Transformaciones de Lorentz pasivas y activas en Teoría Cuántica de Campos

[Vitor]

Hola, dado un objeto $\langle p| J_\mu |p \rangle$ de Teoría Cuántica de Campos, donde $|p \rangle$ hace referencia al estado de una partícula en un espacio de Hilbert y $J_\mu$ a una corriente conservada, ¿por qué se debe cumplir la siguiente igualdad bajo transformaciones de Lorentz pasivas y activas?

$\langle p|U^{+}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)|p \rangle = \langle p| \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_\nu |p \rangle$

[Weip]

Hola Vitor,

Yo diría que es casi por definición: cuando calculas las representaciones del grupo de Lorentz te encuentras que hay objetos llamados cuadrivectores que transforman exactamente así. Estos objetos surgen por fuerza bruta, calculando representaciones ves que las transformaciones de Lorentz pueden actuar sobre escalares (no les hace nada), espinores de Weyl, cuadrivectores, tensores más generales... Y de ahí sale cómo transforma cada uno dependiendo de los índices que tenga. No te sabría decir mucho más, ¿quizás tu duda ha surgido en algún contexto en concreto?

[Vitor]

Hola Weip,

Mucha gracias por la respuesta. La transformación $J_\mu \rightarrow \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_\nu$ del cuadrivector corriente $J_\mu$ la entiendo (se trata de un cambio de base del espacio tangente de la variedad diferenciable, de manera que cualquier objeto vectorial o tensorial se transforma como tal), el problema es que el estado $| p \rangle$ no parece funcionar de la misma manera porque como ves, en el lado izquierdo de la fórmula, sólo se transforman los estados $| p \rangle$ y $\langle p|$, mientras que en el derecho sólo se transforma $J_\mu$.

Si la expresión fuese por ejemplo $A_\alpha J_\mu B_\beta$ entonces claramente bajo una transformación de Lorentz todos los objetos de esa expresión se transformarían y el resultado sería $\Lambda^{\gamma}{}_{\alpha}A_\gamma \Lambda^{\nu}{}_{\mu} J_\nu \Lambda^{\sigma}{}_{\beta}B_\sigma$, pero como ves en la expresión inicial hay dos tipos de transformación diferentes (uno actuando únicamente sobre $| p \rangle$ y $\langle p|$ y otro actuando solamente sobre $J_\mu$). Y la duda más importante que tengo es por qué ambas cosas son iguales, siguiendo la fórmula inicial.

[Weip]

Hola Weip,

Mucha gracias por la respuesta. La transformación $J_\mu \rightarrow \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_\nu$ del cuadrivector corriente $J_\mu$ la entiendo (se trata de un cambio de base del espacio tangente de la variedad diferenciable, de manera que cualquier objeto vectorial o tensorial se transforma como tal), el problema es que el estado $| p \rangle$ no parece funcionar de la misma manera porque como ves, en el lado izquierdo de la fórmula, sólo se transforman los estados $| p \rangle$ y $\langle p|$, mientras que en el derecho sólo se transforma $J_\mu$.

Si la expresión fuese por ejemplo $A_\alpha J_\mu B_\beta$ entonces claramente bajo una transformación de Lorentz todos los objetos de esa expresión se transformarían y el resultado sería $\Lambda^{\gamma}{}_{\alpha}A_\gamma \Lambda^{\nu}{}_{\mu} J_\nu \Lambda^{\sigma}{}_{\beta}B_\sigma$, pero como ves en la expresión inicial hay dos tipos de transformación diferentes (uno actuando únicamente sobre $| p \rangle$ y $\langle p|$ y otro actuando solamente sobre $J_\mu$). Y la duda más importante que tengo es por qué ambas cosas son iguales, siguiendo la fórmula inicial.

Creo que el fondo de la cuestión es notación.

Cuando transformas el estado $|p\rangle$ te sale la parte izquierda de la igualdad, siendo $U(\Lambda)$ una representación unitaria del grupo de Lorentz que actúa como $U(\Lambda)|p\rangle=|\Lambda p\rangle$ y $\langle p| U^{\dagger}(\Lambda)=\langle \Lambda p|$. El punto de tu pregunta viene de que la transformación de la corriente ya viene implícita con la notación, y este quizás es el lío, yo le llamaría mejor $J'_{\mu}$ en vez de $J_{\mu}$. Por eso creo que sería adecuado ver el contexto dónde te has encontrado la igualdad para ver qué notación utiliza exactamente. Así distinguiríamos de la situación que también se podría dar, que es transformar la corriente y llamar $|p\rangle$ al estado ya transformado.

A partir de aquí, como estos operadores unitarios están actuando sobre $|p\rangle$ y $\langle p|$, los puedes asociar para que actúen sobre la corriente. La corriente es un cuadrivector y se transforma con la representación vectorial del grupo de Lorentz, así que la acción de una transformación de Lorentz sobre la corriente es $U^{\dagger}(\Lambda)J_{\mu}(x)U(\Lambda)=\Lambda^{\nu}_{\mu}J_{\nu}(\Lambda^{-1} x)$. Es decir la corriente se transforma bajo la representación fundamental, y como el grupo de Lorentz es un grupo matricial, esta transformación es $\Lambda^{\nu}_{\mu}J_{\nu}$ directamente.

Si nos puedes proporcionar un poco más de información sobre dónde encontraste la igualdad o alguna aclaración sobre la notación que utiliza podríamos entrar más en detalle de qué se ha hecho para llegar al bando derecho.

[Vitor]

Estoy siguiendo este tutorial sobre Teorías Gauge y a partir de la página 5 se discute el objeto $\langle p', \pm j| J_\mu | p, \pm j \rangle$. Concretamente, en (38) se fijan los cuadrimomentos como $p=(|\vec{p}|,\vec{p})$ y $p'=(|\vec{p}|,-\vec{p})$, para entonces hacer en (39) una rotación Lorentz con un ángulo $\phi$ inicialmente sólo sobre los estados $\langle p', \pm j|$ y $| p, \pm j \rangle$, lo que da exactamente el miembro de la izquierda de la igualdad (41). Por otro lado, el miembro de la derecha es simplemente el objeto $\langle p', \pm j| J_\mu | p, \pm j \rangle$ transformando la corriente $J_\mu$ y se tiene que ambos miembros deben ser iguales.

Yo no veo que sea un tema de notación sino que se realizan transformaciones de forma independiente (aunque al final se deba tener una igualdad así, la cual no entiendo) y tampoco entiendo por qué $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ sólo puede tomar valores $e^{\pm i\phi}$ y $1$. Supongo que quizás hay alguna relación fundamental entre ambos tipos de transformaciones que determine $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ una vez realizada la transformación de Lorentz sobre los estados $\langle p', \pm j|$ y $| p, \pm j \rangle$, pero la desconozco.

[Weip]

Hola Vitor.

Estoy siguiendo este tutorial sobre Teorías Gauge y a partir de la página 5 se discute el objeto $\langle p', \pm j| J_\mu | p, \pm j \rangle$. Concretamente, en (38) se fijan los cuadrimomentos como $p=(|\vec{p}|,\vec{p})$ y $p'=(|\vec{p}|,-\vec{p})$, para entonces hacer en (39) una rotación Lorentz con un ángulo $\phi$ inicialmente sólo sobre los estados $\langle p', \pm j|$ y $| p, \pm j \rangle$, lo que da exactamente el miembro de la izquierda de la igualdad (41). Por otro lado, el miembro de la derecha es simplemente el objeto $\langle p', \pm j| J_\mu | p, \pm j \rangle$ transformando la corriente $J_\mu$ y se tiene que ambos miembros deben ser iguales.

Vale, ya entiendo. No está aplicando la transformación de Lorentz al objeto entero si no que aplica una rotación de ángulo $\phi$ alrededor del eje de propagación de la partícula. Es por eso que sólo al principio solo transforma los estados. Tal como dije en este punto asocia las exponenciales a la corriente en vez de a los estados de manera que $U^{\dagger}(\Lambda)J_{\mu}(t)U(\Lambda)=\Lambda(\phi)^{\nu}_{\mu}J_{\nu}(t)$ con $U(\Lambda)=e^{\pm i\phi j}$.

Yo no veo que sea un tema de notación sino que se realizan transformaciones de forma independiente (aunque al final se deba tener una igualdad así, la cual no entiendo) y tampoco entiendo por qué $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ sólo puede tomar valores $e^{\pm i\phi}$ y $1$. Supongo que quizás hay alguna relación fundamental entre ambos tipos de transformaciones que determine $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ una vez realizada la transformación de Lorentz sobre los estados $\langle p', \pm j|$ y $| p, \pm j \rangle$, pero la desconozco.

La cuestión es que la izquierda de la eq.(41) tienes una matriz diagonal $e^{\pm2 i \phi j}\text{Id}$ así que la transformación de Lorentz $\Lambda(\phi)$ del lado derecho también tiene que serlo. Como $\Lambda(\phi)$ es una rotación, sus valores propios solo pueden ser $1$ y $e^{\pm i\phi}$. Imponiendo la igualdad eq.(41), necesariamente $2j\leq 1$ para que la amplitud sea distinta de cero, cosa que implica que esta amplitud se debe anular para $j>1/2$, concluyendo el razonamiento del pdf. Si no se cumpliera $j>1/2$ podrías obtener exponenciales en el lado izquierdo que es imposible que estén en el derecho.