Divulgación Consulta sobre matrices y metodos matematicos en general.

[inakigarber]

Buenas tardes;

Leyendo en esta dirección [FONT=Calibri]http://www.ugr.es/~jillana/SR/sr7.pdf[/FONT] donde se desarrolla la dinámica relativista. Me he encontrado con "matrices" (lo pongo entrecomillado porque no se realmente si son matrices o nó) y me ha picado la curiosidad por saber como se utilizan. En este mismo foro hay un blog donde se explica el mismo desarrollo partiendo del calculo integral. Desarrollo que comprendo (aunque en si día me costó el decir algunas barbaridades en este foro). Pues bien, ya que sé cual es la solución, quisiera entender este procedimiento para conocer otro medio distinto para llegar a la misma solución.
¿Qué debo hacer?

Un saludo

[angel relativamente]

Re: Consulta sobre matrices y metodos matematicos en general.

Sin tener mucha idea de Relatividad a estos niveles y siendo totalmente consciente de que con mi respuesta no solvento tu duda, ¡hasta para resolver un sistema 2x2 lineal se utilizan las matrices!
En general, cualquier vector o conjunto de vectores puedes ponerlo con una representación matricial. ¿Para qué sirve esto? pues para simplificar los cálculos y la notación.

Saludos,

[visitante20160513]

Re: Consulta sobre matrices y metodos matematicos en general.

Si no tienes conocimientos, aunque sean muy básicos, de álgebra lineal será difícil que entiendas ese razonamiento que además se produce en un espacio vectorial de cuatro dimensiones (el espacio-tiempo). Es complejo darte aquí unas lecciones breves para explicarte la teoría que soporta este cálculo. Ni siquiera el enlace que nos muestras lo hace, imagino que por brevedad. Aunque con unos pocos conocimientos de álgebra lineal y otros pocos de física relativista no resulta difícil de entender, es un sencillo desarrollo matemático que progresa mediante un razonamiento lógico, paso a paso, tal y como lo hace cualquier otro razonamiento matemático y que conduce inevitablemente a los resultados que ves.

Es algo más complicado en mi opinión entender el porqué ocurre que partiendo de un espacio vectorial cuatridimensional del tipo que ves (el espacio tiempo) y junto con las transformaciones de Lorentz (en lugar de usar las transformaciones clásicas, las de Galileo) se llega a los mismos resultados que con la teoría de la relatividad. Ahí es donde estuvo el mérito de la relatividad, lo que muestra el artículo es matemática pura y no tiene misterios. La parte física del razonamiento es la "magia" que Einstein supo ver.

Salu2

[inakigarber]

Re: Consulta sobre matrices y metodos matematicos en general.

Tal vez lo que propongo sea una autentica bobada, vamos a ver expreso claramente lo que pienso.

-Energía cinética clásica;

$$E_c=\int{Md(p)}=\frac{Mv^2}{2}$$

donde $p=Mv$

-Energía cinética relativista;

$$E_c=\int{Md(p)}=\frac{Mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-Mc^2$$

donde $p=\frac{Mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Los estoy escribiendo de memoria por lo que quizá haya cometido algún error. A lo que me refiero es que puedo resolver estos cálculos mediante integrales. No se me había ocurrido que pudieran resolverse integrales mediante el uso de matrices. Sí no me he equivocado.

Un saludo.

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...Es algo más complicado en mi opinión entender el porqué ocurre que partiendo de un espacio vectorial cuatridimensional del tipo que ves (el espacio tiempo) y junto con las transformaciones de Lorentz (en lugar de usar las transformaciones clásicas, las de Galileo) se llega a los mismos resultados que con la teoría de la relatividad. Ahí es donde estuvo el mérito de la relatividad, lo que muestra el artículo es matemática pura y no tiene misterios. La parte física del razonamiento es la "magia" que Einstein supo ver.

Salu2

Totalmente de acuerdo. Me refería simplemente a la parte puramente matemática. Por eso he colocado el post de "métodos matemáticos". El encanto de la relatividad esta mas allá de las puras matemáticas (lo sé), pero por esta vez he preferido dejar (de momento) el encanto y centrarme en las matemáticas.
Un saludo.

[Weip]

Re: Consulta sobre matrices y metodos matematicos en general.

Los estoy escribiendo de memoria por lo que quizá haya cometido algún error. A lo que me refiero es que puedo resolver estos cálculos mediante integrales. No se me había ocurrido que pudieran resolverse integrales mediante el uso de matrices. Sí no me he equivocado.

Un saludo.

No es que se estén resolviendo integrales mediante matrices, el documento solo llega al mismo sitio mediante otro camino. Con nociones básicas de matrices (la multiplicación de matrices sobretodo) ya puedes seguir esos cálculos (aunque si tienes soltura mejor).

[pod]

Re: Consulta sobre matrices y metodos matematicos en general.

Los estoy escribiendo de memoria por lo que quizá haya cometido algún error. A lo que me refiero es que puedo resolver estos cálculos mediante integrales. No se me había ocurrido que pudieran resolverse integrales mediante el uso de matrices. Sí no me he equivocado.

El documento en cuestión no demuestra eso en ningún momento. Lo pone by the face. En la ecuación (7.10) dice "la masa es un invariante que tiene esta forma" sin demostrarlo. Y, al poner eso, está definiendo lo que es la energía. Y, a partir de haber puesto eso, va sacando conclusiones. No es que esté mal (que yo no he visto nada que lo esté), simplemente que no calcula la energía a partir de su definición como trabajo transferido.

Ahora, explicar cómo se usan las matrices en relatividad es un poco como preguntarte cómo se utiliza un bolígrafo para hacer una integral. Pues el bolígrafo se usa arrastrándolo por el papel, pero eso no tiene mucho que ver con la integral.

A un nivel más sencillo, las matrices sirven para agrupar diversas ecuaciones relacionadas. Por ejemplo, la segunda ecuación del documento que enlazas muestra las transformaciones de Lorentz. Si desarrollas el producto matricial, verás que eso es equivalente a las cuatro ecuaciones de la transformación. Eso nos ayuda a escribir la ecuación de forma más compacta. La matriz representa la transformación de Lorentz.

Después, resulta que todo esto tiene utilidades más allá de ofrecer una notación compacta. Por ejemplo, yo puedo hacer dos transformaciones de Lorentz (o incluso una transformación de Lorentz más otra transformación de otro tipo, como una rotación) simplemente multiplicando las matrices correspondientes. Esto es lo que da a lugar al uso en física de la teoría de grupos.

Desde otro punto de vista, la relatividad utiliza de forma extensiva el formalismo matemático de los tensores. De forma muy simple, un tensor es una magnitud con cero o más índices. Una cantidad con cero índices es un escalar. Una cantidad con un índice es un vector (o una 1-forma, dependiendo de si el índice está arriba o abajo, pero no nos vamos a meter en eso). Y así, etcétera. Las matrices van muy bien para escribir tensores (de hasta orden 2). Por ejemplo, un vector se puede escribir como una matriz con una sola columna (una 1-forma se suele escribir como una matriz con una sola fila). Los tensores de orden 2 (es decir, con dos índices) se pueden escribir como matrices. El problema, claro, viene cuando se utilizan vectores de orden superior (como el tensor de Riemman, utilizado en la geometría diferencial de la relatividad general).