Avanzado ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

[sater]

En un hilo iniciado por Pola sobre la TGR y la atracción gravitatoria (muchas gracias a todos los que habéis intervenido)-espero que dure mucho- FVPI interviene haciendo referencia a un video en el que "afirman" que esta exactamente relacionado el spin 2 del gravitón con el inverso de la distancia al cuadrado en la formula de Newtón. A nivel divulgativo podríais explicarme ¿Como funciona esta relación?

Tal como comenta Alriga, el orden es el inverso.

Sabemos que la gravedad cae con el cuadrado de la distancia desde Newton, pero la teoría de Newton falla en ciertos casos. Einstein la amplía, y ahora tenemos curvatura del espacio tiempo que para masas pequeñas,y velocidades pequeñas se reduce a la teoría de Newton, luego la engloba. En teoría cuántica de campos entendemos que las partículas surgen de cuantizar campos asociados. Queremos pues que la partícula asociada al campo gravitatorio tenga la propiedad de que la energía sea negativa (fuerzas atractivas) y caiga con la inversa de la distancia; así la fuerza iría con el cuadrado de la distancia. Para el campo electromagnético la magnitud asociada es el potencial cuadrivector $A_\mu$, que es un tensor de rango 1, lo que traducido a espin equivale a espin uno (esto en teoría cuántica de campos implica que en electromagnetismo las cargas iguales se repelen, opuestas se atraen). Para la gravedad, el campo de interés es el gravitatorio (la métrica) $g_{\mu\nu}$, el cual es un tensor de rango 2, lo que traducido a espin equivale a espin dos, y para la energía que es negativa, luego fuerza atractiva.

Entonces la pregunta podría trasladarse a "¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?"

[Alriga]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

... Sabemos que la gravedad cae con el cuadrado de la distancia desde Newton, pero la teoría de Newton falla en ciertos casos. Einstein la amplía, y ahora tenemos curvatura del espacio tiempo que para masas pequeñas,y velocidades pequeñas se reduce a la teoría de Newton, luego la engloba. En teoría cuántica de campos entendemos que las partículas surgen de cuantizar campos asociados. Queremos pues que la partícula asociada al campo gravitatorio tenga la propiedad de que la energía sea negativa (fuerzas atractivas) y caiga con la inversa de la distancia; así la fuerza iría con el cuadrado de la distancia. Para el campo electromagnético la magnitud asociada es el potencial cuadrivector $A_\mu$, que es un tensor de rango 1, lo que traducido a espín equivale a espín uno (esto en teoría cuántica de campos implica que en electromagnetismo las cargas iguales se repelen, opuestas se atraen). Para la gravedad, el campo de interés es el gravitatorio (la métrica) $g_{\mu\nu}$, el cual es un tensor de rango 2, lo que traducido a espin equivale a espin dos, y para la energía que es negativa, luego fuerza atractiva...

Gracias sater, entiendo que lo que explicas coincide con:

... Por analogía con las otras fuerzas, parece que si el gravitón existe, alguna de sus propiedades serían que debe ser un bosón sin masa (puesto que la gravedad se propaga a la velocidad de la luz) de espín 2, porque la fuente de gravitación es el tensor energía-impulso, un tensor de segundo orden, (comparado con el fotón de espín 1 del electromagnetismo, cuya fuente es el tensor de cuadricorriente, un tensor de primer orden). Además, tengo entendido que se puede demostrar que cualquier campo de espín 2 sin masa daría lugar a una fuerza indistinguible de la gravitación, porque un campo de espín 2 sin masa se acoplaría al tensor energía-impulso de la misma manera que lo hacen las interacciones gravitacionales. Este resultado sugiere que, si se descubriese una partícula de spin 2 sin masa, debe ser necesariamente el gravitón.

El libro “Gravitation” de K.S. Thorne, J.A. Wheeler y C.W. Misner redunda en ello, dice: “… observe que, en cualquier momento del tiempo, una onda gravitacional es invariable bajo una rotación de 180° alrededor de su dirección de propagación. El ángulo análogo para las ondas electromagnéticas ... es de 360°, y para las ondas de neutrinos es de 720°. Este comportamiento está íntimamente relacionado con el espín de las partículas de masa cero asociadas con las versiones cuánticas-mecánicas de estas ondas: los gravitones tienen espín 2, los fotones espín 1, y los neutrinos espín 1/2 ...”

Ahora dices:

... Entonces la pregunta podría trasladarse a "¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?"

¿Y como se responde a esa pregunta?

Saludos.

[carroza]

Re: Relación entre el spin 2 del graviton y el inverso de la distancia al cuadrado en formula de Newton

Entonces la pregunta podría trasladarse a "¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?"

Hola. Yo sugeriría, a partir del mensaje #4 de este hilo, crear un nuevo hilo cuyo titulo fuera precisamente ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?, y de nivel avanzado. Queda claro desde el mensaje #2 de Alriga que el inverso del cuadrado de la distancia no tiene nada que ver con el hipotético espin dos del graviton.

Respondiendo a esta pregunta: Si comparamos con la interacción electromagnética, descrita por un campo $A_\mu$, la densidad lagrangiana, para ser un escalar, debe ser el producto del campo $A_\mu$ por una propiedad específica de la particula sobre el que actua este campo, que es la corriente $j^\mu$. Así, en la interaccion electromagnética, el movimiento de los objetos depende del campo electromagnético $A_\mu$, y de unas propiedades específicas del objeto, dada por $j^\mu$. De forma más simple, cosas con distinta carga se mueven de forma distinta en un campo electromagnético.

En un campo gravitatorio, todas las cosas se mueven igual. A la hora de caracterizar la interacción, no puedo escribir en el lagrangiano un término que depende del campo, y un término que depende de las propiedades específicas del objeto que se mueve. La unica forma, entiendo, de caracterizar un campo en el que todas las cosas contenidas en el se mueven igual es acudir a una densidad lagrangiana que depende por un lado de una propiedad global del campo gravitatorio, que es el tensor métrico $g_{\mu \nu}$ y de una propiedad global de cualquier objeto que se mieva en el campo, que es el tensor energía momento $T^{\mu \nu}$. Entiendo que esto va en el sentido de las ecuaciones de einstein https://en.wikipedia.org/wiki/Einste...Hilbert_action.

Agradecería correcciones de expertos en gravitación.

Un saludo

[Alriga]

Re: Avanzado ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

... De forma más simple, cosas con distinta carga se mueven de forma distinta en un campo electromagnético ... En un campo gravitatorio, todas las cosas se mueven igual. A la hora de caracterizar la interacción, no puedo escribir en el lagrangiano un término que depende del campo, y un término que depende de las propiedades específicas del objeto que se mueve. La unica forma, entiendo, de caracterizar un campo en el que todas las cosas contenidas en el se mueven igual es acudir a una densidad lagrangiana que depende por un lado de una propiedad global del campo gravitatorio, ...

Mi nivel no me permite seguir con detalle el formalismo matemático de la Relatividad General, pero me "huelo" que el "Apéndice A" del enlace que nos pasó el otro día sater titulado "¿Gravedad maxwelliana?" te puede resultar interesante en este tema, (si no es así, perdón): La Relatividad General y el problema de la acción a distancia newtoniana (Bert Janssen)

Saludos.

[pod]

Re: Relación entre el spin 2 del graviton y el inverso de la distancia al cuadrado en formula de Newton

En un campo gravitatorio, todas las cosas se mueven igual. A la hora de caracterizar la interacción, no puedo escribir en el lagrangiano un término que depende del campo, y un término que depende de las propiedades específicas del objeto que se mueve. La unica forma, entiendo, de caracterizar un campo en el que todas las cosas contenidas en el se mueven igual es acudir a una densidad lagrangiana que depende por un lado de una propiedad global del campo gravitatorio, que es el tensor métrico $g_{\mu \nu}$ y de una propiedad global de cualquier objeto que se mieva en el campo, que es el tensor energía momento $T^{\mu \nu}$. Entiendo que esto va en el sentido de las ecuaciones de einstein https://en.wikipedia.org/wiki/Einste...Hilbert_action.

Yo diría que la acción de Hilbert-Einstein (yo siempre la he escuchado así, creo, al revés de como la pone la wiki; aunque tengo algo de dislexia así que nunca se sabe...) se puede describir bastante bien como "un término que depende del campo y otro que depende de la materia". En el articulo de la wikipedia que enlazas tienes

$$S = \int \! \dd^4 x\,\sqrt{-g} \left( \frac1{2\kappa} R + \mathcal L _ M \right) .$$

El primer término viene del campo gravitatorio y el segundo de la materia. El factor $\sqrt{-g}$ (el determinante de la métrica) hace las veces de Jacobiano, nos da la medida correcta de la integral. Aparecerá, entiendo, en cualquier QFT en espacio curvo, haya gravedad o no (si no la hay, será básicamente una constante). Lo que nos da gravedad es el término del escalar de Ricci, que no es más que un funcional que depende de la métrica (por bien que de expresión bastante complicada).

El tensor de energía-impulso no aparece en la acción de forma explícita, sino que se deriva de ella. Básicamente, cuando hacemos la variación de la acción respecto de $g_{\mu\nu}$ para obtener las ecuaciones del movimiento el término del escalar de Ricci nos da lugar al tensor de Einstein, y el resto es el tensor de energía-impulso (todo esto salvo factores comunes del determinante de la métrica). En el articulo de la wiki está todo en detalle.

En resumidas cuentas, uno puede añadir gravedad a una teoría cualquiera simplemente sumando el tensor de Ricci a la acción y aplicando el factor $\sqrt{-g}$ a la medida. Uno podría intentar construir una teoría cuántica de esta forma; por desgracia, es un procedimiento un tanto naïve que da lugar a teorías no renormalizables.

[sater]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

¿Y como se responde a esa pregunta?

Creo que es una pregunta difícil, así que es interesante debatirla.

La manera típica de introducir que gravedad se identifica con curvatura del espaciotiempo es a través del principio de equivalencia (volveré a enlazar esta entrada). Según este, siempre podemos tomar ciertas coordenadas (llamadas localmente inerciales) que hacen que la gravedad desaparezca localmente, haciendo que el espaciotiempo sea el de Minkowski (espaciotiempo plano). Pero no podemos tomar tales coordenadas globalmente y hacer que el espacio sea Minkowski globalmente. Esta imagen, la de un espacio que localmente es plano pero globalmente no tiene por qué, es la de una variedad: algo que localmente parece $\mathbb{R}^n$, pero globalmente no. Del estudio de variedades se sabe que la métrica guarda toda la información del espacio, por lo que se acaba por identificar a la métrica con el campo gravitatorio. De ahí a la ecuación de Einstein ya hay un par de asociaciones más.

Por otro lado, hay un argumento debido a Raychaudhuri interesante. En un universo con una distribución homogénea e isótropa de materia, la fuerza gravitatoria se anularía en todo punto, pues la isotropía del espacio haría que en cualquier dirección hubiera una fuerza igual y opuesta y su suma se cancela ya que la fuerza de la gravedad para Newton es una magnitud vectorial. Pero la ecuación de Poisson dice que mientras haya densidad de materia habrá potencial gravitatorio, luego hay un conflicto. Raychaudhuri dice así que la gravedad no puede ser descrita vectorialmente, sino tensorialmente.

Creo que hay más razones aun, pero mis ideas no están del todo organizadas así que seguiré pensando y leyendo. Quedo a la espera de ver si alguien más se anima a dar su opinión.

Un saludo

[carroza]

Re: Relación entre el spin 2 del graviton y el inverso de la distancia al cuadrado en formula de Newton

Yo diría que la acción de Hilbert-Einstein (yo siempre la he escuchado así, creo, al revés de como la pone la wiki; aunque tengo algo de dislexia así que nunca se sabe...) se puede describir bastante bien como "un término que depende del campo y otro que depende de la materia". En el articulo de la wikipedia que enlazas tienes

$$S = \int \! \dd^4 x\,\sqrt{-g} \left( \frac1{2\kappa} R + \mathcal L _ M \right) .$$

El primer término viene del campo gravitatorio y el segundo de la materia. El factor $\sqrt{-g}$ (el determinante de la métrica) hace las veces de Jacobiano, nos da la medida correcta de la integral. Aparecerá, entiendo, en cualquier QFT en espacio curvo, haya gravedad o no (si no la hay, será básicamente una constante). Lo que nos da gravedad es el término del escalar de Ricci, que no es más que un funcional que depende de la métrica (por bien que de expresión bastante complicada).

El tensor de energía-impulso no aparece en la acción de forma explícita, sino que se deriva de ella. Básicamente, cuando hacemos la variación de la acción respecto de $g_{\mu\nu}$ para obtener las ecuaciones del movimiento el término del escalar de Ricci nos da lugar al tensor de Einstein, y el resto es el tensor de energía-impulso (todo esto salvo factores comunes del determinante de la métrica). En el articulo de la wiki está todo en detalle.

En resumidas cuentas, uno puede añadir gravedad a una teoría cualquiera simplemente sumando el tensor de Ricci a la acción y aplicando el factor $\sqrt{-g}$ a la medida. Uno podría intentar construir una teoría cuántica de esta forma; por desgracia, es un procedimiento un tanto naïve que da lugar a teorías no renormalizables.

Hola .

Gracias por responder. Yo veo esta expresión de forma diferente:

$R$ es la curvatura escalar, que es igual a la contracción $R_{\mu \nu} g^{\mu \nu}$. A partir de la ecuación de Einstein , $R_{\mu \nu} - 1/2 g_{\mu \nu} R = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}$. Si esta expresión la contraigo con $g^{\mu \nu}$, y asumiendo que $g^{\mu \nu} g_{\mu \nu} =4$ (no se si esta expresión es exacta, pero al menos debe ser una buena aproximación para campos no muy intensos), tendriamos

$-R = {8 \pi G \over c^4} g^{\mu \nu} T_{\mu \nu}$.

Por tanto, en la acción de Hilbert-Einstein (o viceversa) tendrias

$$S = \int \! \dd^4 x\,\sqrt{-g} \left( - \frac1{2\kappa} {8 \pi G \over c^4} g^{\mu \nu} T_{\mu \nu} + \mathcal L _ M \right) .$$

Que corresponde a una densidad lagrangiana

$$\mathcal L = - \frac1{2\kappa} {8 \pi G \over c^4} g^{\mu \nu} T_{\mu \nu} + \mathcal L _ M$$

Esto corresponde a una densidad lagrangiana que contiene, por un lado, el lagrangiano de la materia libre de campo gravitatorio $\mathcal L _ M$, con sus términos cinéticos y de interacción, y por otro lado un lagrangiano de interacción entre la materia, $T_{\mu \nu}$ y el campo gravitatorio $g^{\mu \nu}$, con una constante de acoplo $- \frac1{2\kappa} {8 \pi G \over c^4}$.

Esta densidad lagrangiana se compararía con la de una distribucion de cargas sometidas a un campo electromagnético:

$$\mathcal L = e A^{\mu} j_{\mu} + \mathcal L _ M$$

Donde el lagrangiano de la materia libre de campo electromagnético $\mathcal L _ M$, con sus términos cinéticos y de interacción, y el lagrangiano de interacción entre la materia, $j_{\mu}$ y el campo electromagnético
$A^{\mu}$, con una constante de acoplo $e$.

Saludos

[Alriga]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

... Por otro lado, hay un argumento debido a Raychaudhuri interesante. En un universo con una distribución homogénea e isótropa de materia, la fuerza gravitatoria se anularía en todo punto, pues la isotropía del espacio haría que en cualquier dirección hubiera una fuerza igual y opuesta y su suma se cancela ya que la fuerza de la gravedad para Newton es una magnitud vectorial ... Raychaudhuri dice así que la gravedad no puede ser descrita vectorialmente, sino tensorialmente ...

Perdón, ¿aquí no falta algo? Además de homogéneo e isótropo ¿tal vez infinito y estático?. Lo digo porque por ejemplo, en el Universo homogéneo, isótropo, estático pero finito de Einstein la gravedad no se anula, lo que sucede es que es un universo inestable que dejaría rápidamente de ser estático para pasar al colapso o la expansión, como demostró Eddington en 1930: On the Instability of Einstein's Spherical World

De todas maneras, aun añadiendo "infinito y estático", el argumento de Raychaudhuri me parece flojo, a no ser que se me escape algo que no estoy viendo bien. Puesto que imaginemos que vale, que le aceptamos que no sea un vector, entonces será un tensor, pero el argumento dado no demuestra cual debe ser el rango del tensor.

... En resumidas cuentas, uno puede añadir gravedad a una teoría cualquiera simplemente sumando el tensor de Ricci a la acción y aplicando el factor $\sqrt{-g}$ a la medida. Uno podría intentar construir una teoría cuántica de esta forma; por desgracia, es un procedimiento un tanto naïve que da lugar a teorías no renormalizables.

Gracias pod y perdona, pero si eso responde de alguna manera a la pregunta del hilo "¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?", por favor desmenúzanos un poco más la respuesta, porque los no expertos no la estamos viendo.

Saludos.

[pod]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

Hola .

Gracias por responder. Yo veo esta expresión de forma diferente:

$R$ es la curvatura escalar, que es igual a la contracción $R_{\mu \nu} g^{\mu \nu}$. A partir de la ecuación de Einstein , $R_{\mu \nu} - 1/2 g_{\mu \nu} R = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}$. Si esta expresión la contraigo con $g^{\mu \nu}$, y asumiendo que $g^{\mu \nu} g_{\mu \nu} =4$ (no se si esta expresión es exacta, pero al menos debe ser una buena aproximación para campos no muy intensos), tendriamos

$-R = {8 \pi G \over c^4} g^{\mu \nu} T_{\mu \nu}$.

Por tanto, en la acción de Hilbert-Einstein (o viceversa) tendrias

$$S = \int \! \dd^4 x\,\sqrt{-g} \left( - \frac1{2\kappa} {8 \pi G \over c^4} g^{\mu \nu} T_{\mu \nu} + \mathcal L _ M \right) .$$

Que corresponde a una densidad lagrangiana

$$\mathcal L = - \frac1{2\kappa} {8 \pi G \over c^4} g^{\mu \nu} T_{\mu \nu} + \mathcal L _ M$$

Esto corresponde a una densidad lagrangiana que contiene, por un lado, el lagrangiano de la materia libre de campo gravitatorio $\mathcal L _ M$, con sus términos cinéticos y de interacción, y por otro lado un lagrangiano de interacción entre la materia, $T_{\mu \nu}$ y el campo gravitatorio $g^{\mu \nu}$, con una constante de acoplo $- \frac1{2\kappa} {8 \pi G \over c^4}$.

Esta densidad lagrangiana se compararía con la de una distribucion de cargas sometidas a un campo electromagnético:

$$\mathcal L = e A^{\mu} j_{\mu} + \mathcal L _ M$$

Donde el lagrangiano de la materia libre de campo electromagnético $\mathcal L _ M$, con sus términos cinéticos y de interacción, y el lagrangiano de interacción entre la materia, $j_{\mu}$ y el campo electromagnético
$A^{\mu}$, con una constante de acoplo $e$.

Saludos

Aunque resulta una analogía interesante y ilustrativa, es un argumento circular. $T^{\mu\nu}$, el tensor de energía-inpulso de Hilbert se define en RG como cierta derivada variacional de la acción que describe el contenido del universo (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Stress...3energy_tensor). Así que lo que hace tu ecuación (2) pone S en términos de algo que está definido a partir de (una parte de) S.

Veamoslo de forma algo más formal. La acción, por definición, es un funcional que a toda solución le asocia un valor real (donde la solución, si hablaramos de partículas, sería una trayectoria; en este caso de la métrica la solución es un campo, pero aún así me permitiré el abuso de lenguaje de seguir usando la palabra "trayectoria"). Y, por lo tanto, la acción es un funcional que tiene sentido para cualquier trayectoria, aunque los físicos a menudo nos olvidamos de estos detalles formales. Esa es la definición formal de acción.

Luego, el principio de mínima acción nos dice que la trayectoria Física será aquella que haga que la acción sea mínima. Eso nos da unas ecuaciones del movimiento (en este caso, las de Einstein), que -junto con un problema de contorno bien definido- nos dice cuál és la trayectoria Física. Tú lo que has hecho es substituir dentro de la acción las ecuaciones del movimiento. Ergo, el resultado que obtienes no es valido para cualquier trayectoria, sólo lo és para la solución concreta que hace que la acción sea mínima. Así, pues, tu expresión (2) ya no es la acción como tal, sino que es el valor concreto que toma dicho funcional para un tipo de trayectorias muy concreto. A tu ecuación (2) no le puedes aplicar un principio variacional para obtener la trayectoria, porque para obtener esa expresión ya has usado una trayectoria.

En conclusión, si hablamos de la acción (el funcional), me parece bastante correcto decir que el término de Hilbert es el encargado de introducir la geometría del espacio-tiempo en la dinámica del sistema; y el resto de términos atañen al contenido del espacio-tiempo. Obviamente, los diferentes términos (sus derivadas variacionales) quedan relacionados por las ecuaciones del movimiento, eso nadie lo niega.

Gracias pod y perdona, pero si eso responde de alguna manera a la pregunta del hilo "¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?", por favor desmenúzanos un poco más la respuesta, porque los no expertos no la estamos viendo.

No intenta responder la pregunta original (que no creo que tenga respuesta científica), sólo al fragmento que citaba.

[sater]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

No intenta responder la pregunta original (que no creo que tenga respuesta científica)

Buenas de nuevo. He seguido pensando, y al respecto de lo que dice Pod, creo que es una pregunta que sí tiene respuesta científica (con la salvedad de que una pregunta que empieza con un por qué no se puede responder en física, ya me entendéis). Y creo que la respuesta la dio Alriga al enlazar los apuntes de Bert Janssen. La idea es que la gravedad no se puede describir con un campo escalar por motivos obvios. Creíamos que con uno vectorial sí, pero el argumento de Raychaudhuri (al que añado que sí, que es necesario que el universo sea infinito) junto con los comentarios de tal trabajo de por qué no podemos tener una gravedad descrita por un cuadripotencial vector $G_{\mu}$, te hacen ver que debemos recurrir a tensores de rango 2 o mayor. Como el principio de equivalencia nos establece la igualdad gravedad=curvatura, vemos que equiparando la métrica de un espacio al campo gravitatorio las cosas ya funcionan. Por otro lado, el argumento de Carroza también me parece que va por ahí: dado que tenemos que tener un campo que acople a todas las energías, y estas están descritas por $T^{\mu\nu}$, el campo debe ser un tensor dos covariante $g_{\mu\nu}$.

Por otro lado, he encontrado otro texto donde se discute el tema del espin del gravitón que interesa de nuevo en este hilo. El texto son las "lectures on gravitation" de Feynman. En el libro se demuestra porqué el gravitón tiene que tener espín entero, y porque tiene que ser 2 o más (si os interesa, el prólogo del libro es de Brian Hatfield y resume los puntos principales, lo podría copiar aquí). La cosa es que si queremos tener alcance infinito, la masa del gravitón ha de ser cero. Si queremos poder describir situaciones estáticas (y no meramente de dispersión), el espín no puede ser semientero por un argumento similar al que comentaba Alriga sacado del "Gravitation". Luego se demuestra que espines impares (1,3,5,...) resultan en fuerzas repulsivas para interacciones entre cargas con el mismo signo, así que se descartan. Nos quedan los pares (0,2,4...). Para descartar el cero, invocamos la universalidad de la gravedad: resulta que si el gravitón tuviera espin cero, no se puede acoplar al campo electromagnético, pero como debe acoplarse a cualquier tipo de energía (sabemos que la luz se desvía en campos gravitatorios), espin cero se descarta. Nos queda 2,4,6... Aquí la respuesta de Feynman es que debemos trabajar suponiendo que es el 2 que es el caso más sencillo hasta que se demuestre lo contrario, o falle en algún supuesto.

Al final es algo así como la navaja de Ockham en ambos casos (espin 2 o tensor de rango 2): nos quedamos con lo primero que funciona y es más sencillo.

[Alriga]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

... el argumento de Raychaudhuri (al que añado que sí, que es necesario que el universo sea infinito) ...

Opino que no es suficiente. Nuestro Universo, si es plano como parece, (o hiperbólico como podría ser) es homogéneo, isótropo e infinito, pero no estático, está en expansión, y la gravedad se manifiesta.

Luego lo de estático además de infinito, creo que también es imprescindible. Pero ahora añado algo más: eterno para que la interacción gravitatoria que viaja a velocidad finita haya tenido tiempo de llegar a todos los puntos, solo entonces la fuerza gravitatoria se anularía en todo punto como dice Raychaudhuri.

Por favor, ¿nos puedes pasar las fuentes del argumento de Raychaudhuri, a ver si leyéndolo ahí lo entendemos mejor?

Saludos.

[sater]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

Opino que no es suficiente. Nuestro Universo, si es plano como parece, (o hiperbólico como podría ser) es homogéneo, isótropo e infinito, pero no estático, está en expansión, y la gravedad se manifiesta.

Buenas Alriga. El argumento de Raychaudhuri (al menos como yo lo entiendo) lo que trata de demostrar es que la propia gravedad newtoniana es inconsistente. Si dentro de tal paradigma queremos estudiar la situación de un universo infinito con una distribución de materia homogénea, la isotropía en cada punto lleva a una fuerza gravitatoria nula en cada punto, pese a que bajo tal paradigma debemos resolver la ecuación de Poisson

$$\nabla^2 \Phi(x,t)=-4\pi G \rho(x,t)$$

dando un potencial no nulo, y por tanto fuerza gravitatoria. No dice que tal situación no sea posible ni irresoluble bajo el paradigma de la relatividad general.

Esta situación hace ver que el paradigma newtoniano (gravedad como magnitud vectorial) es inconsistente en sí mismo, y en general junto con los argumentos de los apuntes de Bert Janssen no se puede solucionar en general el problema de la descripción de la gravedad mediante una magnitud vectorial. Por tanto, volvemos a los argumentos de mi comentario anterior.

Por favor, ¿nos puedes pasar las fuentes del argumento de Raychaudhuri, a ver si leyéndolo ahí lo entendemos mejor?

Este argumento lo leí realmente en un artículo de Naresh Dadhich en el cual se cita el artículo de Raychaudhuri (pero no he comprobado lo que diga el original).

Un saludo

[Weip]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

Desde mi punto de vista la pregunta inicial del hilo, "¿Porqué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?" parte de una suposición que es falsa: No es necesario describir la gravedad mediante tensores de rango dos.

Me explico. Cuando hablamos de Relatividad General es cierto que el formalismo que nos viene a la cabeza es aquella que usa tensores y coordenadas pues siempre es introducida así y es el panorama que había a principios del siglo XX pero realmente la geometría que subyace la teoría ha evolucionado y con ello lo han hecho las formulaciones de la RG. Para poder describir la gravedad sin necesidad de un tensor métrico se puede recurrir a las tétradas. Estos objetos son conjuntos de campos vectoriales que dan lugar a una base del espacio tangente en cada punto del espaciotiempo y contienen la misma información que la métrica. Se relacionan con ella mediante la expresión $g_{\mu \nu}=e^{I}_ {\mu}e^{J}_ {\nu} \eta_{IJ}$, donde $g_{\mu \nu}$ es la métrica, $\left\{ e^{I}_ {\mu}\right\}$ es una tétrada y $\eta_{\IJ}$ es la métrica de Minkowski (obsevar que la expresión anterior equivale a decir que los campos de la tétrada son ortonormales). A partir de aquí se puede reformular la acción de Hilbert-Einstein en términos de la tétrada, de una conexión y de su curvatura, al igual que ocurre con el electromagnetismo, donde la conexión es el potencial electromagnético y la curvatura es el tensor de campo electromagnético.

Por último quiero comentar que esta formulación de la RG no es una mera curiosidad, de hecho es la forma en la que se introducen los campos fermiónicos y permite escribir RG como una teoría gauge, por poner dos ejemplos. Se usa en sitios como en supergravedad y en LQG.

[carroza]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

Luego, el principio de mínima acción nos dice que la trayectoria Física será aquella que haga que la acción sea mínima. Eso nos da unas ecuaciones del movimiento (en este caso, las de Einstein), que -junto con un problema de contorno bien definido- nos dice cuál és la trayectoria Física. Tú lo que has hecho es substituir dentro de la acción las ecuaciones del movimiento. Ergo, el resultado que obtienes no es valido para cualquier trayectoria, sólo lo és para la solución concreta que hace que la acción sea mínima. Así, pues, tu expresión (2) ya no es la acción como tal, sino que es el valor concreto que toma dicho funcional para un tipo de trayectorias muy concreto. A tu ecuación (2) no le puedes aplicar un principio variacional para obtener la trayectoria, porque para obtener esa expresión ya has usado una trayectoria.

Hola. Tras mi error garrafal con el tratamiento de la acción y del lagrangiano, he buscado más información para responder la pregunta del hilo.


En http://web.mit.edu/edbert/GR/gr6.pdf aparece una acción para campos gravitatorios débiles (es decir, cualquier cosa que no sea una estrella de neutrones o un agujero negro).


Mientras que la ecuación (1) muestra la acción para un campo electromagnético, que contiene el cuadrivector $A_\mu$, la ecuación (3) muestra la acción para el campo gravitatorio, que contiene el tensor $h_{\mu \nu}$ que describe la diferencia del tensor métrico $g_{\mu \nu}$ con el tensor de Minkowski $\eta_{\mu \nu}$.

Espero que esta expresión justifique que, efectivamente, los campos gravitatorios (al menos los débiles) se describen con tensores de rango 2, en este caso $h_{\mu \nu}$, mientras que los campos electromagnéticos se describen con tensores de rango uno, esto es, cuadrivectores como $A_\mu$.

Saludos

[sater]

Re: ¿Por qué es necesario describir la gravedad con tensores de rango dos?

Espero que esta expresión justifique que, efectivamente, los campos gravitatorios (al menos los débiles) se describen con tensores de rango 2, en este caso $h_{\mu \nu}$, mientras que los campos electromagnéticos se describen con tensores de rango uno, esto es, cuadrivectores como $A_\mu$.

Saludos

Buenas Carroza. No veo por qué consideras esto un argumento para que la gravedad deba ser descrita por tensores de rango 2. A las ecuaciones de Einstein se llega por argumentos heurísticos, y las aceptamos porque concuerdan con los experimentos. Posteriormente es "fácil" encontrar una acción de la cual se deriven.

Creo que, aunque la acción sea en física la manera más fundamental que tenemos de presentar una teoría, es la última parte del proceso; o al menos en gravedad (no soy experto, pero creo que en partículas suele ser al revés). Por tanto no me parece la mejor manera de responder a la pregunta. Pero me huelo que me estoy perdiendo algo. Seguiré leyendo un par de lecturas que tengo pendientes al respecto a ver si sigo sacando cosas en claro.

Un saludo.