Física y matemática necesaria para lanzar un cohete.-12. El problema de los 2 cuerpos

[Richard R Richard]

12. El problema de los 2 cuerpos

Estamos acostumbrados a ver la fuerza gravitatoria como una fuerza en un único sentido, pues la masa terrestre es mucho mayor que cualquier otro cuerpo sobre la superficie, pero la realidad es que ambos se atraen con la misma fuerza, pero como como la masa de un es mucho menor ese es el que notamos que se mueve, Veremos ahora que sucede para el caso general que ser una fuerza reciproca ambos cuerpos estarían acelerados. Pero acelerado respecto a que… Claro a su centro de masas.

En un sistema de referencia arbitrario la posición del CM se determina haciendo un breve análisis

Cada cuerpo está sometido a una fuerza igual a su masa por la aceleración

$\vec F_{ab}=m_a \vec a_{a}$
$\vec F_{ba}=m_b \vec a_{b}$

Como la gravedad en este sistema de dos cuerpos es una fuerza interna no puede acelerar al sistema respecto de un marco de referencia externo

$\displaystyle \sum \vec F=\vec F_{ab}+\vec F_{ba}=\vec 0$

De donde$\vec F_{ab}=-\vec F_{ba}$

Indicando esto que las fuerzas a las que están sometidos son iguales y de sentido contrario tal como indica la tercera ley de Newton

Si sumamos las fuerzas vemos que la resultante sobre la suma de masas debe ser nula


$m_a \vec a_{a}+ m_b \vec a_{b}=(m_a+m_b)\vec a_{CM}=0$

pero esta primer igualdad trae consecuencias, puesto que integrando respecto al tiempo dos veces llegamos a


$\vec x_{CM}=\dfrac{\vec x_a m_a+\vec x_b m_b}{m_a+m_b}$

Que es la definición habitual de la posición del Centro de masas del sistema

Veamos ahora el concepto de masa reducida.

Si llamamos $r$ a la distancia entre los cuerpos

$\vec r=\vec x_{a}-\vec x_{b}$


derivando dos veces

$\ddot{r} =\vec a_{a}-\vec a_{b}=\dfrac{\vec F_{ab}}{m_a}-\dfrac{\vec F_{ba}}{m_b}=\vec F_{ab}\left(\dfrac{1}{m_a}+\dfrac{1}{m_b}\right)$

si despejamos la fuerza

$\dfrac{ \ddot{r}} {\left(\dfrac{1}{m_a}+\dfrac{1}{m_b}\right)}=\vec F_{ab}$

por lo tanto como toda fuerza el igual a la masa por su aceleración si llamamos $\mu$ a la masa asociada para obtener la fuerza entre los cuerpos

$\mu \ddot{r} =\vec F_{ab}$

donde $\mu=\dfrac{1}{\dfrac{1}{m_a}+\dfrac{1}{m_b}}=\dfrac{m_am_b}{m_a+m_b}$

que se denomina masa reducida.

vemos que si $m_a>>m_b \quad\to\quad \mu =m_b$ o si $m_a<<m_b \quad\to\quad \mu =m_a$

es decir que si un sistema donde la gravedad de uno de los cuerpos es muy superior a la del otro se recupera la fórmula de la gravitación universal y la aceleración del cuerpo pequeño se hace independiente de su masa, es decir todo los cuerpos caen con la misma aceleración.

$\vec F=-\dfrac{Gm_am_b}{r^3}\vec r=\mu \vec a_{ab}$

si$m_a>>m_b$

$-\dfrac{Gm_am_b}{r^3}\vec r=\mu \vec a_{ab}$

$-\dfrac{Gm_am_b}{r^3}\vec r=m_b \vec a_{ab}$

$-\dfrac{Gm_a}{r^3}\vec r=\vec a_{ab}$

El desarrollo más completo para el cálculo de una órbita plana está bien explicado en

https://es.wikipedia.org/wiki/Proble...La_%C3%B3rbita

rescato que se arriba a

$r = \dfrac{ L^2 / Gm_a }{ 1+ e\cos\theta}$

donde si $e$ es la excentricidad de la órbita

Si $0<e<1$, la órbita es una elipse
Si $e>1$, la órbita es una hipérbola
Si $e=1$, la órbita es una parábola

o bien de acuerdo a $r_p=a(1-e)$ y $r_a=a(1-e)$

de donde $e=\dfrac{r_a-r_p}{r_a+r_p}=\dfrac{r_a-r_p}{2a}$

como vimos en punto anterior es posible obtener las velocidades de la órbita en cualquier punto conocida la distancia radial. Así tenemos todos los valores para determinar la posición, velocidad y aceleración para un sistema de dos cuerpos analíticamente.

Si al sistema Sol Tierra , lo estudiamos como binario, despreciando la masa de la luna, pueden hallarse buenos resultados sin mucho error , puesto que la masa solar es mucho mayor que la de la Tierra. del mismo modo El modelo del sistema Tierra Luna funciona bien porque masa de la Tierra es casi 80 veces la de la Luna. Entonces los centros de masas se ubican en el interior del cuerpo más masivo. de ese modo si no ponemos en un sistema de referencia inercial no vemos al solo rotar sobre un punto . sino un leve bamboleo , no debido a la masa de la Tierra sino a la masa de Júpiter, y la Tierra también mueve su CM más o menos de la mitad de su radio. Como estos movimientos son de periodo muy largos , no notamos ningún efecto en la vida diaria.

Por lo tanto si hacemos cálculos finos para enviar naves interplanetarias , no introduce demasiado error la velocidad del bamboleo, pero si quizá se necesite un pequeño ajuste por en la distancia , dependiendo de la posición de la luna al momento de lanzar, como las distancias astronómicas comparadas con el radio terrestre son muy grandes , el error porcentual sobre la distancia final, es varios ordenes inferior a la unidad.


La física y las matemáticas necesarias para lanzar un cohete al espacio exterior.
1. El modelo sencillo: un sistema de masa variable.
2. Un modelo con gravedad
3. Un modelo con fricción.
4. Un modelo con gravedad variable
5. Un modelo con fricción variable, aerodinamía.
6. Argumentos para optimizar.
7. Ventanas de lanzamiento, fuerzas ficticias, navegación
8. Órbitas, definiciones, estimación, formulación.
9. Leyes de conservación, que se conserva y que no.
10. Consumo energético para el cambio de órbitas
11. Órbitas de transferencia
12. Sistema Tierra Luna , problema de los dos cuerpos.
13. Puntos de Lagrange de un sistema de tres cuerpos
14. Asistencia gravitatoria
15. Reentrada atmosférica.
16. Una pincelada relativista