Transformaciones de Lorentz pasivas y activas en Teoría Cuántica de Campos

[Vitor]

Hola, dado un objeto $\langle p| J_\mu |p \rangle$ de Teoría Cuántica de Campos, donde $|p \rangle$ hace referencia al estado de una partícula en un espacio de Hilbert y $J_\mu$ a una corriente conservada, ¿por qué se debe cumplir la siguiente igualdad bajo transformaciones de Lorentz pasivas y activas?

$\langle p|U^{+}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)|p \rangle = \langle p| \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_\nu |p \rangle$

[Weip]

Hola Vitor,

Yo diría que es casi por definición: cuando calculas las representaciones del grupo de Lorentz te encuentras que hay objetos llamados cuadrivectores que transforman exactamente así. Estos objetos surgen por fuerza bruta, calculando representaciones ves que las transformaciones de Lorentz pueden actuar sobre escalares (no les hace nada), espinores de Weyl, cuadrivectores, tensores más generales... Y de ahí sale cómo transforma cada uno dependiendo de los índices que tenga. No te sabría decir mucho más, ¿quizás tu duda ha surgido en algún contexto en concreto?

[Vitor]

Hola Weip,

Mucha gracias por la respuesta. La transformación $J_\mu \rightarrow \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_\nu$ del cuadrivector corriente $J_\mu$ la entiendo (se trata de un cambio de base del espacio tangente de la variedad diferenciable, de manera que cualquier objeto vectorial o tensorial se transforma como tal), el problema es que el estado $| p \rangle$ no parece funcionar de la misma manera porque como ves, en el lado izquierdo de la fórmula, sólo se transforman los estados $| p \rangle$ y $\langle p|$, mientras que en el derecho sólo se transforma $J_\mu$.

Si la expresión fuese por ejemplo $A_\alpha J_\mu B_\beta$ entonces claramente bajo una transformación de Lorentz todos los objetos de esa expresión se transformarían y el resultado sería $\Lambda^{\gamma}{}_{\alpha}A_\gamma \Lambda^{\nu}{}_{\mu} J_\nu \Lambda^{\sigma}{}_{\beta}B_\sigma$, pero como ves en la expresión inicial hay dos tipos de transformación diferentes (uno actuando únicamente sobre $| p \rangle$ y $\langle p|$ y otro actuando solamente sobre $J_\mu$). Y la duda más importante que tengo es por qué ambas cosas son iguales, siguiendo la fórmula inicial.

[Weip]

Hola Weip,

Mucha gracias por la respuesta. La transformación $J_\mu \rightarrow \Lambda^{\nu}{}_{\mu}J_\nu$ del cuadrivector corriente $J_\mu$ la entiendo (se trata de un cambio de base del espacio tangente de la variedad diferenciable, de manera que cualquier objeto vectorial o tensorial se transforma como tal), el problema es que el estado $| p \rangle$ no parece funcionar de la misma manera porque como ves, en el lado izquierdo de la fórmula, sólo se transforman los estados $| p \rangle$ y $\langle p|$, mientras que en el derecho sólo se transforma $J_\mu$.

Si la expresión fuese por ejemplo $A_\alpha J_\mu B_\beta$ entonces claramente bajo una transformación de Lorentz todos los objetos de esa expresión se transformarían y el resultado sería $\Lambda^{\gamma}{}_{\alpha}A_\gamma \Lambda^{\nu}{}_{\mu} J_\nu \Lambda^{\sigma}{}_{\beta}B_\sigma$, pero como ves en la expresión inicial hay dos tipos de transformación diferentes (uno actuando únicamente sobre $| p \rangle$ y $\langle p|$ y otro actuando solamente sobre $J_\mu$). Y la duda más importante que tengo es por qué ambas cosas son iguales, siguiendo la fórmula inicial.

Creo que el fondo de la cuestión es notación.

Cuando transformas el estado $|p\rangle$ te sale la parte izquierda de la igualdad, siendo $U(\Lambda)$ una representación unitaria del grupo de Lorentz que actúa como $U(\Lambda)|p\rangle=|\Lambda p\rangle$ y $\langle p| U^{\dagger}(\Lambda)=\langle \Lambda p|$. El punto de tu pregunta viene de que la transformación de la corriente ya viene implícita con la notación, y este quizás es el lío, yo le llamaría mejor $J'_{\mu}$ en vez de $J_{\mu}$. Por eso creo que sería adecuado ver el contexto dónde te has encontrado la igualdad para ver qué notación utiliza exactamente. Así distinguiríamos de la situación que también se podría dar, que es transformar la corriente y llamar $|p\rangle$ al estado ya transformado.

A partir de aquí, como estos operadores unitarios están actuando sobre $|p\rangle$ y $\langle p|$, los puedes asociar para que actúen sobre la corriente. La corriente es un cuadrivector y se transforma con la representación vectorial del grupo de Lorentz, así que la acción de una transformación de Lorentz sobre la corriente es $U^{\dagger}(\Lambda)J_{\mu}(x)U(\Lambda)=\Lambda^{\nu}_{\mu}J_{\nu}(\Lambda^{-1} x)$. Es decir la corriente se transforma bajo la representación fundamental, y como el grupo de Lorentz es un grupo matricial, esta transformación es $\Lambda^{\nu}_{\mu}J_{\nu}$ directamente.

Si nos puedes proporcionar un poco más de información sobre dónde encontraste la igualdad o alguna aclaración sobre la notación que utiliza podríamos entrar más en detalle de qué se ha hecho para llegar al bando derecho.

[Vitor]

Estoy siguiendo este tutorial sobre Teorías Gauge y a partir de la página 5 se discute el objeto $\langle p', \pm j| J_\mu | p, \pm j \rangle$. Concretamente, en (38) se fijan los cuadrimomentos como $p=(|\vec{p}|,\vec{p})$ y $p'=(|\vec{p}|,-\vec{p})$, para entonces hacer en (39) una rotación Lorentz con un ángulo $\phi$ inicialmente sólo sobre los estados $\langle p', \pm j|$ y $| p, \pm j \rangle$, lo que da exactamente el miembro de la izquierda de la igualdad (41). Por otro lado, el miembro de la derecha es simplemente el objeto $\langle p', \pm j| J_\mu | p, \pm j \rangle$ transformando la corriente $J_\mu$ y se tiene que ambos miembros deben ser iguales.

Yo no veo que sea un tema de notación sino que se realizan transformaciones de forma independiente (aunque al final se deba tener una igualdad así, la cual no entiendo) y tampoco entiendo por qué $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ sólo puede tomar valores $e^{\pm i\phi}$ y $1$. Supongo que quizás hay alguna relación fundamental entre ambos tipos de transformaciones que determine $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ una vez realizada la transformación de Lorentz sobre los estados $\langle p', \pm j|$ y $| p, \pm j \rangle$, pero la desconozco.

[Weip]

Hola Vitor.

Estoy siguiendo este tutorial sobre Teorías Gauge y a partir de la página 5 se discute el objeto $\langle p', \pm j| J_\mu | p, \pm j \rangle$. Concretamente, en (38) se fijan los cuadrimomentos como $p=(|\vec{p}|,\vec{p})$ y $p'=(|\vec{p}|,-\vec{p})$, para entonces hacer en (39) una rotación Lorentz con un ángulo $\phi$ inicialmente sólo sobre los estados $\langle p', \pm j|$ y $| p, \pm j \rangle$, lo que da exactamente el miembro de la izquierda de la igualdad (41). Por otro lado, el miembro de la derecha es simplemente el objeto $\langle p', \pm j| J_\mu | p, \pm j \rangle$ transformando la corriente $J_\mu$ y se tiene que ambos miembros deben ser iguales.

Vale, ya entiendo. No está aplicando la transformación de Lorentz al objeto entero si no que aplica una rotación de ángulo $\phi$ alrededor del eje de propagación de la partícula. Es por eso que sólo al principio solo transforma los estados. Tal como dije en este punto asocia las exponenciales a la corriente en vez de a los estados de manera que $U^{\dagger}(\Lambda)J_{\mu}(t)U(\Lambda)=\Lambda(\phi)^{\nu}_{\mu}J_{\nu}(t)$ con $U(\Lambda)=e^{\pm i\phi j}$.

Yo no veo que sea un tema de notación sino que se realizan transformaciones de forma independiente (aunque al final se deba tener una igualdad así, la cual no entiendo) y tampoco entiendo por qué $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ sólo puede tomar valores $e^{\pm i\phi}$ y $1$. Supongo que quizás hay alguna relación fundamental entre ambos tipos de transformaciones que determine $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ una vez realizada la transformación de Lorentz sobre los estados $\langle p', \pm j|$ y $| p, \pm j \rangle$, pero la desconozco.

La cuestión es que la izquierda de la eq.(41) tienes una matriz diagonal $e^{\pm2 i \phi j}\text{Id}$ así que la transformación de Lorentz $\Lambda(\phi)$ del lado derecho también tiene que serlo. Como $\Lambda(\phi)$ es una rotación, sus valores propios solo pueden ser $1$ y $e^{\pm i\phi}$. Imponiendo la igualdad eq.(41), necesariamente $2j\leq 1$ para que la amplitud sea distinta de cero, cosa que implica que esta amplitud se debe anular para $j>1/2$, concluyendo el razonamiento del pdf. Si no se cumpliera $j>1/2$ podrías obtener exponenciales en el lado izquierdo que es imposible que estén en el derecho.

[Vitor]

Hola Vitor.


Vale, ya entiendo. No está aplicando la transformación de Lorentz al objeto entero si no que aplica una rotación de ángulo $\phi$ alrededor del eje de propagación de la partícula. Es por eso que sólo al principio solo transforma los estados.

Hola Weip, gracias de nuevo por la respuesta. Creo que estamos de acuerdo entonces en que al principio sólo transforma los estados $|p,\pm j\rangle$ y $\langle p', \pm j |$, dejando la corriente $J_\mu$ sin transformar, lo cual convierte el objeto $\langle p', \pm j| J_\mu |p,\pm j\rangle$ en $\langle p', \pm j|U'^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)|p,\pm j\rangle$, con $U(\Lambda) = e^{\pm i\phi j}$ y $U'(\Lambda) = e^{\mp i\phi j}$. ¿Estás de acuerdo?

Tal como dije en este punto asocia las exponenciales a la corriente en vez de a los estados de manera que $U^{\dagger}(\Lambda)J_{\mu}(t)U(\Lambda)=\Lambda(\phi)^{\nu}_{\mu}J_{\nu}(t)$ con $U(\Lambda)=e^{\pm i\phi j}$.

Si estamos de acuerdo en el punto anterior, entonces en este punto tenemos que el objeto se ha transformado a $\langle p', \pm j|U'^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)|p,\pm j\rangle$, debido únicamente a la transformación de los estados $|p,\pm j\rangle$ y $\langle p', \pm j |$. Entonces, si estoy entendiendo bien tu mensaje, lo que dices es que en realidad $U'^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)$ es lo mismo que $\Lambda^{\nu}{}_{\mu} (\phi) J_\nu$, para alguna matriz $\Lambda^{\nu}{}_{\mu} (\phi)$. ¿Es correcto?

Confirma si es posible si estás de acuerdo y en base a eso pregunto lo que me sigue sin quedar del todo claro sobre estos dos puntos (el resto de puntos que van después, si estos dos puntos son así, entonces quedarían totalmente claros por mi parte).

[Weip]

Creo que estamos de acuerdo entonces en que al principio sólo transforma los estados $|p,\pm j\rangle$ y $\langle p', \pm j |$, dejando la corriente $J_\mu$ sin transformar, lo cual convierte el objeto $\langle p', \pm j| J_\mu |p,\pm j\rangle$ en $\langle p', \pm j|U'^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)|p,\pm j\rangle$, con $U(\Lambda) = e^{\pm i\phi j}$ y $U'(\Lambda) = e^{\mp i\phi j}$. ¿Estás de acuerdo?

Si estamos de acuerdo en el punto anterior, entonces en este punto tenemos que el objeto se ha transformado a $\langle p', \pm j|U'^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)|p,\pm j\rangle$, debido únicamente a la transformación de los estados $|p,\pm j\rangle$ y $\langle p', \pm j |$. Entonces, si estoy entendiendo bien tu mensaje, lo que dices es que en realidad $U'^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda)$ es lo mismo que $\Lambda^{\nu}{}_{\mu} (\phi) J_\nu$, para alguna matriz $\Lambda^{\nu}{}_{\mu} (\phi)$. ¿Es correcto?

Sí, exacto, estoy de acuerdo con lo que has escrito. Pregunta y vemos si puedo aclarar el resto de dudas.

[Vitor]

Sí, exacto, estoy de acuerdo con lo que has escrito. Pregunta y vemos si puedo aclarar el resto de dudas.

Hola Weip, muchas gracias por la confirmación. La duda entonces la tengo en el punto 2, donde esta expresión hemos dicho que debe cumplirse:

$U^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu} (\phi) J_\nu$

¿Hay alguna demostración para eso? Lo más parecido que conozco es una expresión análoga pero para las matrices de Dirac:

$S^{-1}(\Lambda) \gamma_\mu S(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu} \gamma_\nu\,,$

donde $S(\Lambda)$ según tengo entendido sería la transformación de Lorentz en el espacio de Hilbert al que pertenecen esas matrices. Y con esta expresión no tengo problema porque parece que la demostración está clara gracias a las propiedades de las matrices de Dirac (por ejemplo, a partir de (4.43) en estas notas).

Mi problema entonces es que no veo por qué la expresión que decíamos antes debe cumplirse cuando hay un cuadrivector corriente general $J_\mu$ (que en QED para un electrón sé que es proporcional a una matriz de Dirac, pero en general supongo que no puede usarse ninguna propiedad relacionada con dichas matrices) y tampoco veo por qué $S(\Lambda)$ tiene que ser como la transformación $U(\Lambda)$ que actúa sobre estados como $| p, \pm j \rangle$. De hecho, sobre la unitariedad de las transformaciones $U(\Lambda)$ que también has comentado (en mi mensaje original y en el tutorial se consideran transformaciones unitarias y por eso se usan las dagas), tengo también algunas dudas porque me parece que la representación de Dirac no es unitaria (porque es finita), así que diría que $S(\Lambda)$ no tiene por qué ser unitaria como las transformaciones $U(\Lambda)$ que usan en el tutorial, aunque en la práctica no creo que eso pueda influir en algo porque creo que las conclusiones del tutorial son también válidas para fermiones de Dirac.

[Weip]

Hola Weip, muchas gracias por la confirmación. La duda entonces la tengo en el punto 2, donde esta expresión hemos dicho que debe cumplirse:

$U^{\dagger}(\Lambda) J_\mu U(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu} (\phi) J_\nu$

¿Hay alguna demostración para eso?

Es por definición: la corriente no deja de ser un operador, así que se transforma como está escrito en el lado izquierdo. Ahora bien, la corriente tiene un índice de Lorentz, así que se transforma bajo la representación vectorial del grupo de Lorentz, que es la parte de la derecha. Es decir, esa igualdad es la definición de cuadrivector. He estado mirando el link que has proporcionado para el caso de la matrices de Dirac, y aunque no he hecho el cálculo, no estoy seguro de que sirva ir por las transformaciones infinitesimales para demostrar la igualdad con la corriente: creo que en algún punto obtendrás un conmutador que para demostrarlo tendrás que utilizar que la corriente es un cuadrivector, resultando en un razonamiento circular. Aunque puede servir para ver que todo es consistente, así que mañana lo calcularé por si acaso (edito: lo he estado intentando pero siempre pasa igual, en algún punto hay que utilizar la igualdad que se quiere demostrar). Por otro lado, comentar que en versiones más formales de la teoría cuántica de campos, esa igualdad es literalmente un axioma. No sólo las matrices de Dirac o las corrientes cumplen esa igualdad, si no que todos los campos cuánticos también (o cumplen relaciones análogas, porque las matrices de Lorentz que aparezcan a la derecha dependen del espín).

De hecho, sobre la unitariedad de las transformaciones $U(\Lambda)$ que también has comentado (en mi mensaje original y en el tutorial se consideran transformaciones unitarias y por eso se usan las dagas), tengo también algunas dudas porque me parece que la representación de Dirac no es unitaria (porque es finita), así que diría que $S(\Lambda)$ no tiene por qué ser unitaria como las transformaciones $U(\Lambda)$ que usan en el tutorial, aunque en la práctica no creo que eso pueda influir en algo porque creo que las conclusiones del tutorial son también válidas para fermiones de Dirac.

En efecto, $S(\Lambda)$ es una matriz de $\text{SL(2,C)}$ por lo que en general no es una matriz unitaria, pero son clave para poder aplicar transformaciones de Lorentz a los espinores. La cuestión es que un espinor no puede transformarse con una matriz de Lorentz directamente, pero como $\text{SL(2,C)}$ es el doble recubrimiento de $\text{SO}^+(3, 1)$ , podemos asignar a cada transformación de Lorentz dos matrices de $\text{SL(2,C)}$, de manera que estas sí pueden actuar sobre los espinores.

Aún no siendo $S(\Lambda)$ unitaria, es como realizar el cambio de base de una matriz, por eso es la misma relación en el fondo. Es decir la unitariedad no es la propiedad de fondo que explica la igualdad. Lo importante aquí es que $S(\Lambda)$ y $U(\Lambda)$ actuan sobre operadores, que siguen relaciones análogas al cambio de base de una matriz en espacios vectoriales de dimensión finita.

[Vitor]

Hola Weip, muchas gracias por la explicación. Me quedo entonces con que una expresión de la forma (déjame cambiar ahora la notación, para relacionarla con la duda que todavía no consigo entender del todo leyendo tu respuesta) $W^{-1}(\Lambda) V_\mu W(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu} V_\nu$ se cumple automáticamente por el hecho de que $V_\mu$ sea un operador en un espacio de Hilbert (lo que da el miembro de la izquierda) y también un vector en una variedad Lorentziana (lo que da el miembro de la derecha), siendo $W(\Lambda)$ un operador que forma una representación de las transformaciones de Lorentz asociado a ese otro operador $V_\mu$ en dicho espacio de Hilbert (por favor, corrígeme si algo está mal o incompleto).

Teniendo en cuenta eso, lo que no termino de entender entonces es por qué se identifica el operador escrito inicialmente en el hilo como $U(\Lambda)$ (el cual está asociado con las transformaciones del estado $|p, \pm j \rangle$) con el operador $W(\Lambda)$ que aparece en la fórmula de transformación de $V_\mu$. ¿Coinciden en realidad ambos operadores $W(\Lambda)$ y $U(\Lambda)$, aunque éstos aparezcan asociados inicialmente con objetos distintos $V_\mu$ y $|p, \pm j \rangle$? Por ejemplo, ¿forman ambos parte de la misma representación aunque estén asociados inicialmente con esos objetos distintos? Esto no lo veo directamente...

PD: Sobre la no unitariedad de los fermiones de Dirac, he abierto otro hilo ahora con otra pregunta para no mezclar temas y para no hacerte demasiadas preguntas seguidas sobre otras cosas aquí, que tampoco quiero abusar preguntando tantas cosas en este hilo .

[Weip]

Teniendo en cuenta eso, lo que no termino de entender entonces es por qué se identifica el operador escrito inicialmente en el hilo como $U(\Lambda)$ (el cual está asociado con las transformaciones del estado $|p, \pm j \rangle$) con el operador $W(\Lambda)$ que aparece en la fórmula de transformación de $V_\mu$. ¿Coinciden en realidad ambos operadores $W(\Lambda)$ y $U(\Lambda)$, aunque éstos aparezcan asociados inicialmente con objetos distintos $V_\mu$ y $|p, \pm j \rangle$? Por ejemplo, ¿forman ambos parte de la misma representación aunque estén asociados inicialmente con esos objetos distintos? Esto no lo veo directamente...

La cuestión es que estamos aplicando una rotación que podemos ver como una transformación de Lorentz $\Lambda$. Esta transformación actua sobre los estados a través de una matriz $U(\Lambda)$. Nos fijamos que la combinación obtenida $U(\Lambda)^{\dagger}J_{\mu}U(\Lambda)$ transforma la corriente, procedemos a hacerlo: es totalmente legal porque en la igualdad $W^{-1}(\Lambda) V_\mu W(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu} V_\nu$, $W(\Lambda)$ es una matriz que representa una transformación de Lorentz en general. Por tanto podemos considerar el caso particular en que $W(\Lambda)$ representa nuestra rotación. Así que no hay problema en hacer $U(\Lambda)=W(\Lambda)$ en el procedimiento descrito. Como resumen, la corriente actua sobre los estados $|p, \pm j\rangle$, y $U(\Lambda)$ también. Al final todo son operadores que actuan en el mismo espacio de Hilbert, por lo que podemos operarlos entre ellos sin problema.

[Vitor]

La cuestión es que estamos aplicando una rotación que podemos ver como una transformación de Lorentz $\Lambda$. Esta transformación actua sobre los estados a través de una matriz $U(\Lambda)$. Nos fijamos que la combinación obtenida $U(\Lambda)^{\dagger}J_{\mu}U(\Lambda)$ transforma la corriente, procedemos a hacerlo: es totalmente legal porque en la igualdad $W^{-1}(\Lambda) V_\mu W(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu} V_\nu$, $W(\Lambda)$ es una matriz que representa una transformación de Lorentz en general. Por tanto podemos considerar el caso particular en que $W(\Lambda)$ representa nuestra rotación. Así que no hay problema en hacer $U(\Lambda)=W(\Lambda)$ en el procedimiento descrito. Como resumen, la corriente actua sobre los estados $|p, \pm j\rangle$, y $U(\Lambda)$ también. Al final todo son operadores que actuan en el mismo espacio de Hilbert, por lo que podemos operarlos entre ellos sin problema.

Me pierdo en lo que comentas de que $W(\Lambda)$ es una matriz que representa una transformación de Lorentz en general, porque yo diría que dependiendo del operador y/o estado sobre el que actúe entonces dicha matriz tendrá por ejemplo una representación u otra, de manera que si por ejemplo $| p,\pm j \rangle$ no es compatible con la representación que tenga $W(\Lambda)$ entonces $W(\Lambda)$ no va a actuar sobre $| p,\pm j \rangle$.

Por ejemplo, ¿no podría pasar que las transformaciones de $V_\mu$ como operador correspondan a una representación finita y que las de $| p,\pm j \rangle$ lo hagan a una infinita? ¿O el hecho de que $V_\mu$ sea a su vez también un vector implica que sus representaciones en el espacio de Hilbert van a ser siempre del mismo tipo que las de los estados $| p, \pm j \rangle$? Porque si por ejemplo $V_\mu$ fuese un operador tipo fermión de Dirac entonces creo que sus transformaciones $W(\Lambda)$ no van a ser compatibles en absoluto con las de los estados $| p, \pm j \rangle$...

[Weip]

Hola de nuevo.

Me pierdo en lo que comentas de que $W(\Lambda)$ es una matriz que representa una transformación de Lorentz en general, porque yo diría que dependiendo del operador y/o estado sobre el que actúe entonces dicha matriz tendrá por ejemplo una representación u otra, de manera que si por ejemplo $| p,\pm j \rangle$ no es compatible con la representación que tenga $W(\Lambda)$ entonces $W(\Lambda)$ no va a actuar sobre $| p,\pm j \rangle$.

Por ejemplo, ¿no podría pasar que las transformaciones de $V_\mu$ como operador correspondan a una representación finita y que las de $| p,\pm j \rangle$ lo hagan a una infinita? ¿O el hecho de que $V_\mu$ sea a su vez también un vector implica que sus representaciones en el espacio de Hilbert van a ser siempre del mismo tipo que las de los estados $| p, \pm j \rangle$? Porque si por ejemplo $V_\mu$ fuese un operador tipo fermión de Dirac entonces creo que sus transformaciones $W(\Lambda)$ no van a ser compatibles en absoluto con las de los estados $| p, \pm j \rangle$...

Al ser $W(\Lambda)$ una representación de una transformación de Lorentz (sin más propiedades a priori), cuando actue sobre un objeto lo hará de una forma u otra. Si se encuentra un cuadrivector, lo hará como $W^{-1}(\Lambda) V_\mu W(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu} V_\nu$. Y si se encuentra un estado de un espacio de Hilbert $|p\rangle$, lo hará como $W(\Lambda)|p\rangle=U(\Lambda)|p\rangle=|\Lambda p\rangle$ con $U(\Lambda)$ unitaria. Como consecuencia, nunca encontrarás ninguna incompatibilidad en el sentido que la situación en la cual $W(\Lambda)$ es una representación vectorial $\Lambda_{\mu}^{\nu}$ que nos encontramos con los cuadrivectores, esta matriz ya no opera sobre el estado $|p\rangle$, ya solo opera sobre el cuadrivector. Es por eso que $W(\Lambda)$ es más general que $\Lambda_{\mu}^{\nu}$. La primera actua sobre el objeto que le des (siempre que se transforme bajo el grupo de Lorentz), la segunda solo sobre cuadrivectores. Por este motivo el caso que planteas con el espinor no es posible, $W(\Lambda)$ actuara distinto sobre el espinor que sobre el estado, con distintas representaciones.

[Vitor]

Hola de nuevo.

Al ser $W(\Lambda)$ una representación de una transformación de Lorentz (sin más propiedades a priori), cuando actue sobre un objeto lo hará de una forma u otra. Si se encuentra un cuadrivector, lo hará como $W^{-1}(\Lambda) V_\mu W(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu} V_\nu$. Y si se encuentra un estado de un espacio de Hilbert $|p\rangle$, lo hará como $W(\Lambda)|p\rangle=U(\Lambda)|p\rangle=|\Lambda p\rangle$ con $U(\Lambda)$ unitaria. Como consecuencia, nunca encontrarás ninguna incompatibilidad en el sentido que la situación en la cual $W(\Lambda)$ es una representación vectorial $\Lambda_{\mu}^{\nu}$ que nos encontramos con los cuadrivectores, esta matriz ya no opera sobre el estado $|p\rangle$, ya solo opera sobre el cuadrivector. Es por eso que $W(\Lambda)$ es más general que $\Lambda_{\mu}^{\nu}$. La primera actua sobre el objeto que le des (siempre que se transforme bajo el grupo de Lorentz), la segunda solo sobre cuadrivectores. Por este motivo el caso que planteas con el espinor no es posible, $W(\Lambda)$ actuara distinto sobre el espinor que sobre el estado, con distintas representaciones.

Hola Weip. Sigo sin entenderlo pero me quedo con que tu respuesta es que $W(\Lambda)$ es exactamente la misma matriz en el miembro de la izquierda tanto para $V_\mu$ como para $|p\rangle$, mientras que el miembro de la derecha ya sí que da algo distinto en general.

Me imagino que ésa es la respuesta correcta, pero si pudieses mencionar un ejemplo con valores concretos de $W(\Lambda)$, $U(\Lambda)$, $\Lambda^{\nu}{}_{\mu}$, $V_\mu$ y $|p\rangle$ donde se viese claro que eso es así y que todo se cumple correctamente entonces quedaría todo completamente claro y no habría ninguna duda al respecto (aun así, si un ejemplo así es complicado de dar y/o no tienes tiempo para eso, no hay ningún problema tampoco y con todo lo que ya has aportado es más que suficiente).

PD: Una última pregunta muy rápida que tengo es si sabes también si el objeto inicial $\langle p'| J_\mu |p\rangle$ que mencioné en el hilo (es decir, el bracket entre dos estados distintos con una cuadricorriente en el medio) es un objeto importante en Teoría Cuántica de Campos o no, porque por ejemplo si en lugar de haber una cuadricorriente en el medio hubiese un Hamiltoniano sí que sé que el objeto sería importante, pero al estar solamente la cuadricorriente no estoy seguro de qué papel puede tomar generalmente un objeto así dentro de la teoría (o quizás puede relacionarse con el objeto del Hamiltoniano en interacción y tener ahí cierta importancia, no sé).