Paradoja de los gemelos

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

En tu ejemplo, Pepe y Juan también están separados espacialmente en el acto J, y sin embargo tú afirmas que en ese acto hay una simultaneidad “tanto para el sistema de Pepe como para el sistema de Juan”. Según la Relatividad, la simultaneidad sólo se podría determinar desde el sistema de referencia de Juan (el gemelo que pasa por el punto J) y no desde el sistema de Pepe (puesto que Pepe se encuentra a una distancia m+d del punto J).

El suceso cuando el reloj pulsera de Pepe indica 5 Seg. en el punto P y el suceso cuando el reloj pulsera de Juan indica 3 Seg. en el punto J (Acto J) siempre son sucesos simultáneos tanto para el sistema de Pepe como para el sistema de Juan.

Definiciones:

1) En Curso de Relatividad Especial (Link)

Dos eventos son simultáneos cuando suceden en el mismo instante.

Supongamos que un observador O en un sistema de referencia inercial detecta dos sucesos ocurridos en (x1, y1, z1, t1) y (x2, y2, z2, t2) respectivamente. Para que estos sucesos sean simultáneos debe cumplirse:

t1 = t2

2) Wikipedia (Link)

Dos eventos simultáneos verifican $\Delta t=0$ si sucedieron en lugares distintos ($\Delta x \neq 0$) (*)

3) Simultáneo,a: Adj. Que se hace u ocurre al mismo tiempo que otra cosa.

Entonces:

Suceso 1: El reloj pulsera de Pepe indica 5 Seg. en el punto P.

Suceso 2: El reloj pulsera de Juan indica 3 Seg. en el punto J.

Saludos.

(*) Wikipedia cambió parte del texto, no sé si para mejor o para peor.

- - - Actualizado I - - -

Sobre lo que plantea DDD creo que lo que sigue es más didáctico que lo que puse arriba:

Es más, en todos los actos de tu ejemplo (A, B, J, C y D), Pepe y Juan están separados espacialmente (si m y d son distintos de cero), de modo que no se puede hablar de una auténtica simultaneidad en ninguno de ellos.

El suceso cuando el reloj pulsera de Pepe indica 10 Seg. en el punto P y el suceso cuando el reloj pulsera de Juan indica 6 Seg. en el punto D (Acto D) siempre son sucesos simultáneos tanto para el sistema de Pepe como para el sistema de Juan.

Si se tiene en cuenta la definición 1) de arriba, que es la que está mejor expresada.

Entonces 1:

Suceso 1: El reloj pulsera de Pepe indica 0 Seg. en el punto P (${\rm d} \neq 0$)

Suceso 2: El reloj pulsera de Juan indica 0 Seg. en el punto A (${\rm d} \neq 0$)

Entonces 2:

Suceso 1: El reloj pulsera de Pepe indica 10 Seg. en el punto P (${\rm d} \neq 0$)

Suceso 2: El reloj pulsera de Juan indica 6 Seg. en el punto D (${\rm d} \neq 0$)

Saludos.

- - - Actualizado II - - -

[FONT=Verdana]... lo más habitual es que se comparen los relojes en dos puntos en los cuales estos relojes coinciden espacialmente (o casi), cosa que tú no has hecho.
[/FONT]

En el ejemplo dado en el post#87 la variable d puede tender a cero o mejor dicho puede ser casi igual a cero (ver Ej. 3)

Saludos.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

salvo en la posición de Pepe respecto al sistema de Juan (No de Juan 1 ni de Juan 2) (de Juan) cuando el reloj propio de Juan indica 3 Seg. Antes del post #87 pensaba que esa posición era de -7.20 ahora creo que en realidad esa posición es de -12.00. Sin embargo, como tú planteas el problema, no creo que este dato salte en tus ecuaciones.

En mi versión de resolución cuando en Juan 1 y en Juan 2 marcan 3 s para Juan entonces por las transformaciones de Lorentz tienes 12 en x , 5 en t para Pepe.

Juan 1 (0,3)

$t_p=\gamma(t_1+\dfrac{x_1v_{1p}}{c^2})=1.666(3+\dfrac{0\cdot 2.4}{3^2})=5s$

$x_p=\gamma(x_1+v_{1p}t_1)=1.666(0+2.4 \cdot 3)=12$


para Juan 2 (0,3)

$x_p=\gamma(x_2-v_{2p}t_2+D)=1.666(0-2.4 \cdot 3+14.4)=12$

$t_p=\gamma(t_2-\dfrac{x_2v_{2p}}{c^2})=1.666(3-\dfrac{0\cdot 2.4}{3^2})=5s$

Ambos sistemas de referencias transforman sus medidas dando la lectura de pepe (12,5)

Lo que dice en mi mensaje es "la posición de Pepe respecto al sistema de Juan (No de Juan 1 ni de Juan 2) (de Juan) cuando el reloj propio de Juan indica 3 Seg."

O sea, esa posición desde el vamos debe ser negativa ya que Pepe en todo el experimento del post#38 está en el lado izquierdo tanto para el sistema de la Nave 1 o de Juan 1 como para el sistema de la Nave 2 o de Juan 2. Es más, hasta en el mismo mensaje de arriba figura esa posición como -7.2 ó -12.

Lo que tú me estás dando es la posición de Juan respecto al sistema de Pepe cuando el reloj pulsera de Juan indica 3 Seg. Es decir, para el sistema de Pepe este suceso (cuando el reloj de Juan indica 3 Seg.) está dado en la posición +12 y en el tiempo 5 Seg.

- - - Actualizado I - - -

Entonces volvamos a la pregunta original, según tus transformaciones del post#104 (Actualizado II) qué posición tiene Pepe ($x_p=0$) para el sistema de Juan 1 ($x_1$) y para el sistema de Juan 2 ($x_2$) cuando el reloj pulsera de Juan indica 3 Seg. ($t_1=t_2=3$) ???


Para el sistema de Juan 1 : ( te regalo un dato $t_p=1.8$ )

$t_1=1.{\hat{6}}\,(t_p-\dfrac{2.4\,x_p}{9})=1.{\hat{6}}\,(1.8-\dfrac{2.4\cdot 0}{9})=3$

$x_1=1.{\hat{6}}\,(x_p-2.4\,t_p)=1.{\hat{6}}\,(0-2.4\cdot 1.8)=-7.2$


Para el sistema de Juan 2 : ( te regalo otro dato $t_p=8.2$ )

$t_2=1.{\hat{6}}\,(t_p+\dfrac{2.4\,x_p}{9})-10.{\hat{6}}=1.{\hat{6}}\,(8.2+\dfrac{2.4\cdot 0}{9})-10.{\hat{6}}=3$

$x_2=1.{\hat{6}}\,(x_p+2.4\,t_p)-40=1.{\hat{6}}\,(0+2.4\cdot 8.2)-40=-7.2$


Por lo tanto, la posición de Pepe tanto para el sistema de Juan 1 como para el sistema de Juan 2 (utilizando tus transformaciones del post#104 - Actualizado II) es de -7.2 cuando el reloj pulsera de Juan indica 3 Seg. también tanto para el sistema de Juan 1 como para el sistema de Juan 2, tal como lo indiqué en el mismo post#38.

Pero en el post#87 (Ej. 3) obtengo que esa posición respecto al sistema de Juan (No de Juan 1 ni de Juan 2) (de Juan) tiene que ser de -12. La falla del -7.2 dónde está? En usar solamente dos sistemas inerciales auxiliares para representar al sistema de Juan en todo el recorrido del experimento del post#38.

- - - Actualizado II - - -

Por otro lado, utilizando tus transformaciones del post#104 (Actualizado II) fíjate qué indica el reloj pulsera de Pepe respecto al sistema de Juan 1 cuando Juan sale de la Nave 1 ($t_p=1.8$) y fíjate también qué indica el reloj pulsera de Pepe respecto al sistema de Juan 2 cuando Juan entra a la Nave 2 ($t_p=8.2$)

Saludos.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

En el post#18 guibix escribió: "Incluso se puede dar el caso que para un observador, el otro corre el tiempo hacia atrás, aunque eso ya es otra historia."

En referencia a lo que escribió guibix y considerando el Ej. 3 del post#87 (ya que es el más fácil de representar) se puede obtener el siguiente gráfico:



Los rectángulos A, B, C, D y E representan relojes del sistema de Pepe respecto al sistema (no inercial) de Juan. Las flechas horizontales representan el sentido de la velocidad sobre el eje x de los relojes del sistema de Pepe respecto al sistema de Juan. La secuencia cronológica del sistema de Juan va de arriba hacia abajo

Cuando el reloj origen del sistema de Juan indica (aprox.) 3 Seg. el reloj C del sistema de Pepe, por ejemplo, ubicado en el punto 0 (respecto del sistema de Juan) indica (aprox.) 5 Seg. Es el reloj del sistema de Pepe que está representado en color rojo y es el reloj del sistema de Pepe que no se adelanta ni retrocede (aprox.) respecto al sistema de Juan.

En cambio los relojes que están en el lado izquierdo son los relojes del sistema de Pepe que se adelantan respecto al sistema de Juan. Cuando más alejado esté el reloj del sistema de Pepe respecto al origen del sistema de Juan más evidente es este adelantamiento.

Sin embargo, los relojes que están en el lado derecho son los relojes del sistema de Pepe que retroceden respecto al sistema de Juan. Cuando más alejado esté el reloj del sistema de Pepe respecto al origen del sistema de Juan más evidente es este retroceso.

Saludos

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

En el post#87 se escribió: "... resolver satisfactoriamente la paradoja de los gemelos consiste fundamentalmente en explicar correctamente por qué el reloj pulsera de Pepe se adelanta siempre respecto al sistema de Juan cuando el sistema de Juan es un sistema no inercial."

En este post se tratará de resolver "satisfactoriamente" la paradoja de los gemelos del ejemplo presentado en el post#87. A tal fin, el ejemplo del post#87 se dividirá en 3 intervalos:

Intervalo 1: Entre el punto A y el punto B (aquí el sistema de Pepe es siempre un sistema inercial y el sistema de Juan es siempre un sistema inercial)

Intervalo 2: Entre el punto B y el punto C (aquí el sistema de Pepe es siempre un sistema inercial y el sistema de Juan es siempre un sistema no inercial)

Intervalo 3: Entre el punto C y el punto D (aquí el sistema de Pepe es siempre un sistema inercial y el sistema de Juan es siempre un sistema inercial)

El relato del sistema de Pepe sobre el reloj pulsera de Juan:

Intervalo 1: Dilatación del tiempo por velocidad: $\Delta \, t_{\rm 1 \cdot j} = \Delta \, t_{\rm 1 \cdot p} \; \gamma^{-1}$

Intervalo 2: Dilatación del tiempo por velocidad: $\Delta \, t_{\rm 2 \cdot j} = \Delta \, t_{\rm 2 \cdot p} \; \gamma^{-1}$

Intervalo 3: Dilatación del tiempo por velocidad: $\Delta \, t_{\rm 3 \cdot j} = \Delta \, t_{\rm 3 \cdot p} \; \gamma^{-1}$

El relato del sistema de Juan sobre el reloj pulsera de Pepe:

Intervalo 1: Dilatación del tiempo por velocidad: $\Delta \, t_{\rm 1 \cdot p} = \Delta \, t_{\rm 1 \cdot j} \; \gamma^{-1}$

Intervalo 2: Dilatación del tiempo por velocidad: $\Delta \, t_{\rm 2 \cdot p} = \Delta \, t_{\rm 2 \cdot j} \; \gamma^{-1}$

Intervalo 2: Dilatación del tiempo por gravedad: $\Delta \, t_{\rm 2 \cdot p} = \Delta \, t_{\rm 2 \cdot j} \; \gamma \; \frac{24}{{\pi}} \, \frac{v^2}{{\rm d}} \, c^{-2}$

Intervalo 3: Dilatación del tiempo por velocidad: $\Delta \, t_{\rm 3 \cdot p} = \Delta \, t_{\rm 3 \cdot j} \; \gamma^{-1}$

Para obtener el relato final del sistema de Pepe sobre el reloj pulsera de Juan hay que sumar las 3 primeras ecuaciones de arriba.

Para obtener el relato final del sistema de Juan sobre el reloj pulsera de Pepe hay que sumar las 4 últimas ecuaciones de arriba.

En mi próximo post o alguno posterior trataré de dar un último ejemplo, lo más didáctico y sencillo posible, para resolver y/o entender la paradoja de los gemelos utilizando también la dilatación del tiempo por gravedad.

Considero que tratar de eliminar la dilatación del tiempo por gravedad (que para mí sería engañoso) en cualquier ejemplo sobre la paradoja de los gemelos es como tratar de eliminar la parte más jugosa y fundamental del experimento.

Saludos

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Afirmación

Si un reloj A de un sistema inercial A y un reloj B de un sistema no inercial B coinciden en un mismo punto espacial en un tiempo inicial y luego en otro tiempo final coinciden también en un mismo punto espacial y si además el módulo de la velocidad $( v )$ del reloj B es siempre constante respecto al sistema inercial A (es decir, en todo el recorrido el reloj B respecto al sistema inercial A puede tener velocidad lineal constante o aceleración normal constante pero nunca puede tener aceleración tangencial) entonces la dilatación total del tiempo por gravedad $( \Delta \, t_{\rm A \cdot g} )$ del reloj A respecto al reloj B $( \Delta \, t_{\rm B} )$ para el sistema no inercial B está siempre dada por la siguiente ecuación:

$\Delta \, t_{\rm A \cdot g} = \Delta \, t_{\rm B} \; \gamma \; v^{2} \, c^{-2}$

donde $\gamma$ es el factor gamma según velocidad $v$ y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío (la velocidad del reloj B respecto al sistema inercial A es igual a la velocidad del reloj A respecto al sistema no inercial B)

Demostración

Si la distancia total recorrida del reloj B respecto al sistema inercial A es ${\rm D}$ entonces la variación del tiempo del reloj A respecto al sistema inercial A es:

$\Delta \, t_{\rm A} = {\rm D} \; v^{-1}$

Por lo tanto, la variación del reloj B respecto al sistema inercial A por dilatación total del tiempo por velocidad es:

$\Delta \, t_{\rm B} = \Delta \, t_{\rm A} \; \gamma^{-1} = {\rm D} \; v^{-1} \: \gamma^{-1}$

Por lo tanto, la variación del reloj A respecto al sistema no inercial B por dilatación total del tiempo por velocidad es:

$\Delta \, t_{\rm A \cdot v} = \Delta \, t_{\rm B} \; \gamma^{-1} = {\rm D} \; v^{-1} \: \gamma^{-2}$

Y según este post la variación del reloj A respecto al sistema no inercial B por dilatación total del tiempo por gravedad es:

$\Delta \, t_{\rm A \cdot g} = \Delta \, t_{\rm B} \; \gamma \; v^{2} \, c^{-2}$

Ahora, si lo que afirma este post es correcto entonces la siguiente ecuación para el sistema no inercial B tendría que ser siempre verdadera:

$\Delta \, t_{\rm A} = \Delta \, t_{\rm A \cdot v} + \Delta \, t_{\rm A \cdot g}$

Finalmente verificando la ecuación anterior, se obtiene:

$\Delta \, t_{\rm A} = \Delta \, t_{\rm B} \; \gamma^{-1} + \Delta \, t_{\rm B} \; \gamma \; v^{2} \, c^{-2}$

$\Delta \, t_{\rm A} = {\rm D} \; v^{-1} \: \gamma^{-1} \: \gamma^{-1} + {\rm D} \; v^{-1} \: \gamma^{-1} \, \gamma \; v^{2} \, c^{-2}$

$\Delta \, t_{\rm A} = {\rm D} \; v^{-1} \: ( \; \gamma^{-2} + \, v^{2} \, c^{-2} \; )$

$\Delta \, t_{\rm A} = {\rm D} \; v^{-1}$

Bueno, ahora sí en mi próximo post o alguno posterior trataré de dar un último ejemplo, lo más didáctico y sencillo posible, para resolver y/o entender la paradoja de los gemelos utilizando también la dilatación del tiempo por gravedad.

Saludos.

P/D: El sistema B en realidad puede ser en algunos tramos del recorrido total del reloj B un sistema inercial o un sistema no inercial, pero nunca puede ser en todo el recorrido del reloj B siempre un sistema inercial.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Paradoja de los trillizos

Si al ejemplo del post#110 se le agrega un nuevo reloj C de un nuevo sistema no inercial C (el reloj C cumple con las mismas características que el reloj B respecto al sistema inercial A) entonces:

1) La dilatación total del tiempo por gravedad $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle CB \cdot g} )$ del reloj C respecto al reloj B $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B} )$ para el sistema no inercial B está siempre dada por la siguiente ecuación:

$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle CB \cdot g}^{\vphantom{-1}} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B}^{\vphantom{-1}} \; ( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle BA}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle CA}^{-1} - \gamma_{\rm \scriptscriptstyle CB}^{-1} \; )$

donde $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle BA}$ es el factor gamma según velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle BA}$, $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle CA}$ es el factor gamma según velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle CA}$ y $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle CB}$ es el factor gamma según velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle CB}$.

2) La dilatación total del tiempo por gravedad $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle BC \cdot g} )$ del reloj B respecto al reloj C $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle C} )$ para el sistema no inercial C está siempre dada por la siguiente ecuación:

$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle BC \cdot g}^{\vphantom{-1}} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle C}^{\vphantom{-1}} \; ( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle CA}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle BA}^{-1} - \gamma_{\rm \scriptscriptstyle BC}^{-1} \; )$

donde $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle CA}$ es el factor gamma según velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle CA}$, $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle BA}$ es el factor gamma según velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle BA}$ y $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle BC}$ es el factor gamma según velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle BC}$.

La velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle BA}$ del reloj B respecto al sistema inercial A es igual a la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle AB}$ del reloj A respecto al sistema no inercial B.

La velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle CA}$ del reloj C respecto al sistema inercial A es igual a la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle AC}$ del reloj A respecto al sistema no inercial C.

La velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle BC}$ del reloj B respecto al sistema no inercial C es igual a la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle CB}$ del reloj C respecto al sistema no inercial B.

El sistema no inercial C conociendo la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle AC}$ del reloj A y la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle BC}$ del reloj B puede obtener la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle BA}$ del reloj B respecto al sistema inercial A aplicando la adición de velocidades de la teoría de relatividad especial.

El sistema no inercial B conociendo la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle AB}$ del reloj A y la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle CB}$ del reloj C puede obtener la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle CA}$ del reloj C respecto al sistema inercial A aplicando la adición de velocidades de la teoría de relatividad especial.

Por un lado, es fácil demostrar que siempre: $( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle BA}^{\vphantom{-1}} = \gamma_{\rm \scriptscriptstyle BA}^{\vphantom{-1}} \; v_{\rm \scriptscriptstyle BA}^{2} \; c^{-2} + \gamma_{\rm \scriptscriptstyle BA}^{-1} \; )$ & $( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle CA}^{\vphantom{-1}} = \gamma_{\rm \scriptscriptstyle CA}^{\vphantom{-1}} \; v_{\rm \scriptscriptstyle CA}^{2} \; c^{-2} + \gamma_{\rm \scriptscriptstyle CA}^{-1} \; )$

Pero, por otro lado, habría que demostrar que siempre: $( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle BA}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle CA}^{-1} - \gamma_{\rm \scriptscriptstyle CB}^{-1} \; ) > 0 < ( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle CA}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle BA}^{-1} - \gamma_{\rm \scriptscriptstyle BC}^{-1} \; )$

Saludos.

P/D: El sistema C en realidad puede ser en algunos tramos del recorrido total del reloj C un sistema inercial o un sistema no inercial, pero nunca puede ser en todo el recorrido del reloj C siempre un sistema inercial.

Generalización

Si un reloj A de un sistema inercial A y un conjunto de relojes de un conjunto de sistemas no inerciales (no rotantes respecto al sistema inercial A) coinciden en un mismo punto espacial en un tiempo inicial y luego en otro tiempo final coinciden también en un mismo punto espacial y si además el módulo de cada reloj de cualquier sistema no inercial es siempre constante respecto al sistema inercial A (es decir, en todo el recorrido cada reloj de cualquier sistema no inercial respecto al sistema inercial A puede tener velocidad lineal constante o aceleración normal constante pero nunca puede tener aceleración tangencial) entonces:

1) La dilatación total del tiempo por velocidad $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XB \cdot v} )$ de cualquier reloj X respecto a un reloj B $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B} )$ para el sistema no inercial B está siempre dada por la siguiente ecuación:

$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XB \cdot v}^{\vphantom{-1}} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}^{-1}$

donde $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ del reloj X respecto al sistema no inercial B.

2) La dilatación total del tiempo por gravedad $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XB \cdot g} )$ del reloj X respecto al reloj B $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B} )$ para el sistema no inercial B está siempre dada por la siguiente ecuación:

$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XB \cdot g}^{\vphantom{-1}} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B}^{\vphantom{-1}} \; ( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XA}^{-1} - \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}^{-1} \; )$

donde $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle AB}$ del reloj A respecto al sistema no inercial B, $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ del reloj X respecto al sistema inercial A y $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ del reloj X respecto al sistema no inercial B.

El sistema no inercial B conociendo la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle AB}$ del reloj A y la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ del reloj X puede obtener la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ del reloj X respecto al sistema inercial A aplicando la adición de velocidades de la teoría de relatividad especial.

Saludos.

P/D: Cualquier sistema menos el sistema A puede ser en algunos tramos del recorrido total un sistema inercial o un sistema no inercial, pero nunca puede ser en todo el recorrido siempre un sistema inercial.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Finalmente, el ejemplo más didáctico y sencillo que creo se puede dar para examinar la paradoja de los gemelos es el siguiente:



En este ejemplo hay dos observadores: Pepe (que siempre es un observador inercial) y Juan (que siempre es un observador no inercial)

El reloj pulsera de Juan respecto al sistema inercial de Pepe recorre una distancia D (circunferencia según radio r) con módulo de velocidad constante $v$.

El módulo de velocidad del reloj pulsera de Pepe respecto al sistema no inercial de Juan es también constante e igual a $v$.

Por lo tanto, según los datos de arriba, los relatos de Pepe y de Juan serán los siguientes:

El relato del sistema inercial de Pepe sobre el reloj pulsera de Juan:

1) Dilatación del tiempo por velocidad: $\Delta \, t_{\rm j \cdot v} = \Delta \, t_{\rm p} \; \gamma^{-1}$

El relato del sistema no inercial de Juan sobre el reloj pulsera de Pepe:

1) Dilatación del tiempo por velocidad: $\Delta \, t_{\rm p \cdot v} = \Delta \, t_{\rm j} \; \gamma^{-1}$

2) Dilatación del tiempo por gravedad: $\Delta \, t_{\rm p \cdot g} = \Delta \, t_{\rm j} \; \gamma \; \frac{{\rm D}}{{2 \; \pi}} \, \frac{v^2}{{\rm r}} \, c^{-2}$

donde $\gamma$ es el factor gamma según velocidad $v$ y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío.

Por otro lado, este ejemplo podría también ser muy útil para examinar la geometría espacial desde el sistema no inercial de Juan.

Saludos.

P/D (1)

En la dilatación del tiempo por velocidad los relojes que se mueven respecto a un sistema de referencia (inercial o no inercial) marcan el tiempo más lentamente.

La dilatación del tiempo por velocidad sí es recíproca: dos relojes que se mueven uno con respecto al otro será el reloj de la otra parte aquél en el que el tiempo se dilate.

P/D (2)

En la dilatación del tiempo por gravedad los relojes que están sometidos a un campo gravitatorio mayor marcan el tiempo más lentamente.

La dilatación del tiempo por gravedad no es recíproca: un observador en lo alto de una torre observará que los relojes del suelo marcan el tiempo más lentamente y los observadores del suelo estarán de acuerdo.

La dilatación del tiempo por gravedad se debe considerar de manera adicional al estudio de la dilatación del tiempo por velocidad y si los observadores están sometidos a un campo gravitatorio.

Los observadores no inerciales o los sistemas de referencia no inerciales están siempre sometidos a un campo gravitatorio en un sentido generalizado.

[Buscon]

Re: Paradoja de los gemelos

Mi paradoja.


No debe ser difícil para la NASA enviar un botella gigante de helio comprimido. Digo helio porque pesa poco y no hace falta mucha energía para ponerla en una orbita a tomar por saco de la tierra.

Soltando el helio por toberas dirigidas tampoco me parece complicado acelerar la botella gigante de helio.

Cuanto más aceleración más corto el radio de orbita si no queremos que se salga por la tangente.

Cuestión de calcular. Se trata de conseguir máxima velocidad relativa rotación tierra/rotación botella gigante.

Con un simple transmisor de radio en la botella gigante de helio tendremos una emisora de radio del pasado. ¿O del futuro?

Saludos.

EDITADO.

La pregunta del millón. ¿Por qué se dilata el tiempo con la aceleración?

Casi mejor una vela solar ¿no?

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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El inicio (introducción) de la sección Generalización del post#111 no es del todo correcto. Por lo tanto, a continuación la corrección y la ampliación de dicha sección.

Generalización

Si un reloj A de un sistema inercial A y un conjunto de relojes de un conjunto de sistemas no inerciales (no rotantes respecto al sistema inercial A) indican simultáneamente para todos estos sistemas de referencia un tiempo inicial y luego indican también simultáneamente para todos estos sistemas de referencia un tiempo final y si además el módulo de cada uno de todos estos relojes es siempre constante respecto a todos estos sistemas de referencia (es decir, en todo el recorrido cada uno de todos estos relojes respecto a todos estos sistemas de referencia puede tener velocidad lineal constante o aceleración normal constante pero nunca puede tener aceleración tangencial) entonces:

A.1) La dilatación total del tiempo por velocidad $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XA \cdot v} )$ de cualquier reloj X respecto al reloj A $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle A} )$ para el sistema inercial A está siempre dada por la siguiente ecuación:

$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XA \cdot v}^{\vphantom{-1}} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle A}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XA}^{-1}$

donde $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ del reloj X respecto al sistema inercial A.

B.1) La dilatación total del tiempo por velocidad $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XB \cdot v} )$ de cualquier reloj X respecto a un reloj B $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B} )$ para un sistema no inercial B está siempre dada por la siguiente ecuación:

$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XB \cdot v}^{\vphantom{-1}} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}^{-1}$

donde $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ del reloj X respecto al sistema no inercial B.

B.2) La dilatación total del tiempo por gravedad $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XB \cdot g} )$ del reloj X respecto al reloj B $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B} )$ para el sistema no inercial B está siempre dada por la siguiente ecuación:

$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XB \cdot g}^{\vphantom{-1}} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B}^{\vphantom{-1}} \; ( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XA}^{-1} - \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}^{-1} \; )$

donde $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle AB}$ del reloj A respecto al sistema no inercial B, $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ del reloj X respecto al sistema inercial A y $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ del reloj X respecto al sistema no inercial B.

El sistema no inercial B conociendo la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle AB}$ del reloj A y la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ del reloj X puede obtener la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ del reloj X respecto al sistema inercial A aplicando la adición de velocidades de la teoría de relatividad especial.

Por un lado, es fácil demostrar que siempre: $( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{\vphantom{-1}} = \gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{\vphantom{-1}} \; v_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{2} \; c^{-2} + \gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{-1} \; )$

Pero, por otro lado, habría que demostrar que siempre: $( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XA}^{-1} - \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}^{-1} \; ) > 0$

Saludos.

P/D: Cualquier sistema menos el sistema A puede ser en algunos tramos del recorrido total un sistema inercial o un sistema no inercial, pero nunca puede ser en todo el recorrido siempre un sistema inercial.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Este post presenta otra solución para resolver la paradoja de los gemelos. En esta solución el gemelo no inercial puede resolver la paradoja de los gemelos sin necesidad de recurrir a la dilatación del tiempo por gravedad tal como se indicó en algunos posts anteriores.

Consideremos 3 observadores, un observador externo inercial I, un observador gemelo inercial A y un observador gemelo no inercial B, tal como se muestra en la siguiente figura:





Desde el observador externo inercial I el gemelo inercial A realiza un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) con módulo de velocidad constante $v_{\rm \scriptscriptstyle AI}$ y el gemelo no inercial B realiza un movimiento circular uniforme (M.C.U.) con módulo de velocidad constante $v_{\rm \scriptscriptstyle BI}$

Por lo tanto, desde el primer punto de encuentro entre los gemelos A y B hasta el segundo punto de encuentro entre los gemelos A y B, la dilatación del tiempo ( $\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle A}$ ) del gemelo inercial A respecto al observador externo inercial I ( $\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle I}$ ) y la dilatación del tiempo ( $\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B}$ ) del gemelo no inercial B respecto al observador externo inercial I ( $\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle I}$ ) están dadas por:


$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle A} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle I} \; {\sqrt{1-{v_{\rm \scriptscriptstyle AI}^2} / {c^2}}}$

$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle I} \; {\sqrt{1-{v_{\rm \scriptscriptstyle BI}^2} / {c^2}}}$


Despejando en ambas ecuaciones $\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle I}$ igualando las ecuaciones obtenidas, reordenando y puesto que el cuadrado del módulo de la velocidad [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es igual al cuadrado del módulo de la velocidad [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (del observador externo inercial I respecto al gemelo inercial A) y el cuadrado del módulo de la velocidad [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es igual al cuadrado del módulo de la velocidad [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (del observador externo inercial I respecto al gemelo no inercial B) entonces resulta:


$\dfrac{\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle A}}{\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B}} = \dfrac{{\sqrt{1-{v_{\rm \scriptscriptstyle IA}^2} / {c^2}}}}{{\sqrt{1-{v_{\rm \scriptscriptstyle IB}^2} / {c^2}}}}$


Por lo tanto, el gemelo cuyo reloj más se atrase será aquel que observe al observador externo inercial I con mayor velocidad.

Es fácil ver desde el observador externo inercial I que el gemelo cuyo reloj más se atrase será aquel que recorra una trayectoria mayor, o sea, el gemelo no inercial, puesto que entre los puntos de encuentro de los gemelos A y B el gemelo inercial A recorre una recta mientras que el gemelo no inercial B recorre una curva.

Saludos.

[Alriga]

Re: Paradoja de los gemelos

... Es fácil ver desde el observador externo inercial I que el gemelo cuyo reloj más se atrase será aquel que recorra una trayectoria mayor, o sea, el gemelo no inercial, puesto que entre los puntos de encuentro de los gemelos A y B el gemelo inercial A recorre una recta mientras que el gemelo no inercial B recorre una curva ...

Dice el sabio refranero español que nunca es tarde si la dicha es buena

Para resolver cualquier caso que se nos ocurra, hay una forma general ... tiene que haber dos puntos en el espacio-tiempo conectados causalmente por donde pasan las líneas de universo de ambos observadores: uno es el punto y momento del que salen con sus relojes marcando el mismo tiempo; el otro es el punto y momento de re-encuentro en el que se comparan relojes.
Si tenemos estas condiciones, entonces podemos usar cualquier sistema de referencia inercial (un tercer observador) para describir las trayectorias de los dos gemelos ...

... Simplemente, dibuja las trayectorias que quieras entre los dos puntos de antes (sin superar la velocidad de la luz, claro) y la curva que en el gráfico sea más larga (distancia euclidiana más larga), es la que recorre menor tiempo propio (distancia temporal más corta) ...

... Parece claro que la "paradoja" de los gemelos se explica bien sin necesidad de usar avanzados argumentos de Relatividad General ... Jorge Díaz en "Conexión Causal": ... se puede leer lo mismo que afirma guibix, “el tiempo medido es menor en la línea de espaciotiempo más larga” ...

Saludos.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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En el post#112 se explica la paradoja de los gemelos utilizando argumentos de relatividad general y no veo que sea algo avanzado, hasta las ecuaciones son muy sencillas. Este es el modo correcto de explicar la paradoja de los gemelos, a través de la relatividad general ( es la explicación que dio su creador ... Einstein )

Intentar explicar la paradoja de los gemelos por medio de otros métodos es sólo intentar tomar atajos cuando no se puede lo anterior ...

Lo que escribió guibix se me pasó de alto realmente, es como que yo repito lo que él escribió. Sin embargo, yo trato de resolver la paradoja de los gemelos desde la visión de los gemelos, principalmente desde la visión del gemelo no inercial y no desde la visión de un observador externo inercial; por eso la afirmación:

"Por lo tanto, el gemelo cuyo reloj más se atrase será aquel que observe al observador externo inercial I con mayor velocidad."

Además habría que aclarar que siempre se está hablando de sistemas de referencia que no rotan respecto a cualquier sistema de referencia inercial, porque si no es así entonces la cosa cambia.

El punto, para que se entienda, no es cómo resuelve la paradoja de los gemelos cualquier sistema inercial, el punto es cómo resuelve (cómo explica) la paradoja de los gemelos el gemelo no inercial.

Saludos.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Generalizando la solución alternativa dada en el post#115 sobre la paradoja de los gemelos en la cual ahora el o los sistemas de referencia no inerciales involucrados pueden resolver la paradoja de los gemelos, trillizos, etc. sin necesidad de recurrir a la dilatación del tiempo por gravedad.

Consideremos un sistema de referencia inercial A y un conjunto de sistemas de referencia no inerciales (B, C, D, etc.) que coinciden todos simultáneamente en un punto de encuentro inicial y que luego nuevamente coinciden todos simultáneamente en un punto de encuentro final.

Si una partícula I libre de fuerzas externas realiza un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) respecto al sistema de referencia inercial A y si esta partícula I realiza también un movimiento circular uniforme (M.C.U.) respecto a los sistemas de referencia no inerciales (B, C, D, etc.) entonces la relación entre la variación del tiempo $\Delta \, t_{\alpha}$ de un sistema de referencia $\alpha$ (A, B, C, D, etc.) y la variación del tiempo $\Delta \, t_{\kappa}$ de un sistema de referencia $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) estaría dada por:


$\dfrac{\Delta \, t_{\alpha}}{\Delta \, t_{\kappa}} = {\sqrt{\dfrac{c^2-{v_{{\rm \scriptscriptstyle I}\alpha}^2}}{c^2-{v_{{\rm \scriptscriptstyle I}\kappa}^2}}}}$


donde $v_{{\rm \scriptscriptstyle I}\alpha}$ es la velocidad de la partícula I respecto al sistema de referencia $\alpha$ (A, B, C, D, etc.) $v_{{\rm \scriptscriptstyle I}\kappa}$ es la velocidad de la partícula I respecto al sistema de referencia $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío.

Por lo tanto, el sistema de referencia (A, B, C, D, etc.) cuyo reloj más se atrase será aquel que observe a la partícula I con mayor velocidad entre los puntos de encuentro inicial y final.

Saludos.

P/D 1: Posible representación gráfica de algunos de estos sistemas de referencia (A, B, C, y D) visto desde el sistema de referencia inercial I fijo en la partícula I.





P/D 2: Los sistemas de referencia no inerciales involucrados (B, C, D, etc.) deben ser no rotantes respecto al sistema de referencia inercial A puesto que si no es así entonces la ecuación de arriba dejaría de ser válida para estos sistemas de referencia.

P/D 3: El módulo de la velocidad del sistema de referencia $\alpha$ (A, B, C, D, etc.) respecto al sistema de referencia $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) es igual al módulo de la velocidad del sistema de referencia $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) respecto al sistema de referencia $\alpha$ (A, B, C, D, etc.)

P/D 4: El módulo de la velocidad del sistema de referencia $\alpha$ ó $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) respecto al sistema de referencia inercial I es igual al módulo de la velocidad de la partícula I respecto al sistema de referencia $\alpha$ ó $\kappa$ (A, B, C, D, etc.)

P/D 5: El módulo de la velocidad de la partícula I respecto al sistema de referencia $\alpha$ ó $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) es constante.

P/D 6: La partícula I debe estar libre de fuerzas externas o las fuerzas externas que actúan sobre ésta deben estar equilibradas (al menos entre los puntos de encuentro inicial y final)

Saludos.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Sería conveniente cambiar en el post#118 lo siguiente:

Si una partícula I libre de fuerzas externas realiza un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) respecto al sistema de referencia inercial A y si esta partícula I realiza también un movimiento circular uniforme (M.C.U.) respecto a los sistemas de referencia no inerciales (B, C, D, etc.) entonces la relación entre la variación del tiempo $\Delta \, t_{\alpha}$ de un sistema de referencia $\alpha$ (A, B, C, D, etc.) y la variación del tiempo $\Delta \, t_{\kappa}$ de un sistema de referencia $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) estaría dada por:

por lo siguiente:

Si el sistema de referencia inercial A realiza un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) respecto a un sistema de referencia inercial I (cuyo origen está fijo en una partícula I libre de fuerzas externas) y si cada uno de los sistemas de referencia no inerciales (B, C, D, etc.) realiza un movimiento circular uniforme (M.C.U.) respecto al sistema de referencia inercial I entonces la relación entre la variación del tiempo $\Delta \, t_{\alpha}$ de un sistema de referencia $\alpha$ (A, B, C, D, etc.) y la variación del tiempo $\Delta \, t_{\kappa}$ de un sistema de referencia $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) estaría dada por:

Saludos.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Resolver la paradoja de los gemelos consiste principalmente en obtener un relato del gemelo inercial y un relato del gemelo no inercial.

Entre el relato del gemelo inercial y el relato del gemelo no inercial no puede haber ninguna contradicción teórica.

El relato del gemelo inercial es el más fácil de obtener ya que éste solamente debe aplicar la dilatación del tiempo por velocidad sobre el gemelo no inercial, tal como indica la teoría de relatividad especial.

El relato del gemelo no inercial es el más difícil de obtener ya que éste no sólo debe aplicar la dilatación del tiempo por velocidad sobre el gemelo inercial sino que también debe aplicar la dilatación del tiempo por gravedad sobre el gemelo inercial, tal como indica la teoría de relatividad general.

Si consideramos solamente al gemelo inercial y al gemelo no inercial entonces no es posible obtener un relato del gemelo no inercial sin tener en cuenta la dilatación del tiempo por gravedad, puesto que no es posible explicar una asimetría (lo que marcan los relojes de ambos gemelos al finalizar el experimento) con una simetría (la velocidad relativa entre ambos gemelos)

Sin embargo, si consideramos también a una partícula I (libre de fuerzas externas) entonces sí es posible obtener un relato del gemelo no inercial sin tener en cuenta la dilatación del tiempo por gravedad.

La velocidad de la partícula I respecto al gemelo inercial es siempre distinta a la velocidad de la partícula I respecto al gemelo no inercial.

Por lo tanto, existe otra asimetría (la velocidad de la partícula I) que también puede ser utilizada para obtener un relato del gemelo inercial y un relato del gemelo no inercial.

Como conclusión final, una asimetría solamente puede ser explicada con otra asimetría.

Saludos.