Divulgación Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

[inakigarber]

Buenas noches;
Repasando este blog de física cuántica [FONT=Calibri]este blog de física cuántica[/FONT], en el apartado relativo a la extraña ecuación de Born me he encontrado con este texto;
"Dada una matriz cualquiera que representa una cantidad física, esa matriz puede ser transformada en una matriz diagonal que es semejante ó equivalente a la matriz original, por ejemplo:

Dos matrices que son semejantes o equivalentes poseen el mismo conjunto de valores característicos, llamados también autovalores, valores propios y valores eigen.."
No entiendo como pueden ser ambas matrices equivalentes si tienen valores diferentes (excepto dos de las posiciones centrales) que tienen los valores 3 y 4 en posiciones iguales de ambas matrices. el resto de valores que están subrayados no coinciden, salvo en valor absoluto de -1 y 1. ¿Hay algún error en este ejemplo?.
Por otra parte, por seguir con el ejemplo que se expone en dicho blog, supongamos que dispongo de un oscilador armónico (sin perdidas) cuya posición varia entre dos valores conocidos -X y +X y yo he ido tomando en distintos instantes de tiempo los valores de esta posición (hasta un total de 16 medidas, por ejemplo, como en la matriz arriba indicada) En el caso de que quisiera hacer un ejemplo practico ¿En que orden debería escribir los valores obtenidos para ponerlos en su orden correcto en dicha matriz?
Entiendo que todos los valores obtenidos serian autovalores y que su valor será comprendido entre -X y +X ¿Es así?
Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

No entiendo como pueden ser ambas matrices equivalentes si tienen valores diferentes (excepto dos de las posiciones centrales) que tienen los valores 3 y 4 en posiciones iguales de ambas matrices. el resto de valores que están subrayados no coinciden, salvo en valor absoluto de -1 y 1. ¿Hay algún error en este ejemplo?.

Con equivalencia no te está diciendo que son iguales. Es cuestión de nomenclatura: si dos matrices tienen los mismos valores propios, entonces decimos que son equivalentes porque tienen la misma matriz diagonal asociada (o permutaciones de los elementos de la diagonal, a eso voy en la segunda pregunta).

) En el caso de que quisiera hacer un ejemplo practico ¿En que orden debería escribir los valores obtenidos para ponerlos en su orden correcto en dicha matriz?

El orden no importa. Fíjate que los valores propios los sacas de calcular las raíces del polinomio característico. ¿Tienen algún orden específico las raíces de un polinomio? No, salen en el orden que salen y si tu los encuentras en un orden determinado otra persona puede encontrarlos en otro.

[pod]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

Buenas noches;
Repasando este blog de física cuántica [FONT=Calibri]este blog de física cuántica[/FONT], en el apartado relativo a la extraña ecuación de Born me he encontrado con este texto;
"Dada una matriz cualquiera que representa una cantidad física, esa matriz puede ser transformada en una matriz diagonal que es semejante ó equivalente a la matriz original, por ejemplo:

Dos matrices que son semejantes o equivalentes poseen el mismo conjunto de valores característicos, llamados también autovalores, valores propios y valores eigen.."
No entiendo como pueden ser ambas matrices equivalentes si tienen valores diferentes (excepto dos de las posiciones centrales) que tienen los valores 3 y 4 en posiciones iguales de ambas matrices. el resto de valores que están subrayados no coinciden, salvo en valor absoluto de -1 y 1. ¿Hay algún error en este ejemplo?.

No he hecho los cálculos, pero imagino que no. Esta es una propiedad algebráica, no cuántica. Básicamente, se trata de hacer un cambio de base.

Un ejemplo: imaginate que tengo el vector (1,2) en dos dimensiones. Y, entonces, decido girar el sistema de coordenadas $\pi/2$ (90 grados) en el sentido de las agujas del reloj. Yo giro los ejes, pero no muevo el punto. Según los nuevos ejes, ese mismo punto sería (-2, 1). Los valores son diferentes, pero representan el mismo punto.

Lo que dice ese texto es que uno siempre puede encontrar (por lo menos) un sistema de coordenadas tal que la misma matriz es diagonal.

Por otra parte, por seguir con el ejemplo que se expone en dicho blog, supongamos que dispongo de un oscilador armónico (sin perdidas) cuya posición varia entre dos valores conocidos -X y +X y yo he ido tomando en distintos momentos valores de esta posición (hasta un total de 16 medidas, por ejemplo, como en la matriz arriba indicada) ¿Cómo debería escribirlos para ponerlos en su orden correcto en dicha matriz?
Saludos y gracias.

Los valores de esa matriz no representan, para nada, la posición del oscilador medida en diferentes instantes de tiempo. De hecho, en toda la física que yo conozco (y hasta donde me alcanza la memoria) no hay ninguna matriz cuadrada formada por mediciones sucesivas de una posición unidimensional.

Las matrices en cuántica representan observables que podemos medir. Y no nos interesa tanto la representación de la matriz como su espectro. El espectro es el conjunto de valores propios de la matriz.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

No he hecho los cálculos, pero imagino que no. Esta es una propiedad algebráica, no cuántica. Básicamente, se trata de hacer un cambio de base.

Un ejemplo: imaginate que tengo el vector (1,2) en dos dimensiones. Y, entonces, decido girar el sistema de coordenadas $\pi/2$ (90 grados) en el sentido de las agujas del reloj. Yo giro los ejes, pero no muevo el punto. Según los nuevos ejes, ese mismo punto sería (-2, 1). Los valores son diferentes, pero representan el mismo punto.

Creo que esto lo he entendido

Lo que dice ese texto es que uno siempre puede encontrar (por lo menos) un sistema de coordenadas tal que la misma matriz es diagonal.

Esto no lo he entendido

Los valores de esa matriz no representan, para nada, la posición del oscilador medida en diferentes instantes de tiempo. De hecho, en toda la física que yo conozco (y hasta donde me alcanza la memoria) no hay ninguna matriz cuadrada formada por mediciones sucesivas de una posición unidimensional.

Las matrices en cuántica representan observables que podemos medir. Y no nos interesa tanto la representación de la matriz como su espectro. El espectro es el conjunto de valores propios de la matriz.

Supongo que lo que quieres decirme es que los valores obtenidos en la posición del oscilador podría representarlos o bien en una matriz fila o bien en una matriz columna, pero nunca en una matriz cuadrada o rectangular. El espectro al que te refieres vendría dado por el margen posible de posiciones (-X a +X) ¿es así?

- - - Actualizado - - -

Con equivalencia no te está diciendo que son iguales. Es cuestión de nomenclatura: si dos matrices tienen los mismos valores propios, entonces decimos que son equivalentes porque tienen la misma matriz diagonal asociada (o permutaciones de los elementos de la diagonal, a eso voy en la segunda pregunta).

Esto no lo tengo muy claro. Tendré que volver a repasar conceptos. ¿podrías ponerme un ejemplo?

El orden no importa. Fíjate que los valores propios los sacas de calcular las raíces del polinomio característico. ¿Tienen algún orden específico las raíces de un polinomio? No, salen en el orden que salen y si tu los encuentras en un orden determinado otra persona puede encontrarlos en otro.

Esto creo que lo he entendido, a fin de cuentas en una medida, por ejemplo la primera, habré obtenido un valor determinado, pero podría haber obtenido otro totalmente distinto dentro de los posibles. Por ejemplo en el caso de un dado en la primera tirada (y en cualquiera de ellas) solo podre obtener un valor entre 1 y 6. Supongo que tendré que meditar mas sobre el asunto para madurar ideas y dejar de decir tonterías.
Saludos y gracias.

[pod]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

Esto no lo he entendido

Si has entendido lo anterior, es muy sencillo. Hemos visto que en diferentes sistemas de coordenadas la matriz tiene una representación diferente. Pues bien, siempre existe al menos un sistema de coordenadas donde podemos poner la matriz en forma diagonal (siempre y cuando el determinante de la matriz no sea igual a cero).

Supongo que lo que quieres decirme es que los valores obtenidos en la posición del oscilador podría representarlos o bien en una matriz fila o bien en una matriz columna, pero nunca en una matriz cuadrada o rectangular.

Si quieres, puedes poner medidas de la posición en una matriz columna, pero eso no sirve para nada.

Es más, en mecánica cuántica los osciladores no se mueven de -A a +A... siempre tienes una pequeña posibilidad de encontrar la partícula a cualquier distancia del centro de fuerzas, incluso a distancias mayores que A. La probabilidad decae con la distancia, si, pero decae hacia cero asintóticamente sin ser nunca idénticamente igual a cero. Esto es la base del efecto túnel.

El espectro al que te refieres vendría dado por el margen posible de posiciones (-X a +X) ¿es así?

El espectro de una matriz es el conjunto de valores propios que tiene.

[Weip]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

Esto no lo tengo muy claro. Tendré que volver a repasar conceptos. ¿podrías ponerme un ejemplo?

Vale te pongo un ejemplo. Considera las matrices $A=\left( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right)$ y $B=\left( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right)$. Ambas tienen polinomio característico $p(x)=(1-x)(3-x)$, luego los valores propios son $x=1$ y $x=3$. La matriz diagonal asociada a $A$ y a $B$ es $C=\left( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right)$. Este es un ejemplo de dos matrices diferentes $A$ y $B$ que tienen los mismos valores propios, $1$ y $3$, y la misma forma diagonal. La forma diagonal de $A$ y de $B$ también la puedes escribir como $D=\left( \begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$. Es a esto a lo que me refería cuando dije que el orden de los valores propios no importan.

En definitiva, lo que te dice el texto del blog es que $C$ y $D$ son equivalentes o semejantes a $A$ y a $B$. Es una forma de hablar, $C$, $D$, $A$ y $B$ no son iguales. Sinceramente con estas palabras lo he visto muy poco. Se dice más que "$C$ y $D$ son las formas diagonales asociadas de $A$ y $B$".

Esto creo que lo he entendido, a fin de cuentas en una medida, por ejemplo la primera, habré obtenido un valor determinado, pero podría haber obtenido otro totalmente distinto dentro de los posibles. Por ejemplo en el caso de un dado en la primera tirada (y en cualquiera de ellas) solo podre obtener un valor entre 1 y 6.

No estoy muy seguro si lo has entendido o no. Por ahora no lo mezcles con las probabilidades. La explicación adecuada sería, siguiendo con el ejemplo anterior, de que has resuelto una ecuación de segundo grado con soluciones $1$ y $3$. Fíjate que decir que las soluciones son $1$ y $3$ es lo mismo que decir que las soluciones son $3$ y $1$. Así pues, la forma diagonal la puedes considerar con los valores propios puestos en el orden que quieras (siempre que estén en la diagonal).

Supongo que tendré que meditar mas sobre el asunto para madurar ideas y dejar de decir tonterías.
Saludos y gracias.

No son tonterías, en realidad son preguntas muy naturales. Yo mismo me hice las mismas preguntas cuando lo estudié.

Por último, una pregunta, ¿ésta es la primera vez que ves la diagonalización? Más que nada por adecuar mejor mis respuestas y porque igual te vendría bien un parón para mirarte bien la parte matemática. Es fácil pero larga y son muchas cosas a tener en cuenta. Además que el blog que estás siguiendo no lo explica demasiado bien.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

....No estoy muy seguro si lo has entendido o no. Por ahora no lo mezcles con las probabilidades. La explicación adecuada sería, siguiendo con el ejemplo anterior, de que has resuelto una ecuación de segundo grado con soluciones $1$ y $3$. Fíjate que decir que las soluciones son $1$ y $3$ es lo mismo que decir que las soluciones son $3$ y $1$. Así pues, la forma diagonal la puedes considerar con los valores propios puestos en el orden que quieras (siempre que estén en la diagonal).


No son tonterías, en realidad son preguntas muy naturales. Yo mismo me hice las mismas preguntas cuando lo estudié.

Por último, una pregunta, ¿ésta es la primera vez que ves la diagonalización? Más que nada por adecuar mejor mis respuestas y porque igual te vendría bien un parón para mirarte bien la parte matemática. Es fácil pero larga y son muchas cosas a tener en cuenta. Además que el blog que estás siguiendo no lo explica demasiado bien.

Yo tampoco estoy muy seguro de haber entendido nada. Por lo que respecta a tu pregunta, si, es la primera vez que veo una diagonalización. Hace mas de treinta años que no veo matrices, y entonces también las vi poco. Tienes razón, me convendría ver la parte matemática aunque no se muy bien donde hacerlo. El blog, no se si lo explica bien o no, me da la impresión de que da por supuestos ciertos conocimientos que en mi caso se hacen difíciles.
Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

En ese caso te recomiendo el documento de este enlace. Es un texto introductorio con ejemplos que aunque es formal enseña sólo la parte calculística que al fin y al cabo es lo que te interesa. En algún punto se habla de espacios vectoriales pero si no los has hecho no te preocupes, sencillamente omite esa parte. Ya te aviso que las demás explicaciones que encontrarás por internet serán mucho más complicadas que las del link que te he pasado. Es un tema que da para mucho pero (por ahora) sólo necesitas saber lo que es un valor propio, un vector propio y encontrar matrices diagonales. Por cierto, cada texto usa una nomenclatura diferente pero valor propio, autovalor y eigenvalor son lo mismo.

Con esto podrás avanzar por el blog que estás leyendo.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

He leído el texto, y la verdad sigo tan perdido como antes. Tendré que releerlo. Creo que mi mayor dificultad esta en como utilizar las matrices en física. Si tengo un oscilador como el del ejemplo en el que la masa puede oscilar entre las posiciones -X y +X y su velocidad entre los valores -v y +v, y hago un numero de medidas (16 por ejemplo) en distintos tiempos obtendré dos matrices de valores (una de posición y otra de velocidad), pero no se muy bien como operar con ellas. Creo que tendré que seguir pensando al respecto. Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

He leído el texto, y la verdad sigo tan perdido como antes. Tendré que releerlo. Creo que mi mayor dificultad esta en como utilizar las matrices en física. Si tengo un oscilador como el del ejemplo en el que la masa puede oscilar entre las posiciones -X y +X y su velocidad entre los valores -v y +v, y hago un numero de medidas (16 por ejemplo) en distintos tiempos obtendré dos matrices de valores (una de posición y otra de velocidad), pero no se muy bien como operar con ellas. Creo que tendré que seguir pensando al respecto. Saludos y gracias.

Si no lo has entendido deberías volverlo a estudiar. Este es un tema importante, ya desde los postulados de la teoría se hace referencia a los valores propios y a los observables. La aplicación en física te la explica el blog que estás siguiendo más adelante. Por adelantarte la utilidad de todo esto, los valores propios son los resultados de las medidas y tienen asociados cierta probabilidad.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

Si no lo has entendido deberías volverlo a estudiar. Este es un tema importante, ya desde los postulados de la teoría se hace referencia a los valores propios y a los observables. La aplicación en física te la explica el blog que estás siguiendo más adelante. Por adelantarte la utilidad de todo esto, los valores propios son los resultados de las medidas y tienen asociados cierta probabilidad.

Cuando tenga tiempo volveré a estudiar y seguiré tu consejo.
Volviendo al ejemplo del oscilador, desde un ponto de vista clásico (en cuántica habría que considerar el efecto túnel) el oscilador puede encontrarse en cualquier posición comprendida entre -X y +X siendo estas las posiciones extremas. De manera que cualquier auto-valor estará comprendido entre ambos valores. Lo que ocurre es que algunos valores deberán ser mas probables que otros (pues la velocidad fluctuara entre dos valores -V y +V). Será mas probable encontrarlo cuando el oscilador se encuentra cerca de sus posiciones extremas -X y +X porque ocurrirá que $V\approx0$.
Ahora lo que debo aprender es como se maneja con estos auto-valores.
Seguiré dando vueltas a este tema.
Saludos y gracias.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

Buenas tardes;
Estoy estudiando este enlace, pero me encuentro con algo que no entiendo. Veamos, e texto dice;
"Los autovalores son las raíces del polinomio de grado n
$p(\lambda)=\left( \begin{matrix}A -\lambda I\end{matrix} \right)$
que recibe el nombre de polinomio característico de A. Es decir, son las soluciones de la ecuación $p(\lambda)=\left( \begin{matrix}A -\lambda I\end{matrix} \right)=0$ denominada ecuación característica de A.
$\left( \begin{matrix}a{11} & a{12} & a{13}\\ a{21} & a{22} & a{23}\\a{n1} & a{n2} & a{n3} \end{matrix} \right)-\lambda\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)=0$...
Ejemplo; Vamos a ver cuales son los autovalores de la matriz $A=\left( \begin{matrix}1 & 0 &0\\ 1 & 1& 1\\ -1 & 1& 1\end{matrix} \right)$"
Es aquí donde me pierdo. Si se trata de una resta de matrices (una matriz A cuadrada por un lado y por el otro otra matriz también cuadrada) ¿no sería simplemente restar uno a uno cada uno de los valores de la matriz y obtener los distintos valores de $\lambda$ necesarios para que de 0? Me he perdido un tanto en este tema de los autovalores de la matriz.
Por otra parte, en el caso de la posición del oscilador armónico que puse como ejemplo si mido la posición obtendré distintos valores de posición y de velocidad en distintas medidas. Los valores que obtenga ¿serían los autovalores de la posición? ¿Con los de velocidad ocurriría lo mismo? Por otra parte, habrá posiciones donde será mas probable encontrar la partícula (donde la velocidad es menor), supongo que pasará algo parecido con la velocidad. Lo que estoy tratando de hacer es aprender a como tratar con estos valores en forma de matrices.
Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

Cuidado, el documento del enlace te dice que el polinomio característico es $det(A-\lambda Id)$. Esto es importante porque tal como lo has puesto, $p$ sería una matriz. Si quieres te hago un ejemplo genérico dos por dos. Considera la matriz $A=\left( \begin{matrix}a & b \\ c & d\end{matrix} \right)$. Entonces $A-\lambda Id=$$\left( \begin{matrix}a-\lambda & b \\ c & d-\lambda\end{matrix} \right)$. El polinomio característico se obtiene haciendo el determinante de la anterior matriz: $p(\lambda)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc$. Ahora si haces $p(\lambda)=0$ podrás sacar las raíces del polinomio que son los valores propios o autovalores. El procedimiento es el mismo sea cual sea el tamaño de la matriz.

Por otra parte, en el caso de la posición del oscilador armónico que puse como ejemplo si mido la posición obtendré distintos valores de posición y de velocidad en distintas medidas. Los valores que obtenga ¿serían los autovalores de la posición? ¿Con los de velocidad ocurriría lo mismo? Por otra parte, habrá posiciones donde será mas probable encontrar la partícula (donde la velocidad es menor), supongo que pasará algo parecido con la velocidad. Lo que estoy tratando de hacer es aprender a como tratar con estos valores en forma de matrices.

Sí, serán autovalores de la posición y en general, del operador que toque. Como cada operador es lineal (esto es un postulado) entonces podemos asignarles matrices de forma que los autovalores de un operador sean los autovalores de la matriz.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

Buenas tardes;
Tras unos días en que no podido dedicarme a esto, he estado revisando este documento y hay algo en lo que me he quedado atascado. Concretamente, en el Ejemplo 1.6 me quedo atascado. Bien, la matriz del ejemplo tiene dos autovalores $\lambda_1=2$ Doble y $\lambda_2=0$ Simple, que son los valores para los cuales el polinomio característico vale=0.
Sin embargo donde dice "Vamos a calcular los autovectores asociados a $\lambda_1=2$, es decir, vamos a calcular H(2)"me pierdo en esos pasos y no se bien como seguir. Tal vez no tengo clara la diferencia entre un autovector y un autovalor.
Reconozco que al menos he quitado un poco del reparo que me han dado las matrices y estoy empezando a tener las cosas un poco claras. Quisiera saber como debo afrontar este tema.
Un saludo y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre aplicacion de matrices en un oscilador armónico

Sin embargo donde dice "Vamos a calcular los autovectores asociados a $\lambda_1=2$, es decir, vamos a calcular H(2)"me pierdo en esos pasos y no se bien como seguir. Tal vez no tengo clara la diferencia entre un autovector y un autovalor.

Un autovalor $\lambda$ de una matriz $A$ es el escalar que cumple $A(x)=\lambda x$. A $x$ lo llamamos autovector. Esta es la teoría. En la práctica, los autovectores se calculan de la siguiente forma:

$(A-\lambda Id)\left( \begin{matrix} x_0 \\x_1\\...\\x_n \end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix} 0 \\0\\...\\0 \end{matrix}\right)$

Donde $\left( \begin{matrix} x_0 \\x_1\\...\\x_n \end{matrix}\right)$ es un vector de incógnitas. Esto es un sistema de ecuaciones lineal sobredeterminado la gran mayoría de veces. Pero sólo nos interesa las soluciones linealmente independientes, así que calcula cuantos autovectores hay (incógnitas menos ecuaciones) y da valores a las incógnitas correspondientes para que te de ese número de vectores. Si el número de autovectores es igual a la multiplicidad de su autovalor correspondiente, entonces la matriz diagonaliza.

Lo de la $H$ déjalo y tómate esto como un proceso de cálculo. El problema es que estás comenzando la casa por el tejado pero al menos con esto podrás mirar alguna cosilla de mecánica cuántica que al fin y al cabo es tu objetivo. Eso sí, cuando te toque estudiar la teoría al 100% tendrás que saber más matemáticas.

Reconozco que al menos he quitado un poco del reparo que me han dado las matrices y estoy empezando a tener las cosas un poco claras. Quisiera saber como debo afrontar este tema.
Un saludo y gracias.

Eso es que vas bien.