que considera el momento lineal de la masa que entra o sale del sistema.
Entonces, la ecuación general de movimiento de una masa variable, puede escribirse como:

$\vec F_{ext} + \vec v_{rel}\dfrac{d M}{dt} = M \dfrac{d \vec v }{ dt}$

Donde $\vec F_ {ext}$ es la fuerza neta externa ejercida en el cuerpo, $v_{rel}$ es la velocidad relativa de la masa que está escapando (combustible más comburentes quemados) también llamada velocidad efectiva de escape y denominada como $v_e$ y por último $v$ es la velocidad del cuerpo del cohete en un sistema de referencia inercial. Antes de que surja la controversia hay que aclarar que un sistema de masa variable “no” puede describirse como la derivada respecto del tiempo del producto de la masa con la velocidad, Por dos razones el sistema no es cerrado: como el del cohete que pierde combustible y eyecta gases a distintas velocidades en el sistema de referencia, no se puede tratar a la masa como una variable en función del tiempo. La fuerza es el cambio en el momento lineal respecto del tiempo. Pero si bien la fuerza sigue siendo el cambio de momento lineal, el momento ya no puede describirse como el producto de masa con la velocidad, sino que se agrega un término nuevo , resultando que se no respeta la invariancia galileana la cual sostiene que un objeto de masa variable con $F=0$ en un marco de referencia inercial, tendrá $F\neq 0$ en otro. Así que no es correcta derivar expresiones a partir de

$\cancel{\vec F_{net}= \dfrac{d}{dt}\big [ M_{(t)}\vec v_{(t)}\big ] = M_{(t)} \dfrac{d\vec v}{dt} + \vec v_{(t)} \dfrac{dM}{dt}}$

Voy a tratar de obtener y resolver la ecuación de movimiento de un cohete considerando las ´ fuerzas externas que actúan sobre él la función obtenida será dependiente de la variable tiempo. Para estos sistemas tenemos que partir de la forma más general posible de la segunda ley de newton, permitiendo que actúe una fuerza externa $\vec F_ { ext}$ en el sistema. Esta fuerza no es la fuerza que impulsa al cohete (la cual es una fuerza interna para el sistema ), si no es más bien la fuerza producida de ´ algún agente externo al sistema, que pueden ser la fuerza de ´ gravedad que ejerce la Tierra o el rozamiento con el aire. Entonces la segunda ley puede expresarse como:

$\vec F_ { ext} = \lim\limits_{ \Delta t \to 0} \dfrac{\Delta P}{\Delta t}$

Hagamos la siguiente consideración el cohete está en el espacio ingrávido, se cumple la primera ley de Newton que dado un determinado marco de referencia el cohete puede estar en reposo o moverse en MRU a velocidad constante. Así la cantidad de movimiento inicial del cohete es $p_i=Mv_i$
Luego En el intervalo de tiempo $\Delta t$, ocurrirá un cambio del momento lineal $\Delta P$
Sabemos que un instante de tiempo posterior $\Delta t$, la masa que originalmente había M ha arrojado cierta cantidad de masa $- \Delta M$. La masa restante $M +\Delta M$, se mueve ahora con una velocidad $v + \Delta \vec v$.

Como $\Delta P = \vec p_f – \vec p_i$ . Donde $\vec p_f$es el momento final del sistema , en el instante de tiempo $t + \Delta t$, y $p_i$ el momento inicial en el instante $t$, entonces

$\vec p_f = (M+\Delta M)(\vec v + \Delta \vec v) + (-\Delta M)\vec u$

El cambio del momento es

$\Delta \vec P = (M + \Delta M)( \vec v + \Delta \vec v) + (-\Delta M) \vec u - M\vec v$.

Sustituyendo la expresión del cambio del momento en la ´primer ecuación, obtenemos

$\sum \vec F_ {ext}=\lim\limits_{\Delta t \to 0} M \dfrac{\Delta \vec v }{\Delta t} + \vec v\dfrac{\Delta M}{\Delta t} + \overbrace{\Delta \vec v \dfrac{\Delta M}{ \Delta t}}^{=0} – \vec u\dfrac{\Delta M }{\Delta t}$

De lo que se obtiene:

$\sum \vec F_ {ext} = M \dfrac{d\vec v}{ dt} + (\vec v –\vec u) \dfrac{dM}{ dt}$

podemos identificar que el primer término $d\vec v/dt$ es la aceleración del sistema cuando empieza a perder masa a una velocidad $\vec u$ a una tasa de $|dM /dt|$
Para ver si en verdad la expresión es la versión más general de la segunda ley de Newton, basta con identificar algunos términos y ponerlos como la derivada del producto de las funciones de v y M.
Para así obtener:

$\vec F_{ext}= \dfrac{d (M\vec v)}{dt} -\vec u\dfrac{dM}{ dt}$

Llamando velocidad relativa de los gases respecto al cohete a
$\vec u_{rel}= \vec v- \vec u$

Así que podemos escribir la ecuación como:


$\vec F_{ext} = M \dfrac{d\vec v}{ dt} + \vec u_{rel} \dfrac{dM}{ dt}$ .


Cuando el cohete está en el espacio ingrávido la sumatoria de fuerzas exteriores al sistema es nula

$\vec F_{ext}=\vec 0$


Por lo que trabajando con módulos ahora


$0 = M \dfrac{d v}{ dt} + u_{rel} \dfrac{dM}{ dt}$

Luego $M \dfrac{d v}{ dt} =- u_{rel} \dfrac{dM}{ dt}$

$\dfrac{d v}{ dt} =- u_{rel} \dfrac{dM}{ M dt}$

Si sabemos que M es en todo momento $M=M_o-Ct$ donde $C$ es el consumo de másico de combustible más comburente del cohete.
Entonces

$\dfrac{dM}{dt}=-C$

$\displaystyle \int_{v}^{v_o} d v=- u_{rel}\int_{Mo}^{M} \dfrac{dM}{ M }$

$v-v_o=-u_{rel}\ln\left|1-\dfrac{C}{M}t\right|$

Así tenemos la velocidad en función el tiempo , de modo similar obtenida a la ecuación del cohete de Tsiolkovski

Si queremos saber la posición entonces hacemos $v=\dfrac{dy}{dt}$ y volvemos a integrar

$y(t)=y_o+(v_o+u_r)t+u_r\dfrac{M_o-Ct}{C}\ln{\left|1-\dfrac{C}{M}t \right |}$

Dejo para los interesados Probar la veracidad de las ecuaciones o mejorar la deducción aclarando los pasos intermedios.




La física y las matemáticas necesarias para lanzar un cohete al espacio exterior.
1. El modelo sencillo: un sistema de masa variable.
2. Un modelo con gravedad
3. Un modelo con fricción.
4. Un modelo con gravedad variable
5. Un modelo con fricción variable, aerodinamía.
6. Argumentos para optimizar.
7. Ventanas de lanzamiento, fuerzas ficticias, navegación
8. Órbitas, definiciones, estimación, formulación.
9. Leyes de conservación, que se conserva y que no.
10. Consumo energético para el cambio de órbitas
11. Órbitas de transferencia
12. Sistema Tierra Luna , problema de los dos cuerpos.
13. Puntos de Lagrange de un sistema de tres cuerpos
14. Asistencia gravitatoria
15. Reentrada atmosférica.
16. Una pincelada relativista