¿Qué es un diferencial?

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola, disculpad las molestias pero quisiera saber si esto es correcto

$\dd f=f'(x)\Delta x = \displaystyle \dd f \frac{ \Delta x}{\Delta x} = \frac{ \dd f}{\Delta x}\Delta x$
$f'(x) \Delta x= \displaystyle \frac{ \dd f}{\Delta x} \Delta x$
$f'(x) = \displaystyle \frac{ \dd f}{\Delta x}$

Y al ser x una variable independiente $\Delta x= \dd x$

Es correcto aunque das mucha vuelta. Basta con pasar dividiendo el $\Delta x$.

Entonces por tanto se puede operar con los diferenciales multiplicando, dividiendo, reacomodándolos de un lado al otro de una igualdad como una variable común y corriente, y al tener el diferencial de una función entre el diferencial de una variable independiente, se puede igualar a la derivada de dicha función con respecto a esa variable independiente

En una ecuación diferencial $\dst\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ significa "derivada de $f$ respecto de $x$" y de ningun modo se puede interpretar como una división de diferenciales. Eso de pasar multiplicando y dividiendo diferenciales en ecuaciones como $\dst\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=g(x)h(y)$ para luego integrar viene a ser una forma rápida de aplicar el método de separación de variables. Tómatelo como reglas mnemotécnicas o una notación conveniente sin olvidar qué método estás aplicando para resolver tu ecuación diferencial.

Tambien quería hacerlo para variables dependientes
$y=y(t)$ y $x=x(t)$



$\dd y = (y \circ x)'(t)\Delta t= \dd y \displaystyle \frac{\Delta t}{\Delta t}= \frac{\dd y}{\Delta t} \Delta t$

Aquí no te sigo. Si $y=y(t)$ entonces $dy=y'(t)\Delta t$. Yo creo que lo que quieres calcular es $df$ con $f=y \circ x$.

Finalmente aclarar que el caso de varias variables es más complejo y la gran mayoría de los "trucos" no pueden llevarse a cabo. Espero haberte ayudado.

[danielandresbru]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Vale weip, muchas gracias, pero hay algo que no entiendo

Si $y(t)=(u \circ x)(t)$ (1)

$y'(t)=u'(x)\cdot x'(t)$ (2)


como $y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{\Delta t}$

Hay algo que he visto desde hace mucho, y en clase lo hacen a cada rato, y no se por qué, y quisiera saberlo para saber cuando puedo hacerlo o no, y es lo siguiente
$y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{ \Delta t} \cdot \frac{\dd x}{\dd x}$
$y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x} \cdot \frac{\dd x}{\Delta t}$
$y'(t)=\displaystyle y'(x) \cdot x'(t)$





Ahora si tengo
$y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{\Delta t}$
$y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{ \Delta t} \cdot \frac{\dd x}{\dd x}$
$y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x} \cdot \frac{\dd x}{\Delta t}$
$y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x} \cdot x'(t)$

Y partiendo de (2) se tiene que $\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x}=u'(x)$

entonces no entiendo en el primer desarrollo (que no lo entiendo pero si se usa bastante) $\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x}=y'(x)$, pero por otro lado $\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x}=u'(x)$.


La verdad estoy muy confundido, y agradecería mucho me lo pudieseis aclarar

- - - Actualizado - - -

Me di cuenta de una cosa pero quisiera saber si es correcto $u(t)=y(x)$
entonces por tanto $y'(x)=u'(t) \Big]_{t=x}$

Por lo que en un principio puedo poner

$y'(t)=y'(x)\cdot x'(t)$ no?

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola de nuevo.

Vale weip, muchas gracias, pero hay algo que no entiendo

Si $y(t)=(u \circ x)(t)$ (1)

$y'(t)=u'(x)\cdot x'(t)$ (2)


como $y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{\Delta t}$

Hay algo que he visto desde hace mucho, y en clase lo hacen a cada rato, y no se por qué, y quisiera saberlo para saber cuando puedo hacerlo o no, y es lo siguiente
$y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{ \Delta t} \cdot \frac{\dd x}{\dd x}$
$y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x} \cdot \frac{\dd x}{\Delta t}$
$y'(t)=\displaystyle y'(x) \cdot x'(t)$





Ahora si tengo
$y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{\Delta t}$
$y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{ \Delta t} \cdot \frac{\dd x}{\dd x}$
$y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x} \cdot \frac{\dd x}{\Delta t}$
$y'(t)=\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x} \cdot x'(t)$

Y partiendo de (2) se tiene que $\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x}=u'(x)$

entonces no entiendo en el primer desarrollo (que no lo entiendo pero si se usa bastante) $\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x}=y'(x)$, pero por otro lado $\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x}=u'(x)$.

Con un ejemplo lo verás mejor. Considera $u(t)=\sin(t)$ y $x(t)=2t$. Entonces $y(t)=\sin(2t)$. Tenemos que $u'(x(t))=\cos(x(t))=\cos(2t)$ (esto es como aplicar la mitad de la regla de la cadena: derivas la función de fuera y la de dentro la dejas igual; no multiplicamos por la derivada de $x(t)$ porque estamos considerando $x(t)$ como la variable respecto a la que derivamos). Por otro lado $y'(x(t))=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sin(x(t))=\cos(x(t))=\cos(2t)$.

Por lo que en principio puedo poner

$y'(t)=y'(x)\cdot x'(t)$ no?

Sí, puedes ponerlo.

[danielandresbru]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola, antes que nada quería desearos una feliz navidad a todos los que habeís participado en este foro durante este año. En segundo lugar muchas gracias weip por la ayuda que me has dado creo que ya lo entiendo mejor, pero quiero saber si estoy en lo correcto.

Hay que ser cuidadoso con la expresión $\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x}$, porque puede significar dos cosas:

* La primera que es lo más común, la derivada de una función $y(x)$ con respecto a la variable x.

*La segunda es que se entienda como un cociente entre diferenciales y en este caso lo que representaría es la derivada de una función $y(t)$ con respecto a x (siendo t la variable independiente), o lo que es lo mismo: la derivada de la función $(y \circ x^{-1}) (x)$ con respecto a x.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola, antes que nada quería desearos una feliz navidad a todos los que habeís participado en este foro durante este año.

¡Igualmente!

Sobre el tema de las derivadas y los diferenciales, tal como está montado el cálculo diferencial, $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ significa "derivada de la función $y$ respecto a $x$" y nada más. Piensa que sin necesidad de definir una división entre diferenciales ya puedes escribir cosas como $\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\mathrm{d}x$ o $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$. Las expresiones anteriores no se obtienen multiplicando y dividiendo diferenciales, sino que la primera es la expresión del diferencial $\mathrm{d}y=y'(x)\mathrm{d}x$ y la segunda es la regla de la cadena. Los truquillos de multiplicar y dividir diferenciales son eso, trucos que nos facilitan la vida y nos ayudan a la intuición, pero no has de dejar de pensar en la maquinaria que hay detrás. Sé que me repito mucho pero espero que me haya explicado bien.