Consulta sobre herramientas matemáticas de mecánica cuántica, (producto escalar)

[inakigarber]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de mecánica cuántica, (producto escalar)

Buenas noches;
Gracias por vuestra ayuda. Tras varios intentos, he conseguido comprobar que estas relaciones se cumplen. Intente resolverlo matemáticamente, pero me resulto muy complicado el hacerlo, por lo que opté finalmente por asignar valores complejos elegidos al azar a los escalares y a los vectores implicados y he encontrado al menos un caso en que las relaciones se cumplen. En los intentos anteriores no me salio, probablemente por haber cometido errores en las operaciones que habia que realizar (especialmente en la tercera ecuación), me gustaría encontrar una forma más formal resolverlos, pero he sido incapaz. ¿Hay algún equivalente de estas ecuaciones en la física clásica? (entendiendo que en esos casos los escalares y los componentes de cada vector serían números reales).

[Weip]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de mecánica cuántica, (producto escalar)

¿Hay algún equivalente de estas ecuaciones en la física clásica? (entendiendo que en esos casos los escalares y los componentes de cada vector serían números reales).

Bueno, la cuestión no tiene nada que ver con la física clásica o cuántica, tiene que ver con las matemáticas de los vectores. El análogo de esas relaciones del producto escalar complejo en el producto escalar real son las propiedades de simetría y de bilinealidad:

$\left< x,y\right>=\left<y,x \right>$

$\left< x, \lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2\right>=\lambda_1 \left< x, y_1\right>+\lambda_2 \left< x, y_2\right>$

$\left<\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2, y \right>=\lambda_1 \left< x_1, y\right>+\lambda_2 \left< x_2, y\right>$

Donde $x$, $y$, $x_1$ y $x_2$ son vectores reales y $\lambda_1$, $\lambda_2$ son escalares reales. De hecho estas dos propiedades junto con exigir que $\left< \cdot{}, \cdot{}\right>$ sea definida positiva es la definición de producto escalar que se utiliza en Álgebra Lineal. Dado que la Mecánica Cuántica se sustenta tanto en ella yo de ti leería un poco más acerca de estas herramientas matemáticas antes de continuar porque lo que te explicará tu libro será esto pero a lo grande, en espacios de funciones de dimensión infinita, con productos escalares que se definen mediante una integral satisfaciendo estas propiedades que estamos comentando. Así que mejor entender antes el caso de dimensión finita que siempre es más fácil.

Si se te dificulta te animo a que intentes provar estas tres propiedades en abstracto con el producto escalar euclídeo de toda la vida porque así te familearizarás con las propiedades y obtendrás agilidad de cálculo para lo que te espera de Física. Siempre puedes enseñarnos lo que llevas hecho por aquí si te atascas y te diremos exactamente cómo continuar.