Duda acerca del momento lineal

[oscarmuinhos]

Re: Duda acerca del momento lineal

A felmon38:

Los revisaré
Gracias

A felmon38:
Revisé algunos cálculos y revisé la situación física que puede darse.

Cuando reviso las ecuaciones dinámicas que pueden darse, encuentro las siguientes para la dirección horizontal:

a) Fuerza de rozamiento entre techos y tablón:

${Fr}_{B}={\mu}_{B}mg =m{a}_{B}$

b) Fuerza de rozamiento entre el suelo y los camiones (sumando ya las de los dos camiones):

${Fr}_{suelo}={\mu}_{C}\left( 2M+m\right).g =2M{a}_{C}$ e introduciendo que M=140.m: ${Fr}_{suelo}={\mu}_{C}.281m.g =280.m.{a}_{C}$

A continuación, considerando la aceleración sobre los camiones,

-si el rozamiento con el suelo y el rozamiento con el bloque de madera son del mismo sentido se tendría:

${Fr}_{C}={\mu}_{C}.281m.g + 69{\mu}_{C }m.g= 350 {\mu}_{C }m.g = 280.m.{a}_{C}$

-si el rozamiento con el suelo y el rozamiento con el bloque son de sentido contrario, se tendría:

${Fr}_{C}={\mu}_{C}.281m.g - 69{\mu}_{C }m.g= 212 {\mu}_{C }m.g = 280.m.{a}_{C}$

O sea que las aceleraciones con que pueden frenar bloque de madera y camiones serán:

- tablón de madera: $={\mu}_{B}.g ={a}_{B}$

- camiones:

$\frac{350}{280} {\mu}_{C }.g = {a}_{C}$ si los rozamientos son del mismo sentido

o $\frac{212}{280} {\mu}_{C }.g ={a}_{C}$ si los rozamientos son de distinto contrario

En resumen, que la aceleración con que frenará el tablón será del orden de 55,2 ó 91,1 veces mayor que la aceleración con que frenan los camiones y, además, el tablón acaba en el coche de atrás.!!!

[felmon38]

Re: Duda acerca del momento lineal

Oscar, he mirado tus ecuaciones y creo que tienes un error al calcular el espacio que recorre el bloque, ya que su velocidad inicial,después del choque instantáneo que has supuesto, es 0 ya que la fuerza que actúa sobre él es finita, N.$\mu$ y el tiempo del choque es cero. Feliz Año

[oscarmuinhos]

Re: Duda acerca del momento lineal

A felmon38:

Acabo de dejar un mensaje explicando un poco más las ecuaciones de la dinámica:

En esas cuestiones de cual ha de ser y en que en sentido ha de ser la velocidad inicial del bloque de madera inmediatamente después del choque es donde están mis dudas.

Si el bloque de madera no puede adquirir una velocidad inicial hacia atrás en el instante del choque, no encuentro como los datos del enunciado pueden resultar compatibles con la física del problema
Gracias e igualmente feliz año.

[arivasm]

Re: Duda acerca del momento lineal

A arisvam:
Obtengo los mismos resultados que tú para las velocidades después del choque, pero (curioso!) no para la velocidad del camión A antes del choque, que me da 5,71 cm/s???
(No lo entiendo)!!!

Sí, tienes razón. Rehaciendo esa parte del cálculo efectivamente el resultado son 5,71 cm/s.

Esta era mi duda inicial: si era posible que el tablón saliera despedido hacia atrás como consecuencia del choque. Sigo sin intender que tipo de interacción física entre las tres partículas puede dar lugar a esto, pero....lo daré por posible.

Desde luego si consideramos el sistema como uno absolutamente ideal, en el que el choque sucede en un tiempo nulo, los cuerpos se mantienen absolutamente rígidos y de forma paralepipédica, etc. la respuesta es *imposible*: las fuerzas de contacto entre el camión incidente y el detenido serían horizontales, impulsando este último hacia la derecha, lo que causaría un movimiento relativo con el tablón tal que la fuerza de rozamiento sería hacia la izquierda. Como ves, en realidad estoy repitiendo el razonamiento de Al.

Entiendo que el ejercicio (por cierto, claramente inventado) idealiza demasiadas cosas. Para mí la más exagerada no es ésa, pues en un choque real, donde los objetos que participan no son rígidos sí sería factible que partes del camión detenido se moviesen hacia atrás )por ejemplo porque en la parte inferior haya muchas cosas moviéndose hacia adelante, dando lugar a torsiones en piezas verticales tales que las partes superiores retrocediesen). Como decía, para mí lo más exagerado (además de los bajos rozamientos entre el tablón y el techo en comparación con los existentes con el suelo) es que se dé la coincidencia de que todo se detenga en el mismo instante.

Tu razonamiento me ha planteado, sin embargo, otra duda al suponer que podría haber un cambio de rozamiento dinámico a estático, si bien al llegar a la conclusión de que t'=0 concluyes también que no se da tal cambio.
Mi duda es: ¿qué razonamiento físico puede dar lugar a ese cambio? La aceleración no está siendo siempre la misma?

....

me gustaría entender que razonamiento físico haces para suponer que podría haber primero un rozamiento dinámico y a continuación un razonamiento estático? (Es que yo antes de ponerme a hacer cálculos necesito entender la "física" del problema). Grazas

La idea es que mientras sean diferentes las velocidades absolutas del tablón y del par de camiones, es decir, mientras exista movimiento relativo entre esos cuerpos, habrá rozamiento dinámico. Pero en cuanto la velocidad relativa sea nula el rozamiento pasará a ser estático y el sistema se comportará como si el tablón y el par de camiones fuesen un único objeto.

Como las velocidades iniciales serán diferentes (si ya fuesen la misma no habría fase de rozamiento dinámico) en primer lugar se dará la fase en que la fuerza de rozamiento es dinámica.

El cambio de aceleración sucederá al producirse el cambio en el régimen de la fuerza de rozamiento.

Por supuesto, bien podría suceder que primero se detuviese el par de camiones y que el tablón continuase deslizándose, de manera que no llegase a haber una fase de rozamiento estático. De algún modo es ésa precisamente la situación que correspondería al enunciado de este ejercicio.

Digamos que la existencia de ambas fases podría darse si tras el choque se diese en cierto instante que se anula la velocidad relativa entre el tablón y los camiones, pero sin que el conjunto se haya detenido.

A arisvam:
Respecto a la duda que te planteaba sobre el paso de rozamiento dinámico a estático, es evidente que podría darse siempre que la fuerza de rozamiento sobre el tablón lograra detenerlo antes de detenerse los camiones....Mi duda reside en como sabes eso antes de resolver el problema? Porque bien podría darse que los camiones acaben detenidos antes de detenerse el bloque de madera, y en este caso el rozamiento sería todo el tiempo dinámico? ... Mas, yo no encuentro manera de razonar cual elegir si no es resolviéndolo....

Coincido plenamente contigo. La única forma de saberlo es resolviendo el ejercicio.

[Breogan]

Re: Duda acerca del momento lineal

Hola:

Primero quisiera indicar que el enunciado que esta ahora al comienzo del hilo no es el mismo que se había puesto originalmente, sufrió varios cambios (y aditamentos) a lo largo del desarrollo del hilo.
Por esto (y asumiendo algún error en mi anterior intervención) creo necesario empezar de cero analizando el enunciado del problema que figura actualmente en el hilo, y que copio a continuación:

[FONT=Tahoma]Un camión de mudanzas "A" se dirige hacia un camión idéntico "B" que se encuentra en reposo, sobre el camión B se encuentra un delgado bloque de madera de un metro de longitud como muestra la figura; ambos camiones chocan y avanzan juntos hasta detenerse (choque totalmente inelástico); como consecuencia del impacto entre ambos camiones el bloque de madera pasa al camión A como se muestra en el dibujo, todo este proceso dura un segundo (ambos camiones se detienen en un segundo y el bloque de madera pasa totalmente al camión A en un segundo). Encuentre la velocidad a la que se movía el camión A antes del impacto. El coeficiente de fricción entre el bloque de madera y el techo de cualquiera de los dos camiones es 69 veces mayor que el coeficiente de fricción entre cualquiera de los camiones y el piso; la masa del bloque de madera es 140 veces menor que la masa de cualquiera de los dos camiones.
[/FONT]

Creo que podemos estar de acuerdo en que el enunciado dice claramente que se trata de un choque perfectamente inelastico entre los camiones A y B, que el bloque se desplaza 1 m respecto de su posición inicial medido en un SR solidario al camión B, y que los camiones y la madera se frenan un segundo después del contacto entre ambos camiones.
Como el enunciado dice que "todo el proceso dura 1 seg", me entra la duda si esto me fija la duración del choque (haciendo iguales el tiempo del choque, y el tiempo de los desplazamientos de camiones + tabla), o solo se refiere al proceso de desplazamiento de los camiones + tabla, diciendo implícitamente que el choque es instantáneo.

Sin perder generalidad podemos suponer que el choque dura un cierto tiempo $t_{ch}$, el cual según la interpretación del enunciado que creamos correcta valdrá 0 s (choque instantáneo), o 1 s.

En base a esto planteamos una ecuación de momentos, siguiendo con la forma de encararlo antes tomada, mi sistema solo serán los camiones A y B, por lo cual los momentos antes y despumes del choque serán:


$\dst p_0 = v_{A0} \ M_A$

y el final seria:

$\dst p_f = v_f \ (M_A + M_B)$

por lo cual:

$\dst \Delta p = p_f - p_0 = v_f \ (M_A + M_B) - v_{A0} \ M_A$

esta variación del momento lineal del sistema (camión A + camión B) debe ser igual al impulso que recibe este, que es:

$\dst I = \sum_{i = 1}^3 \ \vec F_{ext_i}\ t_i \ = \ \vec F_1\ t_1\ + \ \vec F_2 \ t_2 \ + \ \vec F_3 \ t_3$

Las fuerzas detalladas son todas las fuerzas exteriores al sistema que actúan sobre el, en este caso son solo las fuerzas de rozamiento que actúan sobre los dos camiones. F1 y F2 las hacemos corresponder con las fuerzas de rozamiento que actúan sobre los camiones A y B, que llamaremos $F_A$ y $F_B$, tienen dirección opuesta a la velocidad de los camiones, y actúan durante $t_{ch}$.

En cuanto a F3 la identificamos con la fuerza de rozamiento entre los camiones y la tabla, la llamaremos $F_m$; pero esta fuerza tiene una particularidad (bajo mi punto de vista, y si no me equivoco) en forma general, y dependiendo de lo que dure el choque, puede cambiar de dirección durante este, teniendo un periodo de tiempo que llamo $t_{m1}$ en el cual se opone a la velocidad de los camiones su valor lo llamaremos $F_{m1}$, y un tiempo llamado $t_{m2}$ en el cual estará a favor de la velocidad de los camiones o puede representar la fuerza por rozamiento estático de la tabla sobre el techo de los camiones y lo llamaremos $F_{m2}$, y ambos tiempos sumados deben ser igual a $t_{ch}$. Ver NOTA.

De estas consideraciones el impulso se puede dividir en dos valores correspondientes a dos intervalos temporales, quedando:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

con $t_{m1}+t_{m2}=t_{ch}$

y el impulso total queda:

$I = I_1 + I_2 = - (F_A + F_B) \ t_{ch} - F_{m1} \ t_{m1} + F_{m2} \ t_{m2}$

y por ultimo queda:

$- (F_A + F_B) \ t_{ch} - F_{m1} \ t_{m1} + F_{m2} \ t_{m2} = v_f \ (M_A + M_B) - v_{A0} \ M_A$

Si el caso fuera un choque instantaneo, $t_{ch}=0 \quad \Rightarrow \quad t_{m1}=t_{m2}=0$, resulta que $\dst v_f=v_{A0} \frac {M_A}{M_A+M_B}$, que ya fue obtenida por ustedes y habría que rehacer los cálculos que se hicieron a continuación, ya que lo siguiente creo que no es correcto:

Por tanto, si llamamos $v_0$ a la velocidad inicial del tablón tenemos que $0=v_0+a\,1\,{\rm s}$.

Esta afirmación supone que la tabla sufre un movimiento uniformemente acelerado, con aceleración a durante un segundo.
Por el contrario yo creo que (visto desde un observador inercial), la tabla al principio esta quieta sufre una aceleración hacia la derecha (debida a la fuerza de rozamiento) hasta lograr su velocidad máxima, para luego sufrir una desaceleración (también debido a la fuerza de rozamiento entre la tabla y los techos de los camiones, que en esta etapa cambia de sentido) hasta detenerse. Si planteáramos la variación de la cantidad de movimiento solo para la tabla, veríamos que ambos tiempos deben ser iguales.

Con estas tres ecuaciones encuentro que , y , de donde se seguiría que la solución pedida sería 6,8 cm/s

Es interesante que la distancia recorrida por el tablón será de -0,98 m, lo que no es incompatible con nada: en "la lotería de momento lineal" del choque inicial el tablón adquiere una velocidad hacia la izquierda, que será anulada por una aceleración hacia la derecha.

Con esta afirmación tampoco estoy de acuerdo, partimos de las idealizaciones de solido rígido y choque plástico ideal, con esta idealización no es compatible una velocidad negativa de la tabla justo después del choque, ya que la única fuerza existente sobre la tabla es la de rozamiento que por la idealización solo puede dirigirse hacia la derecha, ademas para que la tabla tuviera una velocidad distinta de cero justo después del choque debería haber estado afectada por un impulso infinito, el cual no puede ser generado por una fuerza de rozamiento. Que la velocidad inicial de la tabla de distinta de cero y negativa, implica o que el problema no tiene solución con las idealizaciones adoptadas, o que cometimos algún error en su solución.


Escucho objeciones.

s.e.u.o.

Suerte

Nota: este post a sido modificado el día 05/01/2014 por errores conceptuales insalvables, pese a ser corregido merece una revisión mas profunda y fiable de la parte referida al impulso en un choque no instantaneo. Debido a que a partir del post #40 encaramos la solución considerando un choque instantaneo, recién terminado este posiblemente retome la hipótesis del choque con duración de 1 s tratando de desarrollar de una mejor forma lo ya adelantado en el presente post. Gracias

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Duda acerca del momento lineal

Hola:

Creo que podemos estar de acuerdo en que el enunciado dice claramente que se trata de un choque perfectamente inelastico entre los camiones A y B, que el bloque se desplaza 1 m respecto de su posición inicial medido en un SR solidario al camión B, y que los camiones y la madera se frenan un segundo después del contacto entre ambos camiones.
Como el enunciado dice que "todo el proceso dura 1 seg", me entra la duda si esto me fija la duración del choque (haciendo iguales el tiempo del choque, y el tiempo de los desplazamientos de camiones + tabla), o solo se refiere al proceso de desplazamiento de los camiones + tabla, diciendo implícitamente que el choque es instantáneo.

Si se habla de un choque yo entiendo que se trata de un intercambio instantáneo de momento lineal entre las partículas que chocan. Desde este supuesto arranca todo el razonamiento que hice.

esta variación del momento lineal del sistema (camión A + camión B) debe ser igual al impulso que recibe este, que es:

$\dst I = \sum_{i = 1}^3 \ \vec F_{ext_i}\ t_i \ = \ \vec F_1\ t_1\ + \ \vec F_2 \ t_2 \ + \ \vec F_3 \ t_3$

Las fuerzas detalladas son todas las fuerzas exteriores al sistema que actúan sobre el, en este caso son solo las fuerzas de rozamiento que actúan sobre los dos camiones. F1 y F2 las hacemos corresponder con las fuerzas de rozamiento que actúan sobre los camiones A y B, que llamaremos $F_A$ y $F_B$, tienen dirección opuesta a la velocidad de los camiones, y actúan durante $t_{ch}$.

En cuanto a F3 la identificamos con la fuerza de rozamiento entre los camiones y la tabla, la llamaremos $F_m$; pero esta fuerza tiene una particularidad (bajo mi punto de vista, y si no me equivoco) en forma general, y dependiendo de lo que dure el choque, puede cambiar de dirección durante este, teniendo un periodo de tiempo que llamo t_{m1} en el cual se opone a la velocidad de los camiones, y un tiempo llamado $t_{m2}$ en el cual estará a favor de la velocidad de los camiones, y ambos tiempos sumados deben ser igual a $t_{ch}$. Ver NOTA.

Esta es una consideración que ya señaló arisvam en uno de sus mensajes. Y él y yo llegamos a la conclusión de que tal situación no sería compatible con los datos del enunciado:
-en primer lugar, porque, a la vista de la magnitud del rozamiento entre los techos de los camiones y el bloque de madera en relación al rozamiento entre el suelo y los camiones, lo único que podría darse es que el bloque de madera llegara a igualar la velocidad de los camiones (a detenerse respecto al techo) antes de que los camiones acaben deteniéndose, pero, a partir de este instante, el bloque solo podría continuar con la misma velocidad que los camiones, porque la aceleración de los camiones frenando nunca podría ser suficiente para vencer la fuerza de rozamiento estático. (en un mensaje anterior puse el cálculo de las aceleraciones del camión y del bloque de madera).
Ahora bien, el enunciado exige que el tablón y los camiones acaben parados simultáneamente 1 s después del choque.
Así pues, no puede haber (a nuestro entender) inversión en el sentido de la fuerza de rozamiento entre el techo de los camiones y el bloque de madera.

Esta afirmación ($0 = {v}_{0}+a.1$) supone que la tabla sufre un movimiento uniformemente acelerado, con aceleración a durante un segundo.
Por el contrario yo creo que (visto desde un observador inercial), la tabla al principio esta quieta sufre una aceleración hacia la derecha (debida a la fuerza de rozamiento) hasta lograr su velocidad máxima, para luego sufrir una desaceleración (también debido a la fuerza de rozamiento entre la tabla y los techos de los camiones, que en esta etapa cambia de sentido) hasta detenerse. Si planteáramos la variación de la cantidad de movimiento solo para la tabla, veríamos que ambos tiempos deben ser iguales.

Esta sugerencia de que la velocidad inicial de la tabla después del choque fuese cero la hicieron ya en un mensaje anterior de este hilo AI2000 y felmon38. Y contesté a esos mensajes razonando que, en ese caso, no sería posible que el bloque de madera pasase del camión de delante al de atrás, porque el bloque de madera continuaría en reposo relativo respecto al camión A, pues la aceleración con que frenan los camiones no sería suficiente para hacer deslizar el bloque de madera respecto al techo del camión A.

Con esta afirmación tampoco estoy de acuerdo, partimos de las idealizaciones de solido rígido y choque plástico ideal, con esta idealización no es compatible una velocidad negativa de la tabla justo después del choque, ya que la única fuerza existente sobre la tabla es la de rozamiento que por la idealización solo puede dirigirse hacia la derecha, ademas para que la tabla tuviera una velocidad distinta de cero justo después del choque debería haber estado afectada por un impulso infinito, el cual no puede ser generado por una fuerza de rozamiento. Que la velocidad inicial de la tabla de distinta de cero y negativa, implica o que el problema no tiene solución con las idealizaciones adoptadas, o que cometimos algún error en su solución.

Esta es la GRAN DUDA de todo el problema. Yo no encuentro forma de resolverlo (en los términos que está enunciado) más que suponiendo que, a consecuencia del choque, el bloque de madera pudiera adquirir una velocidad negativa, pero.....¿es esto posible, cuando dicho bloque solo está sometido a las ligaduras de la fuerza de rozamiento, de la gravedad y de la fuerza normal (reacción del techo de camión sobre el bloque de madera)?.

Volviendo atras, el otro escenario posible es que todo dure 1 s incluido el choque, y al final de este tiempo todo este quieto ($t_{ch}=1 \quad y \quad v_f=0$). En este caso la ecuación obtenida para el momento lineal queda:

$\dst {- (F_A \ + F_B) \ 1 \ - F_m \ (t_{m1} \ - \ t_{m2}) \ = \ - v_{A0} \ M_A}$

planteando la variación del momento lineal de la tabla durante ese segundo resulta que:

$\dst I_m=\Delta p_m$

y como $\dst \Delta p_m = 0$ resulta $\dst I_m=0 \quad \Rightarrow \quad F_m \ t_{m1} \ - \ F_m \ t_{m2} \ =0 \quad \Rightarrow \quad t_{m1}=t_{m2}$ y como $\dst t_{m1} \ + \ t_{m2} \ = \ t_{ch}$, resulta que $\dst t_{m1} \ = \ t_{m2} \ = \ \frac {t_{ch}} 2$

Otra vez el mismo razonamiento anterior que señaló arisvam: no se invertiría el sentido de la fuerza de rozamiento... podría suceder que el bloque de madera llegase a adquirir la velocidad de los camiones (reposo relativo), pero a partir de este momento el bloque de madera continuaría en reposo relativo, es decir, moviéndose solidariamente con ellos, pues la aceleración de los camiones frenando no sería suficiente para hacer deslizar el bloque de madera.

En suma, volviendo al enunciado del problema, que idealizaciones del enunciado pueden ser admisibles físicamente?

Escucho también objeciones.
Y espero que nadie pierda la curiosidad

[felmon38]

Re: Duda acerca del momento lineal

En el choque (entendido como interacción instantánea, como se entiende en la mecánica clásica)

Creo que esto podría entenderse en Mecánica Clásica como "choque ideal" no simplemente como "choque". A propósito, ¿ has intentado resolver este problema sin tener que hacer la hipótesis gratuita (en el sentido de que no está impuesta por el enunciado), de que se trata de un choque ideal ?. En este caso según el enunciado, al cabo de un segundo los dos camiones tiene ya la misma velocidad.

[oscarmuinhos]

Re: Duda acerca del momento lineal

A felmon38:

He estado reflexionando sobre la Física de ese "choque no ideal" que dices...¿En tal choque no sería posible aplicar la conservación del momento lineal al tablón de madera (que tendría velocidad inicial cero después del choque) pero si a los dos camiones? Sería así?

Gracias

[felmon38]

Re: Duda acerca del momento lineal

Oscar, si se trata de un choque no ideal, no hay conservaciòn del momento lineal durante el choque, ni del bloque, ni de los camiones, ni de los tres sólidos juntos, ya que existen fuerzas exteriores en los tres casos y no se supone un tiempo despreciable.

[Breogan]

Re: Duda acerca del momento lineal

Hola:

Primero les pido disculpas por la demora en contestar, en esta época ando bastante complicado con mis tiempos.

Si se habla de un choque yo entiendo que se trata de un intercambio instantáneo de momento lineal entre las partículas que chocan. Desde este supuesto arranca todo el razonamiento que hice.

Como bien te dijo felmon38, el considerar un choque como instantáneo es una de las tantas idealizaciones (simplificaciones) posibles de usar para analizar este tipo de interacciones.

En cuanto al resto, no es que diga que esta mal; pero no me convence del todo el razonamiento aplicado y las conclusiones a las que llegan. Aunque tus comentarios me hicieron ver un error en mi anterior post, que terminado este voy a corregir.

Independientemente del razonamiento aplicado a si la fuerza de rozamiento puede cambiar de sentido durante el choque, cuando este se considera instantáneo el resultado inmediatamente después de este nos da que:

La madera esta quieta sobre el techo de los camiones ($v_{m0}=0$), y sufre una aceleración hacia la derecha $a_m$ debido a la fuerza de rozamiento.

Los camiones se desplazan hacia la derecha con una velocidad: $\dst v_{AB_0}=v_{A0} \frac {M_A}{M_A+M_B}= \frac {v_{A0}} 2$, y una aceleración hacia la izquierda $a_{AB}$ debidas a las fuerzas de rozamiento camiones-piso y camiones-tabla.

En este caso (choque instantáneo) podemos plantear las ecuaciones cinemáticas y dinámicas para ambos sistemas después del choque:

TABLA

Cinemática:

$\dst x_m (t) = x_{m0} + v_{m0} \ t + \frac 1 2 a_m \ t^2$

$v_{m} (t)= v_{m0} + a_m \ t$

Dinámica:

$\dst a_m = \frac {F_m}{M_m}=\frac {\mu_m M_m g}{M_m} = \mu_m \ g$

Pero esta ultima sera valida mientras la tabla se este deslizando, si llamamos $t_d$ al tiempo total durante el cual la tabla se desliza se debe cumplir que en ese instante $v_m(t_d)=v_{AB}(t_d)$.

Considerando el origen de nuestro SC en el borde del camión B (y de la tabla) resulta que $x_{m0}=0$, y de anteriores consideraciones sabemos que $v_{m0}=0$ por lo cual queda:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
CAMIONES

Cinemática:

$\dst x_{AB}(t) = x_{AB_0} + v_{AB_0} \ t + \frac 1 2 a_{AB} \ t^2$

$\dst v_{AB} (t) = v_{AB_0} + a_{AB} \ t$

Dinámica:

$\dst a_{AB} = \frac {F_{AB}}{M_A+M_B}= \frac {-F_A-F_B-F_m}{M_A+M_B}$

$\dst a_{AB} = \frac {-\mu_A M_A g-\mu_B M_B g - \mu_A M_m g-\mu_m M_m g}{M_A+M_B}$

Como $\dst M_A =M_B=140 M_m$ y $69 \mu_A = 69 \mu_B = \mu_m$ queda:

$\dst a_{AB} = \frac {-\mu_A M_A g-\mu_A M_A g - \mu_A \dst \frac {M_A}{140} g- 69 \mu_A \dst \frac {M_A}{140} g}{2M_A}$

$\dst a_{AB} = - \frac {\dst \frac {281}{140}+ \dst \frac {69}{140}}{2} \mu_A g$

$\dst a_{AB} = - \frac {350}{280} \mu_A \ g = - \frac {35}{28} \mu_A \ g$

Por las mismas consideraciones anteriores esto sera valido para $t \leqslant t_d$, y quedara:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Ahora de las cuatro formulas (1) y (2) utilizamos dos de ellas para plantear que $v_m(t_d)=v_{AB}(t_d)$:

$\dst \frac {v_{A_0}}{2} - \frac {35}{28} \mu_A \ g \ t_d = \mu_m \ g \ t_d$

$\dst \frac {v_{A_0}}{2} = \frac {35}{28} \mu_A \ g \ t_d + 69 \mu_A \ g \ t_d$

$\dst v_{A_0} = \frac {1967}{14} \mu_A \ g \ t_d$

$\dst t_d= \frac {14 \ v_{A_0}}{1967 \ \mu_A \ g}$

Ahora podemos calcular la velocidad de los camiones A y B cuando la tabla dejo de deslizarse sobre el techo de ellos:

$\dst v_{AB} (t_d) =\frac {v_{A_0}}{2} - \frac {35}{28} \mu_A \ g \ t_d$

$\dst v_{AB} (t_d) =\frac {v_{A_0}}{2} - \frac {35}{28} \mu_A \ g \frac {14 \ v_{A_0}}{1967 \ \mu_A \ g}$

$\dst v_{AB} (t_d) = v_{A_0} \left( \frac {1}{2} - \frac {35}{28} \frac {14 }{1967 } \right)$

de acá se ve que cualquiera sea el tiempo que le lleve a la tabla detenerse sobre los techos de los camiones, estos siempre tendrán todavía una velocidad positiva distinta de cero en ese momento, por lo cual ya sabemos que td tiene que ser menor que 1 s para que el tiempo usado por los camiones para detenerse sea de un segundo, y que durante el tiempo "1 s-td" tabla y camiones se desplazaran juntos hasta detenerse.

$\dst t_d \ < \ 1 \ s \quad \Rightarrow \quad \frac {14 \ v_{A_0}}{1967 \ \mu_A \ g} \ < \ 1 \ s$

$$\dst v_{A_0}< \frac {1967}{14} \ \mu_A \ g \ 1 \ s$$

Ahora finalizado el tiempo td la posición relativa de la tabla respecto de los camiones no cambia, por lo cual deberíamos hacer que la diferencia entre sus respectivas coordenadas sea igual a 1mt (tal como dice el enunciado), y averiguar que restricciones nos impone esto:

$\dst x_{AB}(t_d) - x_m (t_d) = 1 \ m$

$\dst \frac {v_{A_0}}{2} t_d - \frac {35}{56} \mu_A \ g \ t_d^2 - \frac 1 2 \mu_m \ g \ t_d^2 = 1 \ m$

$\dst \frac {v_{A_0}}{2} t_d - \frac {35}{56} \mu_A \ g \ t_d^2 - \frac 1 2 69 \mu_A \ g \ t_d^2 = 1 \ m$

$\dst \frac {v_{A_0}}{2} t_d - \frac {1967}{56} \mu_A \ g \ t_d^2 = 1 \ m$


$\dst \frac {v_{A_0}}{2} \frac {14 \ v_{A_0}}{1967 \ \mu_A \ g} - \frac {1967}{56} \mu_A \ g \left( \frac {14 \ v_{A_0}}{1967 \ \mu_A \ g} \right)^2 = 1 \ m$

$\dst \frac {v_{A_0}^2}{\mu_A \ g} \frac {70}{19670} - \frac {v_{A_0}^2}{\mu_A \ g} \frac {35}{19670} = 1 \ m$

$\dst \frac {v_{A_0}^2}{\mu_A \ g} \frac {35}{19670} = 1 \ m$

$$\dst v_{A_0} = \sqrt{\frac {19670 }{35} \ \mu_A \ g \ 1 \ m}$$

Ahora verificamos que la $v_{A_0}$ dada por (4) es menor o igual de la dada por (3), para confirmar que la condición de que la tabla recorra 1 m en el techo de los camiones es compatible con que td sea menor que 1 s.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

por lo tanto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y resulta que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

si el coeficiente de rozamiento de los camiones cumple la anterior condición, podemos decir que la madera se puede desplazar un metro respecto del techo de los camiones en menos de un segundo.

A partir de aca creo que falta la parte donde considerar que los camiones junto con la tabla se detienen en un tiempo tf tal que td+tf=1 s.

Bueno hasta acá llego, tengo tendencia innata a enroscarme, dar vuelta sobre lo mismo, y perderme en el fárrago de formulas y cuentas; por eso prefiero llegar hasta acá y que otro forero lo revise a ver si me equivoque (no es nada de extrañar), y de esa forma corregir si esta equivocado (y no seguir avanzando en algo errado), o con el beneplácito de ustedes terminar el desarrollo.

Espero sus comentarios. Gracias.

s.e.u.o.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Duda acerca del momento lineal

Hola:

Primero les pido disculpas por la demora en contestar, en esta época ando bastante complicado con mis tiempos.

cj2747 parece tener abandonado este hilo (puede que cansado de no lograr concluir nada. Pero, yo personalmente, -que estoy tratando de aprender-, agradezco toda aportación. A mi me han servido todas mucho para ir captando algunas de las "sutilezas" que hay detrás de los conceptos.

En primer lugar, entiendo que tu razonamiento sobre este choque no es mismo que nos está proponiendo felmon38, para quien (si no le he entendido mal) no podríamos aplicar la conservación del momento lineal tampoco al choque de los camiones entre sí. De todas formas, creo que esta de suponer que el tablón de madera no adquiere velocidad alguna a consecuencia del choque (y de la que ya hemos hablado a lo largo de este hilo) debe de ser una forma también a explorar..,

A partir de aca creo que falta la parte donde considerar que los camiones junto con la tabla se detienen en un tiempo tf tal que td+tf=1 s.

Aquí es donde precisamente viene el problema con el enunciado.

Si una vez que ha cesado el movimiento relativo entre los camiones y el tablón, los camiones todavía pudiesen seguir moviéndose hasta detenerse, no habría problema alguno. Pero es que, por imposición del enunciado, todo ocurre en 1 s. Es decir, el bloque de madera acaba de pasar al camión de atrás en el mismo instante en que los camiones se detienen.

Por lo tanto, si impones la condición final de que la diferencia de recorridos es de 1 m, ese tiempo tendría que ser de 1 s, o sea tendría que corresponder a ese tiempo $t_d + t_f = 1 s$ que indicas (y del que hemos hablado en anteriores mensajes de este hilo), porque si hacemos $t_d = 1 s$, volviendo a las ecuaciones de cinemática, resulta que los camiones no se han detenido todavía (lo cual es lógico, pues la otra condición con que calculas ese tiempo $t_d$ no ha sido la de que estas velocidades se anulasen sino que se igualasen).

A partir de ese instante $t_d$, de acuerdo con la imposición del enunciado, el bloque de madera tendría que seguir moviéndose para acabar en su posición final (1 m menos de recorrido que los camiones) al mismo tiempo que los camiones se detienen, y no podríamos haber utilizado todavía la condición de que la diferencia de recorridos es de 1 m.

Y siguiendo con el razonamiento...En este tiempo $t_d$, dado que hemos supuesto que la fuerza de rozamiento sobre el bloque es hacia adelante (y sobre los camiones hacia atrás), estamos dando por supuesto que el bloque de madera se está retrasando respecto a los camiones, por lo tanto, una vez igualadas las velocidades, si el bloque de madera ha de seguir moviéndose con movimiento relativo respecto a los camiones (imposición del enunciado), tendrá que ser que a partir de dicho instante $t_d$ tendrán de ser los camiones los que se retrasen respecto al bloque de madera con lo que la fuerza de rozamiento tendrá que cambiar de sentido...

Y aquí es donde (trato de entender la situación física antes de ponerme a los cálculos) yo me hago la pregunta: ¿esa fuerza de rozamiento que antes arrastraba el bloque de madera hacia adelante, es capaz ahora, una vez igualadas las velocidades, de permitir que el bloque de madera deslice hacia adelante....? Porque sí se supone que hay rozamiento dinámico, habrá que suponer que también hay rozamiento estático.....

Tendremos que seguir reflexionando

Espero también tus comentarios. Y gracias de nuevo.

[felmon38]

Re: Duda acerca del momento lineal

En primer lugar, entiendo que tu razonamiento sobre este choque no es mismo que nos está proponiendo felmon38, para quien (si no le he entendido mal) no podríamos aplicar la conservación del momento lineal tampoco al choque de los camiones entre sí. De todas formas, creo que esta de suponer que el tablón de madera no adquiere velocidad alguna a consecuencia del choque (y de la que ya hemos hablado a lo largo de este hilo) debe de ser una forma también a explorar..,

Oscar, siento meterme entre vosotros pero creo que, si estamos hablando cientificamente, el tablón tiene una velocidad nula en el instante inicial, sobre el que actúa una fuerza horizontal finita igual a N. $\mu$ por lo que no puede tener cambios bruscos en su velocidad, y es inútil tener que seguir explorando esto. Por otra parte , me has entendido perfectamente, y para mí es una hipótesis gratuita el considerar un choque ideal ya que no está impuesta en el problema.

[visitante20160513]

Re: Duda acerca del momento lineal

Vamos a ver, tal y como yo lo veo el bloque no interviene en el choque. Inmediatamente después del choque ambos camiones se mueven juntos con una velocidad mitad de la inicial del primer camión. Hasta ahí creo que es correcto y esto no deviene a un estado en que:

1º).- Ambos camiones se encuentran juntos y desplazándose a una cierta velocidad dada. Las fuerzas actuantes sobre ellos son el rozamiento con el suelo y con el bloque lo que hará que su velocidad disminuya gradualmente hasta detenerse.

2º).- El bloque se encuentra inicialmente parado respecto del suelo, pero tiene una velocidad negativa respecto de los camiones (hacia atrás). El rozamiento hará que se desplace hacia adelante pero a una velocidad inferior que los camiones ya que el bloque parte de una velocidad nula.

3º).- El choque es perfectamente inelástico, ya que lo dice el enunciado cuando afirma que ambos camiones se desplazan juntos después del choque.

Solo hay que aplicar las leyes de Newton para alcanzar la solución.

Salu2

[felmon38]

Re: Duda acerca del momento lineal

¿Que es eso de que el bloque no interviene en el choque y qué que la velocidad después del choque es la mitad...? Eso de que hasta ahí es correcto está por ver.

[Breogan]

Re: Duda acerca del momento lineal

Hola:

Voy a tratar de contestar uno por uno:

Oscar, siento meterme entre vosotros pero creo que, si estamos hablando cientificamente, el tablón tiene una velocidad nula en el instante inicial, sobre el que actúa una fuerza horizontal finita igual a N. $\mu$ por lo que no puede tener cambios bruscos en su velocidad, y es inútil tener que seguir explorando esto. Por otra parte , me has entendido perfectamente, y para mí es una hipótesis gratuita el considerar un choque ideal ya que no está impuesta en el problema.

A diferencia de felmon yo considero que el enunciado es ambiguo al definir el choque, yo considero que las dos interpretaciones son validas - choque instantaneo y choque que dura 1 s- (lo cual no quiere decir que ambas, alguna o ninguna nos lleve a un resultado aceptable). Por comodidad y porque oscar y arisvam ya lo habían empezado así, en el post #40 desarrolle el problema en base a un choque instantáneo, si te llevas el trabajo de leerlo vas a ver que las consideraciones que acotas sobre la velocidad de la madera ya las tuve en cuenta (creo!!). Si lo lees me gustaría leer tus comentarios.

Vamos a ver, tal y como yo lo veo el bloque no interviene en el choque. Inmediatamente después del choque ambos camiones se mueven juntos con una velocidad mitad de la inicial del primer camión. Hasta ahí creo que es correcto y esto no deviene a un estado en que:

1º).- Ambos camiones se encuentran juntos y desplazándose a una cierta velocidad dada. Las fuerzas actuantes sobre ellos son el rozamiento con el suelo y con el bloque lo que hará que su velocidad disminuya gradualmente hasta detenerse.

2º).- El bloque se encuentra inicialmente parado respecto del suelo, pero tiene una velocidad negativa respecto de los camiones (hacia atrás). El rozamiento hará que se desplace hacia adelante pero a una velocidad inferior que los camiones ya que el bloque parte de una velocidad nula.

3º).- El choque es perfectamente inelástico, ya que lo dice el enunciado cuando afirma que ambos camiones se desplazan juntos después del choque.

Solo hay que aplicar las leyes de Newton para alcanzar la solución.

Salu2

Jabato creo que todo eso ya lo tuve en cuenta, si podes leer el post #40 y decirme si hay algún error y donde te voy a estar muy agradecido.

En primer lugar, entiendo que tu razonamiento sobre este choque no es mismo que nos está proponiendo felmon38, para quien (si no le he entendido mal) no podríamos aplicar la conservación del momento lineal tampoco al choque de los camiones entre sí. De todas formas, creo que esta de suponer que el tablón de madera no adquiere velocidad alguna a consecuencia del choque (y de la que ya hemos hablado a lo largo de este hilo) debe de ser una forma también a explorar..,

Yo admito como posible las dos interpretaciones para el choque, la de felmon y la tuya; por comodidad lo estoy haciendo 1º por la hipotesis de choque instantaneo.
En cuanto a que la velocidad de la madera justo despues del choque sea nula esta plenamente justificado por la dinamica, y ademas es usado en el truco mas viejo de los magos (sacar el mantel sin que se mueva la vajilla)

Si una vez que ha cesado el movimiento relativo entre los camiones y el tablón, los camiones todavía pudiesen seguir moviéndose hasta detenerse, no habría problema alguno. Pero es que, por imposición del enunciado, todo ocurre en 1 s. Es decir, el bloque de madera acaba de pasar al camión de atrás en el mismo instante en que los camiones se detienen.

Esto ya lo demostré en el post #40 (a condición de que este bien) que cuando la madera y los camiones igualan su velocidad siempre va a haber una velocidad del conjunto distinta de cero, y que va a ser un porcentaje fijo de la velocidad inicial del camión A

Por lo tanto, si impones la condición final de que la diferencia de recorridos es de 1 m, ese tiempo tendría que ser de 1 s, o sea tendría que corresponder a ese tiempo $t_d + t_f = 1 s$ que indicas (y del que hemos hablado en anteriores mensajes de este hilo), porque si hacemos $t_d = 1 s$, volviendo a las ecuaciones de cinemática, resulta que los camiones no se han detenido todavía (lo cual es lógico, pues la otra condición con que calculas ese tiempo $t_d$ no ha sido la de que estas velocidades se anulasen sino que se igualasen).

A partir de ese instante $t_d$, de acuerdo con la imposición del enunciado, el bloque de madera tendría que seguir moviéndose para acabar en su posición final (1 m menos de recorrido que los camiones) al mismo tiempo que los camiones se detienen, y no podríamos haber utilizado todavía la condición de que la diferencia de recorridos es de 1 m.

Y siguiendo con el razonamiento...En este tiempo $t_d$, dado que hemos supuesto que la fuerza de rozamiento sobre el bloque es hacia adelante (y sobre los camiones hacia atrás), estamos dando por supuesto que el bloque de madera se está retrasando respecto a los camiones, por lo tanto, una vez igualadas las velocidades, si el bloque de madera ha de seguir moviéndose con movimiento relativo respecto a los camiones (imposición del enunciado), tendrá que ser que a partir de dicho instante $t_d$ tendrán de ser los camiones los que se retrasen respecto al bloque de madera con lo que la fuerza de rozamiento tendrá que cambiar de sentido...

Y aquí es donde (trato de entender la situación física antes de ponerme a los cálculos) yo me hago la pregunta: ¿esa fuerza de rozamiento que antes arrastraba el bloque de madera hacia adelante, es capaz ahora, una vez igualadas las velocidades, de permitir que el bloque de madera deslice hacia adelante....? Porque sí se supone que hay rozamiento dinámico, habrá que suponer que también hay rozamiento estático.....

Tendremos que seguir reflexionando

Espero también tus comentarios. Y gracias de nuevo.

También demostré en el post #40 (salvo error), que la madera recorra 1m respecto del techo de los camiones antes de detenerse respecto a ellos es totalmente compatible con que lo haga en menos de 1 s, quedando de esa forma tiempo para que los camiones mas la tabla se detengan totalmente al segundo de producido el choque.

Les pido a los tres por favor que lean el post #40, y que me señalen de el todos los errores que encuentren (felmon aceptame el choque instantaneo, aunque para vos no lo diga el enunciado, para no divagar sobre lo mismo). Gracias.

Suerte

PD: ya sabrán que es bastante frustrarte hacer un desarrollo físico-matemático y que nadie se refiera a el, y solo se opine livianamente sin una mayor lectura de lo escrito.

Suerte