Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Hola, he vuelto a ello, he visto el enlace, lo malo que no me gusta el método. Primero el gradiente y la nabla.. Primero el método fácil, como para campos conservativos, la integral curvilínea y el gradiente son inversos, puedo sacar este operador a partir del primero.

$$\oint \vec F \cdot d\vec r =0$$

$$d\vec r= \sum_i \frac{\partial \vec r}{\partial q_i}dq_i=\sum_i \vert \vert \frac{\partial \vec r}{\partial q_i} \vert \vert dq_i \hat q_i$$

$$\vec \nabla V = F$$

$$V =\int \vec F \cdot d\vec r =\int \vec \nabla V \cdot d\vec r=\int \sum_i \nabla_i V \vert \vert \frac{\partial \vec r}{\partial q_i} \vert \vert dq_i$$

Para que esto sea verdad:

$$\nabla_i V = \vert \vert \frac{\partial \vec r}{\partial q_i} \vert \vert ^{-1} \frac{\partial V}{\partial q_i}=F_i$$

Por lo tanto el gradiente de un campo escalar:

$$\vec \nabla V = \sum_i \vert \vert \frac{\partial \vec r}{\partial q_i} \vert \vert ^{-1} \frac{\partial V}{\partial q_i} \hat q_i$$

Que llamando factor a escala: $h_i=\vert \vert \frac{\partial \vec r}{\partial q_i} \vert \vert$

$$\vec \nabla V = \sum_i \frac{1}{h_i} \frac{\partial V}{\partial q_i} \hat q_i$$

Pudiendo definir el operador nabla:

$$\vec \nabla = \sum_i \frac{1}{h_i} \frac{\partial }{\partial q_i} \hat q_i$$

Ahora por el lado que no me sale, sabemos cómo es el operador en cartesianas y lo queremos pasar a cualquier otro tipo de coordenadas ortogonales. Lo voy a escribir con dos coordenadas, para abreviar.

$$\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial }{\partial \theta}$$

$$\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial \theta}{\partial y}\frac{\partial }{\partial \theta}$$

$$\vec \nabla=\frac{\partial }{\partial x} \vec \imath + \frac{\partial }{\partial y} \vec \jmath =\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r} \vec \imath+\frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial }{\partial \theta}\vec \imath + \frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial }{\partial r}\vec \jmath+\frac{\partial \theta}{\partial y}\frac{\partial }{\partial \theta}\vec \jmath=$$

$$=(\frac{\partial r}{\partial x}\vec \imath+\frac{\partial r}{\partial y}\vec \jmath)\frac{\partial }{\partial r}+(\frac{\partial \theta}{\partial x}\vec \imath+\frac{\partial \theta}{\partial y}\vec \jmath)\frac{\partial }{\partial \theta}$$

Mi problema radica en no saber plantear por qué:

$$\frac{\partial r}{\partial x}\vec \imath+\frac{\partial r}{\partial y}\vec \jmath=\frac{1}{h_r}\hat r$$

PD: ya se que lo podría comprobar con el sistema de coordenadas polares por ejemplo, (ya sé que estoy usando su nomenclatura), pero me refiero sin tener que llegar a eso, a calcular para casos concretos.

Y para obtener la divergencia yo leí que simplemente era multiplicar escalarmente:

$$\vec \nabla \cdot \vec F= (\frac{\partial }{\partial x}\vec \imath+\frac{\partial }{\partial y}\vec \jmath+\frac{\partial }{\partial z}\vec k) \cdot (F_x \vec \imath + F_y \vec \jmath + F_z \vec k)=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$$

Pero me debo equivocar entonces al calcular aquí:

$$\vec \nabla \cdot \vec F= (\sum_i \frac{1}{h_i} \frac{\partial }{\partial q_i} \hat q_i) \cdot (\sum_i F_i \hat q_i)=\sum_i \frac{1}{h_i} \frac{\partial F_i}{\partial q_i}$$

Un saludo y gracias

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Pero me debo equivocar entonces al calcular aquí:

$$\vec \nabla \cdot \vec F= (\sum_i \frac{1}{h_i} \frac{\partial }{\partial q_i} \hat q_i) \cdot (\sum_i F_i \hat q_i)=\sum_i \frac{1}{h_i} \frac{\partial F_i}{\partial q_i}$$

Un saludo y gracias

Es que mira los dos miembros no coinciden:

$\dst\sum_{i=1}^n \frac{1}{h_i} \frac{\partial F_i}{\partial q_i}=\frac{1}{h_1} \frac{\partial F_1}{\partial q_1}+...+\frac{1}{h_n} \frac{\partial F_n}{\partial q_n}$

$\left( \dst\sum_{i=1}^n \frac{1}{h_i} \dst\frac{\partial }{\partial q_i} \hat q_i \right) \cdot \left( \dst\sum_{i=1}^n F_i \hat q_i \right)=\left( \dst\frac{1}{h_1} \dst\frac{\partial }{\partial q_1} \hat q_1+...+\dst\frac{1}{h_n} \dst\frac{\partial }{\partial q_n} \hat q_n \right) \left( F_1 \hat q_1+...+F_n \hat q_n \right)=$

$=\dst\frac{1}{h_1} \dst\frac{\partial F_1}{\partial q_1}+\dst\frac{1}{h_2} \dst\frac{\partial F_1}{\partial q_2}+...+\dst\frac{1}{h_n}\dst\frac{\partial F_1}{\partial q_n}+\dst\frac{1}{h_1} \dst\frac{\partial F_2}{\partial q_1}+\dst\frac{1}{h_2} \dst\frac{\partial F_2}{\partial q_2}+...+\dst\frac{1}{h_n}\dst\frac{\partial F_2}{\partial q_n}+...$

$...+\dst\frac{1}{h_1} \dst\frac{\partial F_n}{\partial q_1}+\dst\frac{1}{h_2} \dst\frac{\partial F_n}{\partial q_2}+...+\dst\frac{1}{h_n}\dst\frac{\partial F_n}{\partial q_n}$

Lo otro ya te lo respondo mañana.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Me equivoqué al expresarlo, es igual lo entendiste, debería haber señalado nabla con subíndices i y el vector con subíndices j..
Pero por definición de producto escalar en una base ortonormal.

$$\hat q_i \cdot \hat q_j=1 \;\;\; i=j$$

$$\hat q_i \cdot \hat q_j=0 \;\;\; i\neq j$$

Por eso no veo consistente el mensaje que me acabas de escribir.

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Me equivoqué al expresarlo, es igual lo entendiste, debería haber señalado nabla con subíndices i y el vector con subíndices j..
Pero por definición de producto escalar en una base ortonormal.

$$\hat q_i \cdot \hat q_j=1 \;\;\; i=j$$

$$\hat q_i \cdot \hat q_j=0 \;\;\; i\neq j$$

Por eso no veo consistente el mensaje que me acabas de escribir.

Cierto, me he olvidado... Y mira que he ido pensando "no te olvides de los vectores que no todos sus productos son uno..." pero mira, soy así de despistado. Y efectivamente lo que he puesto está mal xD. Nah olvídalo. Ya mañana me lo miro mejor.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Creo que voy entendiendo, me he equivocado en que hay que derivar todo.

$$\vec \nabla \cdot \vec F= (\sum_i \frac{\hat q_i}{h_i} \frac{\partial }{\partial q_i}) \cdot (\sum_j F_j \hat q_j)=\sum_i \frac{\hat q_i}{h_i} \cdot \frac{\partial (\sum_j F_j \hat q_j)}{\partial q_i}=\sum_i \sum_j \frac{\hat q_i}{h_i} \cdot \frac{\partial (F_j \hat q_j)}{\partial q_i}$$

Pero ahora... no sé seguir calculando esas derivadas parciales sin conocer cual es la función $\hat q_j(q_i)$.. Alguna pista en cómo aplicar la regla de la cadena¿?
Pues anda que yo de despistado que me doy cuenta ahora de este error garrafal, aunque ya creo que lo sospechase..

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Mi problema radica en no saber plantear por qué:

$$\frac{\partial r}{\partial x}\vec \imath+\frac{\partial r}{\partial y}\vec \jmath=\frac{1}{h_r}\hat r$$

¿$\vec{i}$ y $\vec{j}$ denotan la base canónica de $\mathbb{R}^2$? La gracia del cambio de coordenadas es que puedas coger una base cualquiera para fijarla y facilitarte la vida. Lo que se hace considerar $\left\{ e_1, e_2 \right\}$ base de $\mathbb{R}^2$ definida como:

$e_i=\dst\frac{1}{h_i}\dst\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_i}$

Y ahora solo tienes que calcular el gradiente teniendo en cuenta que cada derivada se puede escribir como $\dst\left< \vec{\nabla}f, e_i\right>$.

Es que no sé porqué te complicas tanto si sale mucho más engorroso.

no sé seguir calculando esas derivadas parciales sin conocer cual es la función $\hat q_j(q_i)$

Yo tampoco. No sé si alguien más puede ayudar en esto. La verdad es que no soy fan de los cálculos.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Me sigo liando con el cambio de coordenadas. Estaba con las ecuaciones de maxwell, intentando demostrar a partir de la ley de coulomb, la ley de biot savart, la ley de faraday y la conservación de la carga, todas las demás ecuaciones. El problema que tenía era que generalmente las cargas no van a estar en el centro de coordenadas, entonces, cómo se comportaría el operador nabla en esféricas aplicando una traslación¿? (Igual no me he explicado demasiado bien...)
Y también una identidad que he visto que no sé demostrar, es que la divergencia de 1/r^2* \hat r = 4 pi delta_dirac (r).

Un saludo, gracias. Quizá la primera duda parece bastante obvia y sencilla, pero ahora no se me ocurre..

- - - Actualizado - - -

Me podéis corregir esto primero. En un movimiento de traslación, como tengo: $\vec r_{j}=\vec r_{i} + \vec r_{ij}$ y quiero calcular el operador nabla en esféricas, si voy derivando cada coordenada intrínseca de $\vec r_{ij}$ con respecto al vector de posición que tiene las coordenadas que evalúo, $r_{i}$ sólo es constante por tanto me va a quedar:

$$\vec \nabla=\hat r_{j}\frac{\partial }{\partial r_j}+\frac{\hat \theta_j}{ r_j}\frac{\partial }{\partial \theta_j}+\frac{ \hat \phi_j}{ r_j sin \theta_j}\frac{\partial }{\partial \phi_j}=\hat r_{ij}\frac{\partial }{\partial r_{ij}}+\frac{\hat \theta_{ij}}{ r_{ij}}\frac{\partial }{\partial \theta_{ij}}+\frac{ \hat \phi_{ij}}{ r_{ij} sin \theta_{ij}}\frac{\partial }{\partial \phi_{ij}}$$

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Me sigo liando con el cambio de coordenadas. Estaba con las ecuaciones de maxwell, intentando demostrar a partir de la ley de coulomb, la ley de biot savart, la ley de faraday y la conservación de la carga, todas las demás ecuaciones. El problema que tenía era que generalmente las cargas no van a estar en el centro de coordenadas, entonces, cómo se comportaría el operador nabla en esféricas aplicando una traslación¿? (Igual no me he explicado demasiado bien...)
Y también una identidad que he visto que no sé demostrar, es que la divergencia de 1/r^2* \hat r = 4 pi delta_dirac (r).

Un saludo, gracias. Quizá la primera duda parece bastante obvia y sencilla, pero ahora no se me ocurre..

Los cambios de coordenadas lo que hacen es cambiarte las coordenadas cartesianas por las que sean. Piensa que no son más que cambios de variable normales y corrientes. Así pues da igual donde esté la carga porque podemos saber su posición con exactitud en todas las coordenadas (en algunas será más difícil que en otras, pero se puede saber). Tienes la expresiones en la wikipedia.

Lo de cómo cambia los operadores diferenciales por translaciones es una pregunta un poco así. Tus operadores diferenciales actúan sobre funciones. Aplicarles una translación no hará cambiar sus derivadas. Pruebalo si quieres pero no vas a llegar a ningún resultado importante.

Finalmente, lo de la delta de Dirac no lo sé, no la he dado y mi nivel de electromagnetismo tampoco es que sea la gran cosa.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Es que lo otro creo que viene por esto...:

$$\nabla \cdot \frac{\hat r}{r^2}=4\pi \delta (r)$$

$$\iiint_V \nabla \cdot \frac{\hat r}{r^2} dV=\oiint_S \frac{\hat r}{r^2} \cdot d\vec S=4 \pi$$

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Biot-Savart Aquí justo al final viene escrito eso..

[Weip]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Es que lo otro creo que viene por esto...:

$$\nabla \cdot \frac{\hat r}{r^2}=4\pi \delta (r)$$

$$\iiint_V \nabla \cdot \frac{\hat r}{r^2} dV=\oiint_S \frac{\hat r}{r^2} \cdot d\vec S=4 \pi$$

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Biot-Savart Aquí justo al final viene escrito eso..

Me he mirado la definición y propiedades de la delta de Dirac y efectivamente es como indicas abajo. Curiosamente aquí el ángulo sólido es útil y por su propia integral sale el $4\pi$. Ya para acabar de rematar haces aparecer la integral de la delta de Dirac multipicando al $4\pi$ (puesto que es uno) y ya te queda la identidad.

[alexpglez]

Re: Integrales múltiples y operador nabla, cambio de variables

Vale ya entiendo, esa divergencia entonces da 0, pero como después va a integrarla, se añade la delta de dirac.. Curioso