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De momento siento que lo que se ha explicado en el hilo tiene una pequeña base física y una gran parte matemática, pero la NASA aparte delos matemáticos tiene ingenieros, astrónomos, y físicos trabajando. Cada disciplina aporta lo suyo para hacer cada vez más preciso el cálculo de la trayectoria.
Veamos que pasa matemáticamente con la gravedad, hasta ahora la hemos considerado constante, pero como es lógico ,estamos tratando de calcular una trayectoria que se aleja del centro de la Tierra , y como ya sabemos el módulo de la aceleración de la gravedad cae con el cuadrado de la distancia al centro.
es lógico pensar que la aceleración relativa respecto de la superficie para un objeto a mayor altura sea menor que uno a baja altura. este tipo de correcciones se hacen por medio de ecuaciones diferenciales.
Veamos el cálculo sencillo de la caída libre sin fricción, Se deja caer sin velocidad inicial un objeto de masa desde una altura respecto a un cuerpo masivo de masa
Usando la conservación de la energía tienes una ecuación diferencial de primer orden que es relativamente fácil de integrar.
de donde
si tratamos de integrar
La integral de la izquierda, es un poco pesada de realizar. Mi fuente , amigo de otro foro ha hecho, el cambio de variable .
Finalmente sale
entonces
Podríamos saber entonces el tiempo que le lleva caer desde la altura hasta
Bueno este tipo de integrales son las que complicaran las que ya venimos desarrollando en el punto 3 porque ahora la fuerza exterior ya no es una constante a un lado de la ecuación sino que adquiere vida propia...
todavía no intentemos liar más con la fricción que tiene cosas más complejas retrocedamos a 2 y vemos como resulta la ecuación trabajando con módulos
como venimos usan la variable y para la altura respecto a superficie podemos modificar la ecuación componiéndola con la primera y expresándola en función de la distancia a superficie sabiendo que
´
Bueno a ver quién se anima y la resuelve sabiendo de nuevo que
Gracias al que lo intentó la verdad no me atrevo con las ED, ya me equivoco tipeando , más lo haré resolviendo....
bueno, pero ahí estaba la "trampa" la que dejaba picando...hasta ahora todas las soluciones de las ED tenían solución analítica , pero ahora viendo cómo funciona en realidad la naturaleza, vemos que un modelo matemático un tanto más complejo en la relación de variables , no tiene una respuesta que se obtenga de aplicar fórmula, de ese modo, empezamos a toparnos con los problemas que los profesionales de la ingeniería aeroespacial se topaban a diario, ahora meter los datos en un computador ejecutar comandos y tener un resultado o graficarlo, para una serie de parámetros alternativos no parece tarea difícil, pero hace 60 -70 años solo había algunas calculadoras, y ya vimos en la película el tamaño de una computadora IBM de unos pocos Kb de memoria.
A que voy a que desde como tu puntualizas los regímenes de alta velocidad la fricción no son proporcionales a la velocidad, y todo cambia más allá de los regímenes supersónicos, donde veré si puedo hojear algún paper para traer un gráfico de como cambia la fricción en función de las variables habituales, velocidad, altura , la presión atmosférica, la temperatura la composición química de la atmósfera.
En cuanto a la solución que propones, intuyo que desarrollaste un polinomio de Fourier para aproximar la función a otra que si tiene solución analítica.
Bueno en ese caso a los muchachos de ingeniería les tocaba averiguar cuanto se desviaría esa fórmula de los resultados experimentales , en comparativa de los propuesto con la original que se calculaba con algún método iterativo.
Tememos que recordar que la carrera espacial, y a la obtención de un primer vuelo orbital, no les salió de un cálculo de la noche a la mañana , sino que tuvieron años de experimentación donde recabó suficiente información para hacer los proyectos funcionar los cohetes.
Para entrar en el punto 5 tenemos que al menos estar informados que el diseño exterior del cohete pasa ahora tomar protagonismo, ya que su resistencia a la fricción pasa a ser un tema clave, porque?
Porque con menos fricción, desarrollo mayor velocidad en menos tiempo, así para llegar a la misma altura uso menos combustible, y si uso menos combustible puedo reducir la Masa o bien el consumo C, alterando todo el proceso de cálculo de la trayectoria.
Algunos fundamentos simples de la fricción aerodinámica
Cada tipo de superficie que se intente mover en el seno de un fluido, deberá mover los átomos del fluido (aire) a su paso, estos se comprimirán sobre la superficie y deslizaran sobre ella, es decir la superficie del cohete será sometida a las fuerzas viscosas de fluido que funcionan muy disimiles en los gases que en los líquidos.
Hay dos consecuencias inmediatas
1) se produce una fuerza resistiva (la mayoría de las veces) en sentido contrario en la dirección del movimiento.
2) la compresión abdicativa del gas provoca que este se caliente y transmita el calor a la superficie que debe tener algún diseño apropiado para soportar la temperatura, este fenómeno es de vital importancia en la re entrada parabólica sin consumo de combustible.
Como elegir el perfil del cohete, bueno , ya hace 100 años que se estudia la fluido dinámica, en especial la aerodinámica en los aviones, y sobre todo en la ingeniería aeroespacial.
Las superficies propuestas (en realidad las cubiertas de las capsulas) son sometidas a innumerables pruebas de diseño antes de fabricarlas y otro tanto de testeos, para elegir la óptima.
por un lado están la ecuaciones de la fluido dinámica, y por otro las pruebas en túneles de viento, y cámaras de vacío.
Hemos hablado del coeficiente b de proporcionalidad a la fricción pero a números de Reynolds elevados como en los gases a gran velocidad este factor no sirve como constante de proporcionalidad , por lo que experimentalmente se lo puede calcular también en túneles de viento.
Se han encontrado las principales variables que afectan la fuerza resistiva del viento y la relación con la velocidad del aire.
donde es la densidad del aire , cuya lógica presencia se entiende que si hay menos número de átomos del fluido con los que colisionar menor es la fuerza que opone el gas al movimiento, por eso su linealidad.
es la velocidad del cohete respecto del aire , es una relación en potencia 2.
es el área transversal que se opone al pasaje de aire
y el ultimo valor el es el coeficiente de arrastre y es un valor que se calcula experimentalmente al exponer superficies de dimensiones en distintas valores de velocidad y densidad midiendo la fuerza con la que se debe sostener la superficie para que no sea arrastrada
Algunos coeficientes en función de la forma se ven en https://commons.wikimedia.org/wiki/F...vo
La física y las matemáticas necesarias para lanzar un cohete al espacio exterior.
1. El modelo sencillo: un sistema de masa variable.
2. Un modelo con gravedad
3. Un modelo con fricción.
4. Un modelo con gravedad variable
5. Un modelo con fricción variable, aerodinamía.
6. Argumentos para optimizar.
7. Ventanas de lanzamiento, fuerzas ficticias, navegación
8. Órbitas, definiciones, estimación, formulación.
9. Leyes de conservación, que se conserva y que no.
10. Consumo energético para el cambio de órbitas
11. Órbitas de transferencia
12. Sistema Tierra Luna , problema de los dos cuerpos.
13. Puntos de Lagrange de un sistema de tres cuerpos
14. Asistencia gravitatoria
15. Reentrada atmosférica.
16. Una pincelada relativista