Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Gracias. Por cierto, me ha surgido una duda un tanto ridícula, por qué hemos puesto unos límites entre 0 y pi, he comprobado que no valen -pi/2 o pi/2...

Porque en este caso, $\varphi$ va de a $\pi$. No tiene más. Yo de ti me haría un dibujo porque no parece que estés visualizando la situación, cosa fundamental para resolver este tipo de problemas.

Lo del vector normal, depende a que superficie sea no¿?

Sí, por eso has de dar una superficie concreta (dándola explícitamente con funciones/rectas/intersecciones de figuras geométricas de todo tipo). Cualquiera no vale para calcular el flujo.

Lo del ángulo sólido no lo entendí muy bien, aunque bueno, según leo no tiene mucha aplicación en integrales excepto para casos generales.

Realmente sé lo que es pero nunca lo he usado. Siempre puedes usar caminos alternativos para llegar a lo mismo. Ignoro si en contenidos más avanzados toma más protagonismo, pero lo dudo.

Sobre el nabla, tenía dudas sobre como se sacan la expresión de nabla y de sus operaciones en cualquier tipo de coordenadas.

Wikipedia nos guía en estos casos jajaja. Supongo que con coordenadas te refieres a esféricas y demás. No tiene mucho misterio pero si te encallas en algún cálculo dilo.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

A ver, si que me encallo xD. Creo que lo entiendo más o menos. Pero como se llega a esa expresión¿? y cómo a partir de nabla dejándolo en función de sus factores a escala se sacan los operadores, divergencia, rotacional y laplaciano (y gradiente, aunque este simplemente es aplicar nabla a una función escalar).

PD: lo voy a intentar lo primero, aunque sólo con la idea, the chain rule, aunque muy incorrecto!!

$$\frac{\partial }{\partial \vec r}=\frac{\partial }{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial \vec r}+\frac{\partial }{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial \vec r}+\frac{\partial }{\partial z'}\frac{\partial z'}{\partial \vec r}=\frac{\partial }{\partial x'}\frac{1}{h_{x'}}\hat x'+\frac{\partial }{\partial y'}\frac{1}{h_{y'}}\hat y'+\frac{\partial }{\partial z'}\frac{1}{h_{z'}}\hat z'$$

Está mal pero va así la idea.
Sé que también se puede ir calculando cada derivada parcial de una coordenada nueva respecto a una antigua y así ir sacando los operadores, pero hay que hacer un montón de cuentas.

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Pero como se llega a esa expresión¿? y cómo a partir de nabla dejándolo en función de sus factores a escala se sacan los operadores, divergencia, rotacional y laplaciano (y gradiente, aunque este simplemente es aplicar nabla a una función escalar).

Calculando a saco con las definiciones. Lo sé, da mandra.

PD: lo voy a intentar lo primero, aunque sólo con la idea, the chain rule, aunque muy incorrecto!!

$$\frac{\partial }{\partial \vec r}=\frac{\partial }{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial \vec r}+\frac{\partial }{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial \vec r}+\frac{\partial }{\partial z'}\frac{\partial z'}{\partial \vec r}=\frac{\partial }{\partial x'}\frac{1}{h_{x'}}\hat x'+\frac{\partial }{\partial y'}\frac{1}{h_{y'}}\hat y'+\frac{\partial }{\partial z'}\frac{1}{h_{z'}}\hat z'$$

Mmm... Ahí no sé qué estás intentando. Tu sustituye las cosas y tarde o temprano llegarás a esas expresiones.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Calculando a saco con las definiciones. Lo sé, da mandra.


Mmm... Ahí no sé qué estás intentando. Tu sustituye las cosas y tarde o temprano llegarás a esas expresiones.

Ahí trato de sacarlo.. Entonces se calcula por el lento modo de decir:

$$\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial q_1}{\partial x}\frac{\partial }{\partial q_1}+\frac{\partial q_2}{\partial x}\frac{\partial }{\partial q_2}$$

$$\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial q_1}{\partial y}\frac{\partial }{\partial q_1}+\frac{\partial q_2}{\partial y}\frac{\partial }{\partial q_2}$$

Sacarlo así y luego sustituir en las fórmulas¿? Y lo mismo para cualquier operación divergecia, rotacional, laplaciano, etc. ¿?

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Ahí trato de sacarlo.. Entonces se calcula por el lento modo de decir:

$$\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial q_1}{\partial x}\frac{\partial }{\partial q_1}+\frac{\partial q_2}{\partial x}\frac{\partial }{\partial q_2}$$

$$\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial q_1}{\partial y}\frac{\partial }{\partial q_1}+\frac{\partial q_2}{\partial y}\frac{\partial }{\partial q_2}$$

Sacarlo así y luego sustituir en las fórmulas¿? Y lo mismo para cualquier operación divergecia, rotacional, laplaciano, etc. ¿?

No te has de complicar tanto, solo usa las definiciones. Por ejemplo, si cambias a coordenadas cilíndricas tienes que:

$(x,y,z)\to(r\cos\theta, r\sin\theta, z)$

Sustituye y ves haciendo. Durante esta semana cuando tenga más tiempo lo hago paso por paso y así podemos ver mejor las dificultades que se presentan.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Sigo sin entender lo que quieres decir. Mis dificultades no son en usar la fórmula, si no por qué de esas formulas, e igual así poder memorizarlas.. Yo necesito demostración, se que se puede hacer por ese modo que dije, pero calcular cada derivada parcial para sacar el operador nabla, realizar un rotacional o un laplaciano, multiplicar términos, agrupar, etc. es un poco largo y líoso, no sé a que modo te refieres Weip. Siento liarte para que me expliques, pero no lo encuentro por ningún lado, muchas gracias y cuando puedas.

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Me lo he estado pensando y sí se hacía como decías sí. No debería entrar al foro por la noche... en todo caso, empecemos. Sea $f$ un campo escalar real. Podemos escribir su gradiente como:

$\nabla f=\dst\frac{\partial f}{\partial x}e_1+\dst\frac{\partial f}{\partial y}e_2+\dst\frac{\partial f}{\partial z}e_3=\dst\frac{\partial f}{\partial r_1}e_1+\dst\frac{\partial f}{\partial r_2}e_2+\dst\frac{\partial f}{\partial r_3}e_3=$

$=\dst\sum_{i = 0}^3 \dst\frac{\partial q_i}{\partial r_1}\dst\frac{\partial f}{\partial q_i}e_1+\dst\sum_{i = 0}^3 \dst\frac{\partial q_i}{\partial r_2}\dst\frac{\partial f}{\partial q_i}e_2+\dst\sum_{i = 0}^3 \dst\frac{\partial q_i}{\partial r_3}\dst\frac{\partial f}{\partial q_i}e_3$

Ahora definimos:

$h_i(q_1, q_2, q_3)=\dst\left\vert{} \left\vert{} \dst\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_i} \right\vert{} \right\vert{}<br />$

Que son los denominados factores de escala, $||\cdot||$ denota la norma euclídea y $i=1,2,3$. Sustituyendo en el gradiente queda:

$\nabla f=\dst\sum_{i = 1}^3 \dst\frac{1}{h_i}\dst\frac{\partial f}{\partial q_i}e_i$

¿Y esto como se aplica a los cambios de coordenadas? Pues bajo esta forma es muy fácil calcular los $h_i$. Por ejemplo, haciendo el cambio a cilíndricas obtenemos:

$h_1=\dst\left\vert{} \left\vert{} \dst\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \right\vert{} \right\vert{}=\left\vert{} \left\vert{} (\cos\theta, \sin\theta, 0) \right\vert{} \right\vert{}=1$

$h_2=\dst\left\vert{} \left\vert{} \dst\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \right\vert{} \right\vert{}=\left\vert{} \left\vert{} (-r\sin \theta, r\cos\theta, 0) \right\vert{} \right\vert{}=r$

$h_3=\dst\left\vert{} \left\vert{} \dst\frac{\partial \vec{r}}{\partial z} \right\vert{} \right\vert{}=\left\vert{} \left\vert{} (0, 0, 1) \right\vert{} \right\vert{}=1$

Sustituyes y ya te queda.

No sé si habrá algún fallo, seguramente sí porque es un poco largo. Ya más tarde u otro día te hablo de otras coordenadas y otros operadores diferenciales.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Si pero con un pero.. ahora lo escribo matemáticamente, pero no se puede hacer la regla de la cadena así. Has escrito el mismo subíndice en r y q, es decir en i=1, has escrito $\partial_{q_1} x$ que no es igual que: $\partial_{q_1} \vec r$
En donde tengo más dudas es en los otros operadores, yo creía que por ejemplo el laplaciano era aplicar la nabla dos veces.

$$\nabla^2=\nabla \cdot \nabla=(\partial_x \vec \imath + \partial_y \vec \jmath + \partial_z \vec k) \cdot (\partial_x \vec \imath + \partial_y \vec \jmath + \partial_z F \vec k)=\partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2$$

Pero viendo la expresión en wikipedia para otras coordenadas ortogonoles, (incluyendo los factores a escala), esto no se cumple..

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Si pero con un pero.. ahora lo escribo matemáticamente, pero no se puede hacer la regla de la cadena así. Has escrito el mismo subíndice en r y q, es decir en i=1, has escrito $\partial_{q_1} x$ que no es igual que: $\partial_{q_1} \vec r$

Es verdad, les he puesto el mismo subíndice... gracias por avisar. Ahora lo corrijo.

En donde tengo más dudas es en los otros operadores, yo creía que por ejemplo el laplaciano era aplicar la nabla dos veces.

$$\nabla^2=\nabla \cdot \nabla=(\partial_x \vec \imath + \partial_y \vec \jmath + \partial_z \vec k) \cdot (\partial_x \vec \imath + \partial_y \vec \jmath + \partial_z F \vec k)=\partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2$$

Pero viendo la expresión en wikipedia para otras coordenadas ortogonoles, (incluyendo los factores a escala), esto no se cumple..

Sí, se hace así. Lo que pasa es que es muy largo. Demasiado como para describirte todo el proceso aquí. Tu ves multiplicando con calma y sale solo. Es que no sé qué indicación darte porque es mera álgebra, solo desearte que no te equivoques en ninguna parte. Otra opción sería que cogieses la expresión general de wikipedia y así vas más rápido. El problema es que te tendría que demostrar demasiadas cosas.

Edito. Ya he corregido lo de antes aunque lo he hecho a vista, pero bueno creo que nos entendemos jajaja. Para lo del laplaciano una indicación sí puedo darte: haz la regla de la cadena en el interior del producto escalar y para el gradiente usa la fórmula con los factores de escala. Multiplica, ves manipulando y llegarás a la expresión que sale en la wikipedia.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

$$\nabla^2=(\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}e_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}e_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}e_3)\cdot(\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}e_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}e_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}e_3)=$$

$$=\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}(\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1})+\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}(\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2})+\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}(\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3})$$

Así sería el laplaciano por ejemplo¿?

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

$$\nabla^2=(\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}e_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}e_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}e_3)\cdot(\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}e_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}e_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}e_3)=$$

$$=\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}(\frac{1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1})+\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}(\frac{1}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2})+\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}(\frac{1}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3})$$

Así sería el laplaciano por ejemplo¿?

Saca factor común $\dst\frac{1}{h_1h_2h_3}$ y ya lo tienes. Recuerda que los factores de escala son constantes.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Saca factor común $\dst\frac{1}{h_1h_2h_3}$ y ya lo tienes. Recuerda que los factores de escala son constantes.

Son constantes¿??? Pero si por ejemplo en esféricas salen, 1, r y r sin \theta..

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Son constantes¿??? Pero si por ejemplo en esféricas salen, 1, r y r sin \theta..

Bueno en cilíndricas la derivada respecto a $r$ te va a dar uno y los otros pues... Es que creía que lo íbamos a demostrar con cilíndricas. Soy consciente de que con tal de hacer mensajes cortos me estoy explicando fatal.

Igual yo doy más vuelta, pero yo hacía la regla de la cadena dentro del producto escalar y aunque era más largo aseguro que salía.

PD: Si quieres sustituye ahora los factores de escala y ya te queda (creo). Mmm... repasando creo que no está bien no. Seguiré dándole vueltas a tu cálculo.

Edito: Hoy estoy despistado xD. Lo que pasa es que el laplaciano es la divergencia de un gradiente y no el gradiente de un gradiente. Con razón a mí me salía y a ti no. Venga ahora sí, lo hago paso por paso. Para el gradiente hemos deducido antes:

$\vec{F}=\nabla f=\dst\sum_{i = 1}^3 \dst\frac{1}{h_i}\dst\frac{\partial f}{\partial q_i}e_i$

Para la divergencia tenemos que (uso la misma notación que wikipedia para evitar líos):

$\nabla \cdot \vec{F}=\dst\frac{1}{h_1h_2h_3} \dst\left( \dst\frac{\partial F_1 h_2 h_3}{\partial q_1}+\dst\frac{\partial h_1F_2h_3}{\partial q_2} +\dst\frac{\partial h_1h_2F_3}{\partial q_3} \right)$

Ahora sustituimos en la divergencia y queda:

$\nabla^2 f=\dst\frac{1}{h_1h_2h_3}\left( \dst\frac{\partial }{\partial q_1} \dst\frac{h_2h_3}{h_1 } \dst\frac{\partial f}{\partial q_1}+ \dst\frac{\partial }{\partial q_2}\dst\frac{h_3h_1}{h_2 } \dst\frac{\partial f}{\partial q_2} + \dst\frac{\partial }{\partial q_3} \dst\frac{h_1h_2}{h_3 } \dst\frac{\partial f}{\partial q_3}\right)$

Siento haber mareado la perdiz toda la tarde.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Y la divergencia de donde sale¿?, lo había visto en coordenadas cartesianas como un producto escalar del operador nabla por un vector, pero no es así...

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Y la divergencia de donde sale¿?, lo había visto en coordenadas cartesianas como un producto escalar del operador nabla por un vector, pero no es así...

Enlace. En la diapositiva 40. Y ya de paso están los otros operadores. De todas formas todos estos operadores se definen de la misma forma tengamos las coordenadas que tengamos. Vamos, que multiplicando llegas igual, pero es más difícil.