Física y matematica necesaria para lanzar un cohete.-15. Reentrada atmosférica.

[Richard R Richard]

15. Reentrada atmosférica.

Siempre es lindo salir de casa, pero más lindo es poder volver, sano y salvo.
La reentrada atmosférica es el problema más complejo, de las trayectorias de los cohetes.
Si bien se ha dado un paso gigante en tecnología desde los primeros vuelos, sigue siendo extremadamente peligrosa la entrada en la atmósfera sin ningún mecanismo de propulsión.

Veamos, la nave órbita con una cierta velocidad $v$ un acierta órbita a una altura $y$ decide impulsarse hacia la Tierra.
Lo puede hacer frenando en la misma dirección de la órbita o impulsándose con velocidad radial.
Si han seguido con atención lo dicho en parte de este artículo, la segunda opción deja a la nave con mayor velocidad de entrada en dirección a la atmósfera, en cambio la primera es justamente la gravedad la que va tirando de la nave y acelerando lentamente por que este método es el preferido. Ya que como lo que estamos buscando es frenar, no es para nada mejor hacerlo desde una celeridad mayor.

La tangente del ángulo de la reentrada es el cociente ente la velocidad radial e aproximación sobre la tangencial final de la órbita luego del frenado.
Si el ángulo es muy grande, las primeras capas es aire fino de la atmósfera no logran frenar lo suficiente la velocidad ya que la gravedad intenta acelera la nave. Entonces llega a las capas más densas de la atmósfera con mucha velocidad y frena muy rápidamente por efecto de la fricción, esto quizá sería bien visto, pero tiene un gran inconveniente la fricción del aire eleva la temperatura externa por encima del límite de la resistencia de cualquier material probado, y la nave termina desintegrándose por el choque térmico y el arrastre aerodinámico.
Si el ángulo es muy pequeño, puede suceder que la atraviese toda la capa de aire poco denso, sin variar demasiado su velocidad tangencial, por lo que habrá hecho una especie de perigeo de una órbita elíptica, luego de lo cual vuelve a ganar altura respecto de superficie, se dice que ha rebotado en la atmósfera, posiblemente volverá a caer más tarde pero no será en donde se ha planificado el aterrizaje.

En fin queda una banda por lo general muy estrecha de ángulos posibles que permiten una entrada segura. El ángulo es bastante pequeño La velocidad tangencial es mucho mayor a la radial y son los gases atmosféricos poco densos los que paulatinamente reducen la celeridad, el ángulo así se va incrementando de apoco, a media que actúa la gravedad y cae la velocidad tangencial, cuando entra en las capas densas la velocidad respecto al aire es lo suficientemente reducida como para que, si bien hay mucha fricción los materiales de aislación resistan el arrastre y la temperatura.

Los ángulos de entrada son muy precisos el conjunto de estos valores definen un rango llamado corredor de entrada o ventana de entrada, se trata de un estrecho pasillo, centrado en un ángulo de incidencia de 6,2º, con un margen de sólo 0,7º.
Cómo sabemos cuándo faltan aún unos kilómetros de altura (entre 3 o 4 km) se despliegan paracaídas, para aterrizar con una velocidad terminal muy pequeña y segura para la tripulación menor a 16 m/s.
Las nuevas tecnologías está permitiendo recuperar los cohetes de primera etapa, por retropropulsión, esto es posible porque se elevan muy poco de la por encima atmósfera densa, donde la aerodinámica consume la mayor parte de la potencia de impulsión. Pero todavía no se han diseñado naves que controlan el descenso por propulsión en las capas altas de la atmósfera, y esto es debido a que es necesaria la misma cantidad de combustible que para el ascenso, lo que haría de cualquier proyecto tripulado de un tamaño gigantesco, comparado con la tecnología de planeo aerodinámico actual.

Matemáticamente que es lo que interesa a este foro, se trata de resolver el mismo tipo de integrales que en el ascenso.
El coeficiente de resistencia aerodinámico, y la correcta evaluación de la densidad atmosférica en función de la altura son cruciales.
El diseño del escudo térmico los materiales y su forma no son de los secretos mejores guardados pero si siempre se intenta que sean de información confidencial, pero sabemos Cuándo la cápsula de reentrada atraviesa la atmósfera, la cápsula comprime el aire frente a ella, que se calienta a temperaturas muy altas. La temperatura de la superficie de una cápsula puede alcanzar los 1.480 ° C a medida que desciende a través de la atmósfera terrestre.

La" forma de esfera-cono es una sección esférica con un tronco o cono desafilado adjunto. La estabilidad dinámica del cono esférico suele ser mejor que la de una sección esférica. El vehículo entra en la esfera primero. Con un semiángulo lo suficientemente pequeño y un centro de masa correctamente colocado, un cono esférico puede proporcionar estabilidad aerodinámica desde la entrada kepleriana hasta el impacto en la superficie. (Los medio ángulo es el ángulo entre el eje de simetría rotacional del cono y su superficie exterior, y por lo tanto la mitad del ángulo formado por los bordes de la superficie del cono.)"

Para evitar que este calor llegue a las estructuras interiores, las cápsulas suelen estar equipadas con un escudo térmico ablativo que se derrite por capas y luego se vaporiza, quitando el calor de la estructura, esta parte de la capsula no es re utilizable.
El módulo de comando Apolo volvió a entrar con el CM desplazado de la línea central; esto hizo que la cápsula asumiera una posición en ángulo a través del aire, proporcionando una elevación que podría usarse para el control direccional.

más info en https://es.vvikipedla.com/wiki/atmospheric_entry

Empecemos con un modelo sencillo como aquel exponencial que vimos donde el cambio del número de moléculas presentes en la atmósfera por unidad de volumen depende del equilibrio de fuerzas hidrostáticas.

$\dfrac{\partial p}{\partial y}=-nmg$
Como $p=nKT$ por la ley de gases ideales

$\dfrac{\partial n}{\partial y}=-n\dfrac{mg}{KT}$

De donde

$P(y)=p_0e^{-\dfrac{mg y}{KT}}= p_0e^{-\dfrac{y}{H}}$

donde $H= \dfrac{KT}{mg}=8.42 km$

luego podemos relacionar la presión con la densidad como veremos más adelante
Pero este modelo sencillo tiene un par de inconvenientes el primero es que la gravedad no es constante con la altura por lo que podemos rehacer la ED
Debemos que la gravedad cae con el cuadrado de la distancia ala centro

$g(y)=\dfrac{g_0 R_T ^2}{(R_T+y)^2}$

usamos esto y vemos que la ED transforma a

$\dfrac{\partial n}{\partial y}=-n\dfrac{m\left(\dfrac{g_0 R_T ^2}{(R_T+y)^2}\right)}{KT}$

Resultando

$p(y)= p_0e^{-\dfrac{y}{H}\dfrac{ R_T }{R_T+y}}$

este modelo solo considera a la Tierra estática , pero está rota sobre su eje, haciendo que la gravedad será menor en el ecuador(latitud 0°)

$g(y)=\dfrac{g_0 R_T ^2}{(R_T+y)^2}-\omega^2_0\left(\dfrac{R_T+y}{ R_T }\right)$

si tenemos en cuenta la latitud

$g(y)=\dfrac{g_0 R_T ^2}{(R_T+y)^2}-\omega^2_0\left(\dfrac{R_T+y}{ R_T }\cos \theta_{lat}\right)$

de donde la ED resuelta da

$p(y)= p_0e^{-\dfrac{y}{H}\left[\dfrac{ R_T }{R_T+y}-\dfrac{\omega_0R_T\cos\theta_{lat}}{g_0}\left(1+\dfrac{y}{2R_t}\right)\right]}$

Sigue siendo un modelo exponencial un poco más complejo.

Pero la densidad a cada altura sigue estando relacionada con la temperatura que varía, en función de la absorción de las distintas frecuencias de ondas electromagnéticas recibidas del sol y del contenido de gases de efecto invernadero.

Un modelo de cómo es la temperatura $T(y)$ y la presión $p(y)$ en función de la altura según la NASA solo para bajas alturas
https://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/ai.../atmosmet.html

para saber la densidad del aire entonces recurrimos a la ecuación de los gases ideales

$\rho(y)= \dfrac{p(y)}{KT(y) }$

Y por qué nos interesa tanto la densidad porque la fuerza instantánea de arrastre aerodinámica responsable de frenar la capsula se calcula como

$F_r=a_rm=F_{(\rho,v)}=\dfrac{1}{2}\rho(y) C_aAv_{(x,y,t)}^2$

Donde $C_a$ es el coeficiente de resistencia aerodinámico (que no tiene por qué ser lineal , ni constante con la altura, sino una función modelada con datos experimentales)

$A$ es el área normal expuesta de la capsula al rozamiento
$m$ la masa de la capsula
$v_{(x,y,t)}$ es la velocidad instantánea de la capsula para la posición x,y,t
$a_{R(x,y,t)}$ es la aceleración o frenado de la capsula
tengamos en cuenta que el equilibrio de fuerza en todo momento es
si $\alpha_{(x,y,t)} =\arctan\dfrac{v_R}{v_T}$ el ángulo de reentrada

en dirección tangencial tenemos

$v_{T(x,y,t+\epsilon)}= v_{T(x,y,t)}-a_ {(x,y,t)}\cos\alpha_{(x,y,t)} \epsilon$

$v_{R(x,y,t+\epsilon)}= v_{r(x,y,t)}-a_{ (x,y,t)}\sin\alpha_{(x,y,t)} \epsilon+\dfrac{g_0 R_T ^2}{(R_T+y)^2}\epsilon$

Donde épsilon es un pequeño salto infinitesimal si se quiere de tiempo para iterar y obtener a la vez las coordenadas de posición y altura por una integración hasta el momento del despliegue del paracaídas…
Como verán de nuevo la reentrada es un cálculo complicado con una ingeniería por demás de sofisticada y costosa, en pruebas de túnel de viento y en desarrollo de materiales aislantes, con alto punto de fusión, resistentes a los esfuerzos hasta la cercanía del punto de fusión y a la vez con el más alto calor específico, resistentes a la ablación por gases o iones cargados.


Con las velocidades , aceleraciones se puede modelizar un cálculo de tiempo teórico, y el ángulo inicial de entrada si el ángulo oscila los 6 grados su tangente es aproximadamente 0.1 lo cual implica tener una velocidad de 2200 km/h en dirección a la Tierra cuando la órbita esta en 22000 km/h es decir hay que guardar el suficiente combustible para tener el $\Delta v$ necesario para pasar de la órbita elíptica precedente a otra que tenga esos dos valores de velocidad de ejemplo al momento del contacto con las primeras capas de la atmósfera.
Pero al final de la reentrada, la velocidad tangencial se habrá reducido en mayor proporción que la radial por lo que durante la caída, el ángulo $\alpha$ se va incrementando , no he encontrado el dato pero llegaría hasta más de 45°


La física y las matemáticas necesarias para lanzar un cohete al espacio exterior.
1. El modelo sencillo: un sistema de masa variable.
2. Un modelo con gravedad
3. Un modelo con fricción.
4. Un modelo con gravedad variable
5. Un modelo con fricción variable, aerodinamía.
6. Argumentos para optimizar.
7. Ventanas de lanzamiento, fuerzas ficticias, navegación
8. Órbitas, definiciones, estimación, formulación.
9. Leyes de conservación, que se conserva y que no.
10. Consumo energético para el cambio de órbitas
11. Órbitas de transferencia
12. Sistema Tierra Luna , problema de los dos cuerpos.
13. Puntos de Lagrange de un sistema de tres cuerpos
14. Asistencia gravitatoria
15. Reentrada atmosférica.
16. Una pincelada relativista